Computergrafik / Animation. künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten).

Transkript

1 Computergrafik / Animation künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten). Punkte, werden auch «Kontrollpunkte» genannt Wesentlicher Punkt: Wie interpoliert man diese Punkte in Raum und Zeit? Zeit: Interpolation von einem sog: "Keyframe" zum nächsten. "Gute" Interpolation ermöglicht wenige Punkte in Raum und Zeit (also auch Key-Frames mit größeren zeitlichen Abständen) zu verwenden. Sehr simple Interpolation: - Lineare Interpolation. So ergeben sich bei der Interpolation im Raum Polygone.

2 Vertex Resultierendes Polygon Edge Dies funktioniert gut, wenn man Polygon-ähnliche Objekte, mit geraden Kanten und Ecken darstellen will. Problem: Funktioniert nicht gut bei glatten Objekten, wie Kreise, Ellipsen, Landschaften, Menschen, also Objekte mit glatten Oberflächen, ohne Kanten und Ecken. Für die "Glattheit" von Oberflächen ist eine Definition der Stetigkeit von Ableitungen der Oberflächen hilfreich. Für die Berechnung der Stetigkeit werden Funktionen in Abhängigkeit von Variablen (z. B. u oder v) benötigt: Reellwertige Variablen (x, y, z)=f (u,v) Kontrollpunkt (3 Koordinaten für Punkt im 3ßD Raum) Funktion die entlang der Oberfläche des Objektes geht.

3 Abbildung der Ebene u,v (2-Dimensionale, Hyperebene) auf die Oberfläche unseres 3-D Objektes. Auf die Weise können wir Stetigkeit der Oberflächen definieren: C0 Stetigkeit: Stetigkeit der Funktion selbst -> kein Sprünge der Oberfläche C1 Stetigkeit: Stetigkeit der 1. Ableitung -> keine Knicke der Oberfläche C2 Stetigkeit: Stetigkeit der 2. Ableitung -> keine plötzliche Änderung der Krümmung. Verwandt: Geometrisch definierte Stetigkeit: G0, G1, G2,... -> unabhängig von der Parametrisierung von u und v. Meist angestrebt: C2 bzw. G2 Stetigkeit (heißt eigentlich: C0, C1, C2 Stetigkeit) - Auch wichtig für die zeitliche Interpolation, um künstlich wirkende (roboterartige) ruckartige Bewegungen zu vermeiden Frage: Wie bekommen wir diese Stetigkeit in der Interpolation?

4 Nyquist Abtasttheorem: Interpolation von Abtastwerten. Gibt auch an wie diese Interpolation durchzuführen ist: Mit einem idealen Tiefpassfilter, mit einer Grenzfrequenz die gleich der Hälfte der Samplefrequenz ist. Die Samples sind hier unsere Kontrollpunkte Interpolation Samples/Kontrollpunkte Nyquist stellt sicher, dass oberhalb der "Nyquist" Frequenz keine Anteile enthalten sind -> minimale Änderungsfrequenz, maximal glatt. Impulsantwort des idealen Tiefpasses als Interpolationsfunktion: sinc-funktion.

5 Nulldurchgänge bei ganzen Zahlen Wenn unsere Samples auf den ganzen Zahlen liegen, werden sie durch die Nulldurchgänge der andern sinc Funktionen nicht beeinflusst. Interpolation geht durch die Samples/Kontrollpunkte. Durch das filtern mit der sinc Funktion bekommen wir eine Faltung mit der sinc-funktion. Faltung: Nyqui st Samples/Kontrollpunkte Dirac Impuls (Kronecker Delta, Integral über Kronecker Delta ist 1)

6 Sinc-Funktion ist unendliches Polynom, unendlich oft Resulta t Anteile werden summier

7 stetig differenzierbar Interpolierte Kurve ist unendlich oft differenzierbar! Besser als z.b. sog. kubische Splines, die nur bis zur 2. Ableitung stetig differenzierbar sind.

8 Lässt sich dieser Ansatz aufs Mehrdimensionale anwenden? Ja, denn wir können diese Interpolation wieder separat auf jede Dimension, jede Koordinate anwenden, also z.b. die x und y Koordinate. P 1 P 2 P 0 P 3 Die x-werte und die y-werte werden jeweils als Funktionen einer Hilfsvariablen u geschrieben. Die Indizes von P_i geben die Reihenfolge vor: x(u_i), y(u_i) Auf die Weise könnte man Nyqist-Interpolation auf die Computergrafik anwenden.

9 F(u i )=[ x(u i ), y(u i )] x(u i )=[4,7,12,10] i=0,...,3 Wie Sequenz von Abtastwerten über der Zeit y(u i )=[2,7,5,2] 2 Funktionen in Abhängigkeit von u i, u i kann gleichmäßig verteilt sein wir das t vorher. Wir haben das Problem auf unser bekanntes Problem zurück gefürt, und so eine Lösung erhalten. Problem: Sinc-Funktion ist unendlich lang, nicht so praktikabel. Alternative Möglichkeiten: Faltung unserer Samples mit der sog." Box-Funktion" als Basisfunktion Wert wird beibehalten bis der Nächste kommt. Resultat:

10 keine Stetigkeit weitere Möglichkeit zum Erhalt der Stetigkeit: Lineare Interpolation: Basisfunktion ist Box Funktion, gefaltet mit sich h 2 (x) = = * Summe Lineare Interpolation Vorlesung Computeranimation WS 2009/10 Schuller Beachte: Basisfunktion ist 0 bei den anderen Abtastwerten Interpolierte Kurve geht durch unsre Abtastwerte. C0 Stetigkeit, aber keine C1 Stetigkeit der ersten Ableitung. Nächster Schritt: Basisfunktion ist Faltung der Dreiecksfunktionen: kubisches B-Spline weit verbreitet in der CA für glatte Interpolation! B steht für "Basis", Basis ist obiges h_4(x).

11 Wir möchten das Polynom h 4 (x) genauer kennen. Wie kriegen wir die Koeffizienten des B-Splines? Durch Betrachten der Ableitungen. Ableitungsregel: wegen: 4. Ableitung des B-Splines:

12 z.b. am Punkt t=1 gilt: (Gleiches gilt für t=2,3 ) 2. Ableitung nach t 1. Ableitung nach t Funktionswerte = h 4 ( x) : each interval has 0 u 1 has own polynomial upper end of interval

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14 Für weiter 2 Intervalle: Spiegelverkehrt, also u durch 1-u ersetzen! φ 3 =φ 2 (1 u)=1/6 ( 3 (1 u) 3 +3 (1 u) 2 +3 (1 u)+1); (%o1) 3 (1 u) 3 +3 (1 u) 2 +3 (1 u)+1 ; 6 (%i2) ratsimp(%); (%o2) 3u 3 6 u φ 4 (u)=φ 1 (1 u)=1/6 (1 u) 3 ; (%o3) (1 u) 3 6 (%i4) ratsimp(%); (%o4) u 3 3u 2 +3u 1 6 mit «Maxima» brechnet (freier Mathematik Programm) Resulting Polynomial for the 3-rd interval Resulting Polynomial for the 4-th interval B4 B3 B2 B1 Q4 Q3 Q2 Q1 1 6

15 -> Diese Polynome werden dann auf die Kontrollpunkte (wie bei der Faltung gezeigt) angewendet und wir bekommen so tatsächlich unsere C0, C1, C2 stetig Interpolation in Raum und Zeit! Beachte: Interpolation geht nicht mehr durch, sondern entlang der Kontrollpunkte (h4 ist nicht 0 bei den anderen Kontrollpunkten). Muss beim Design berücksichtigt Beispiel einer Spline Kurve mit 40 Abtastwerten auf dem Interval von 0-4 (die y-achse muss durch 100 geteilt werden):