Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen

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Heinrich Schneider
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1 Michael Buhlmann Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen Punkte P(p p p ) lassen sich im dreidimensionalen reellen Vektorraum R identifizieren mit Ortsvektoren OP (mit: O(0 0 0) als Koordinatenursprung), Linearkombinationen von Vektoren sind Geraden g: x = a t u, g : x = a s u, g : x = a t u und Ebenen E: x = b r v s w (mit en, Richtungs- und Spannvektoren sowie den reellen Parametern). Geraden liegen nur in Parameterform vor, bei den Ebenen ergeben sich die Formen: E: x = b r v s w E: n > x p > (Normalenform) 0 E: n > x p > (Hesse sche Normalenform) E: ax bx cx = d (unter Beachtung des Skalar- und Kreuzprodukts zwischen den Vektoren). Es gilt dann für die Genese (Konstruktion) von Geraden und Ebenen: Punkte -> Gerade Gerade, Punkt (außerhalb der Geraden) -> zur Gerade senkrechte Gerade Punkte -> Ebene Gerade, Punkt (außerhalb der Geraden) -> Ebene (sich schneidende, parallele) Geraden -> Ebene Punkt, Ebene -> zur Ebene senkrechte Gerade Gerade, Ebene -> zur Ebene senkrechte Ebene Ebene in Parameter-, Normalen-, Hesse scher Normalen-, Koordinatenform Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen

2 Punkte -> Gerade Punkte: A, B a = OA, Richtungsvektor u Gerade: g: x = OA t AB = a t u Punkte -> Gerade = AB, Parameter t Gerade, Punkt -> zur Gerade senkrechte Gerade Gerade: g: x = a t u, Punkt: P g mit: P L Lotpunkt P L mit: P u b = OPL Zur Geraden g senkrechte Gerade: h:, Richtungsvektor v = P L P, Parameter s x = OP s P P = b s v L L Gerade, Punkt -> zur Gerade senkrechte Gerade Punkte -> Ebene Punkte: A(a a a ), B(b b b ), C(c c c ) a = OA Richtungs-/Spannvektoren v = AB, w = AC Parameter r, s x = OA r AB s AC = a r v s w αa βa αb βb αc βc γa γb γc = = = ax bx cx = d Punkte -> Ebene Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen

3 Gerade: g: Gerade, Punkt -> Ebene x = a t u, Punkt: P g mit: a Richtungs-/Spannvektoren u >, Parameter t, u v = p a x = a t u u v Gerade, Punkt -> Ebene sich schneidende Geraden -> Ebene g : Zwei sich schneidende Geraden: = a s u x, g : x = a t u Schnittpunkt S: g g = {S} mit: P(p p p ), Q(q q q )εg, R(r r r )εg b = OS Richtungs-/Spannvektoren u, u Parameter s, t x = b s u t u αp βp αq βq αr βr γp = γq = γr = ax bx cx = d sich schneidende Geraden -> Ebene Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen

4 parallele Geraden -> Ebene g : Zwei parallele Geraden: x = a s u, g : x a = t u mit: P(p p p ), Q(q q q )εg, R(r r r )εg b = a Richtungs-/Spannvektoren u >, Parameter s, t v = a a x = b s u t v αp βp αq βq αr βr γp = γq = γr = ax bx cx = d parallele Geraden -> Ebene Punkt, Ebene -> zur Ebene senkrechte Gerade x = b r v s w, Punkt: P mit: Normalenvektor n = v w Parameter t Gerade: g: Punkt, Ebene -> zur Ebene senkrechte Gerade x = p t n mit g E Gerade, Ebene -> zur Ebene senkrechte Ebene x = b r v s w, Gerade: g: x = a t u Ebene: F: Normalenvektor n = v w Parameter t, u x = a t u u n mit: F E Gerade, Ebene -> zur Ebene senkrechte Ebene Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen 4

5 Ebene in Parameter-, Normalen-, Hesse scher Normalen-, Koordinatenform x = b r v s w mit: b, Richtungs-/Spannvektoren v, w, Parametern r, s Normalenvektor n = v w, p = b n ( x p) (Normalenform) 0 > Normalenvektor n >, normiert als n = n n n ( x b) 0 (Hesse sche Normalenform) Normalenvektor n = ( a b c) T mit: n x = ax bx cx Punkt PεE mit:, d = n p ax bx cx = d T Normalenvektor n = ( a b c) ax bx cx d a b c (Hesse sche Normalenform) ax bx cx Ebene in Parameter-, Normalen-, Hesse scher Normalen-, Koordinatenform x x = r = s = d x = b r v s w Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Vektorrechnung > Punkte, Geraden, Ebenen > Konstruktionen 5

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