Computer-Graphik I Baryzentrische Koordinaten

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1 /7/ lausthal omputer-raphik I Zachmann lausthal University, ermany zach@intu-clausthalde Def: affin unabhängig n n dadurch eg: k+ Punkte Pi R, 0 i k, kseien k Vektoren vi definiert: vi : Pi P0, i,, k Die Punkte Pi heißen affin unabhängig die Vektoren vi linear unabhängig sind P eispiel: Sätzchen: P P0 Falls die k+ Punkte Pi Rn, 0 i k, k n affin unabhängig sind k n MaW: es kann nie mehr als n+ affin unabhängige Punkte geben Zachmann omputer-raphik WS /

2 /7/ Def: affines Koordinatensystem Wenn k +Punkte P 0,, P k R n, affin unabhängig sind, so definieren sie ein affines Koordinatensystem Def: affine Kombination, baryzentrische Koordinaten Seien k + affin unabhängige Punkte P 0, P k R n, gegeben Daraus kann man weitere Punkte definieren mittels einer affinen Kombination: Die λ i P k λ ip i, mit i0 k heißen baryzentrische Koordinaten von P bzgl des Koordinatensystems [P 0, P,, P k ] i0 λ i, λ i R Zachmann omputer-raphik WS / 3 Eindeutigkeit der baryzentrischen Koordinaten Satz (o ew): Die Punkte P 0, P k R n, k n sind affin unabhängig jede affine Kombination bzgl dieser Punkte ist eindeutig, dh s i, t i R mit s i t i : si P i t i P i i 0,, k : s i t i Zachmann omputer-raphik WS / 4

3 /7/ Erinnerung: affine bbildungen ffine bbildungen : {lineare bbildungen + Translationen} ffine bbildung : bbildung, die affine Kombinationen invariant lassen, dh P λ i P i φ (P) φ λi P i λ i φ (P) MaW: eine affine bbildung ist eindeutig durch die ilder der affinen asis festgelegt Zachmann omputer-raphik WS / 5 Kleiner Exkurs: die konvexe Hülle Definition: konvexe Hülle Seien P 0,, P k affin unabhängige Punkte Dann ist die konvexe Hülle dieser Punkte definiert als: H(P 0,, P k ) : P P λ i P i, λ i, i : λ i 0 In diesem Fall gilt i : 0 λ i Eine solche Summe heißt auch konvexe Kombination eispiele: P 0, P P 0, P, P Strecke Dreieck P 0 λ 0 t λ t P P P 0 P Zachmann omputer-raphik WS / 6 3

4 /7/ Physikalische Interpretation egeben k + Punkte P0,, Pk Rn mit den Massen mi, mi 0 Definiere die normierten Massen λi mi mi Dann ist der Punkt P λi Pi genau der Schwerpunkt der k + Punkte Zachmann omputer-raphik WS / 7 eispiel: Dreieck im Rn P + b + γc α + + γ mit α + + γ γ P c γ0 0 b ( γ) + + γ + ( ) + γ ( ) α 0 α Zachmann omputer-raphik WS / 8 4

5 /7/ Häufige ufgabe estimme die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes P bzgl des Dreiecks,, Lösung :! ( ) + γ ( ) P q Löse das LS bx by Setze Zachmann cx cy qx γ qy α γ γ P c b omputer-raphik WS / 9 Lösung : F (P ) : nc (P ) nc ( ) Normierung Damit ist F () F ( ) 0, c P b nc 0 Setze cy nc : cx Verwende eobachtung: alle Punkte P mit dem selben bstand von der eraden haben dieselbe baryzentrische Koordinate F (x ) 0 F ( ) (wegen Normierung) Definiere analog F und F Damit ist Zachmann α F (P ), F (P ), γ F (P ) omputer-raphik WS / 0 5

6 /7/ Lösung 3: Nutze den geometrischen Zusammenhang zwischen Flächeninhalten und baryzentrische Koordinaten: α F F F F F F + F + F γ F F F F P F Zachmann omputer-raphik WS / Erinnerung Flächeninhalt eines Dreiecks,, F b c ( ) ( ) x x x x y y y y x x x y y y c b chtung: chte auf den korrekten Umlaufsinn!! eobachtung: Flächeninhalt 0 Det 0 Dreieck ist degeneriert Punkte sind nicht affin unabhängig Zachmann omputer-raphik WS / 6

7 /7/ eometrischer eweis der Flächenformel Zu zeigen: F [(x x )(y y ) (x x )(y y )] [ (x x )(y y ) (x x )(y y ) ] y y y x + x x y y x x x y denn F(Dreieck) ½ asis Höhe Zachmann omputer-raphik WS / 3 eweis der Lösung 3 Sei,, ein Dreieck, darin ein Dreieck P, Q, R Die baryzentrischen Koordinaten von P, Q, R bzgl,, seien P : (αp, P, γp ) Q : (αq, Q, γq ) R : (αr, R, γr ) d h P αp + P + γp Wir beweisen den etwas allgemeineren Satz: αp P γp F PQR αq Q γq F αr R γr R Q P Zachmann omputer-raphik WS / 4 7

8 /7/ Zur Erinnerung: Determinanten sind linear, dh s a + t b c d s a c d + t b c d Damit braucht man F PQR nur noch ausrechnen: F PQR αp x + P x + γp x α + + γ P y P y P y αp + P + γp αq x + Q x + γq x αq y + Q y + γq y αq + Q + γq Zachmann αr x + R x + γr x αr y + R y + γr y αr + R + γr omputer-raphik WS / 5 x αp y s eq () x αp αq y x + P αq y x + γp αq y Zachmann x y 0 x y x y x + P y x +Q y x + Q y x + Q y omputer-raphik WS / x y x y 0 x y x + γp y x + γq y x +γq y x y x y x + γq y x y 0 6 8

9 /7/ Erinnerung: lineare Interpolation Sei ein skalarer Wert f an P,Q vorgegeben: f(p)f, f(q)f Dann kann man jedem Punkt X auf der eraden PQ einen Wert f(x) zuordnen Sei t der Parameter von X, also f (X ) ( t) f (P)+t f(q) Dann setze X ( t) P + t Q f (t) P t x t Q Zachmann omputer-raphik WS / 7 nwendung: aryzentrische Interpolation egeben: Höhen f, f, f an den f Punkten,, (oder irgendwelche anderen Werte) y esucht: Funktion f, so daß f, f, f interpoliert werden x Idee: bestimme baryzentrische Koordinaten eines beliebigen Punktes X, interpoliere damit die Funktionswerte Sei X α + + γ Setze f (X )αf + f + γf Funktioniert auch für X außerhalb Funktioniert auch für f, f, f R m uf den Kanten entspricht dies gerade einer linearen Interpolation Zachmann omputer-raphik WS / 8 9

10 /7/ Weitere nwendung: Punkt in Dreieck Test Der Punkt X ist im Inneren des Dreiecks α,, γ > 0 P γ α X P P 0 Zachmann omputer-raphik WS / 9 eometrische Verhältnisse im Dreieck Zachmann omputer-raphik WS / 0 0

11 /7/ Spezielle Punkte im Dreieck Viele spezielle Punkte im Dreieck lassen sich mittels baryzentrischer Koordinaten sehr leicht angeben / ausrechnen (o ew): Punkt α γ Schwerpkt ußenkreis zu a b c Inkreis a b c Umkreis a (b + c a ) b (c + a b ) c (a + b c ) Umkreis ußenkreis Inkreis ezeichnungen chtung: die Koordinaten sind ohne Normierung angegeben (sog "homogene baryzentrische Koord") die muß man also vor eine tatsächlichen erechnung noch durchführen Zachmann omputer-raphik WS / Zachmann omputer-raphik WS /

12 /7/ Zachmann omputer-raphik WS / 3 Zachmann omputer-raphik WS / 4