Inhaltsverzeichnis Band 2b Analytische Geometrie. 1. Vektoralgebra

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1 Inhaltsverzeichnis Band b Analytische Geometrie Auf der beigefügten CD befinden sich zwei Verzeichnisse: Inhalt_Mathcad und Inhalt_pdf In diesen Verzeichnissen sind alle Mathcad-Dateien (***.xmcd) und zum farbigen Ausdrucken von Mathcad in PDF-Dokumente umgewandelte Dateien (***.pdf) abgelegt. Das folgende Inhaltsverzeichnis zeigt sämtliche Mathcad-Dateien auf der CD, ein kleiner Teil der Dokumente ist ausgedruckt und ist mit einer Seitenzahl gekennzeichnet.. Vektoralgebra Seite. Rechnen mit Vektoren, Verknüpfungen.. Summe, Differenz, Vektorketten, Skalarmultiplikation.. Anwendungen geschlossener Vektorketten: Mittelpunkt, Schwerpunkt.. Skalarprodukt 5..4 Vektorprodukt: Theorie..4 Vektorprodukt: Theorie mit Geonext..5 Vektorprodukt: Anwendung..6 Vektorprodukt: Anwendung..7 Vektorprodukt: Anwendung in der Physik 9..8 Spatprodukt..8 Spatprodukt mit Geonext..9 Projektion eines Vektors.. Zerlegung eines Vektors: Einführung.. Zerlegung eines Vektors: Einführung mit Geonext.. Zerlegung eines Vektors: Anwendung an der schiefen Ebene. Linear abhängig und linear unabhängig.. Theorie u. Nachweiskriterien zur lin. Abhängig- bzw. Unabhängigkeit.. Aufgabe : Zwei linear abhängige Vektoren.. Aufgabe : Zwei linear unabhängige Vektoren..4 Aufgabe : Vektor als Linearkombination in einer Ebene..5 Aufgabe 4: Drei linear unabhängige Vektoren..6 Aufgabe 5: Vektor als Linearkombination im Raum..7 Aufgabe 6: Erzeugendensystem des Raums..8 Aufgabe 7: Erzeugendensystem einer Ebene. Gleichungssysteme.. Gauß-Algorithmus.. Theorie zur Lösbarkeit mit Aufgaben.. Anwendungsaufgaben zu Gleichungssystemen..4 Lösungsalgorithmus für x-systeme..5 Lösungsalgorithmus für 4x4-Systeme

2 . Geometrischer Anschauungsraum. Geraden in der Ebene.. Gerade in Parameterdarstellung.. Gerade in Achsenabschnittsform.. Gerade in Koordinatenform..4 Gerade in Hessescher Normalenform Seite. Geraden im Raum.. Gerade in Parameterdarstellung.. Spurpunkte von Geraden: Methodische Bemerkungen 46.. Spurpunkte von Geraden: Arbeitsblatt als Word-Dokument..4 Spurpunkte von Geraden: Lösung zum Arbeitsblatt 49. Ebenen.. Ebene gegeben durch einen Punkt und zwei Richtungen.. Ebene gegeben durch drei Punkte.. Ebene gegeben durch Gerade und Punkt Ebene gegeben durch zwei parallele Geraden Ebene gegeben durch Punkt und Normalenvektor..6 Ebene gegeben durch Achsenabschnitte..7 Ebene gegeben als Spiegelebene von zwei Punkten 6..8 Spurpunkte einer Ebene, Spurgeraden. Spurdreieck..9 Ebene parallel zu einer Koordinatenebene.. Winkelhalbierende Ebenen zu den Koordinatenebenen 6.. Umwandlung Parameterform einer Ebene in Koordinatenform.4 Inzidenzen.4. Punkt und Gerade, Punkt und Ebene, Gerade und Ebene.4. Gerade und Gerade.4. Lage von Gerade und Ebene, Schnittwinkel, Abstand.4.4 Schnitt von zwei Ebenen in Koordinatenform.4.5 Schnitt von zwei Ebenen in Parameterform.4.6 Schnitt von zwei Ebenen, eine in Koordinaten-, eine in Parameterform.4.7 Schnitt von drei Ebenen in Koordinatenform.4.8 Schnitt von drei Ebenen in Parameterform.4.9 Drei Ebenen als lineares Gleichungssystem mit Lösungsmenge Drei Ebenen als lineares Gleichungssystem, allgemeine Aufgabe.5 Abstandsprobleme.5. Abstand Punkt und Gerade in der Ebene.5. Abstand Punkt und Ebene im Raum Abstand Punkt und Gerade im Raum Abstand windschiefer Geraden.5.5 Abstand paralleler Geraden in der Ebene.5.6 Abstand paralleler Geraden im Raum.5.7 Abstand paralleler Ebenen in Koordinatenform.5.8 Abstand paralleler Ebenen in Parameterform.5.9 Parallele Ebenen als geometrischer Ort.5. Abstand Gerade parallel zu einer Ebene

3 Seite.6 Besonderheiten.6. Winkelhalbierende Vektoren.6. Projektionsgerade 9.6. Spiegelungen am Punkt.6.4 Spiegelungen an einer Geraden.6.5 Spiegelungen an einer Ebene Seitenhalbierende im Dreieck.6.7 Winkelhalbierende im Dreieck.6.8 Mittelsenkrechte im Dreieck.6.9 Oktaeder.6. Tetraeder.6. Haus 8. Module. Elemente in der Ebene: Linie, Dreieck, Viereck. Elemente in der Ebene: Kreis, Kreisring, Kreissektor, Winkel. Graphische Darstellung mithilfe eines Kreisdiagramms.4 Darstellung von Vektoren in der Ebene.5 Elemente im Raum: Linie, Dreieck, Viereck, Spat, Pyramide, Prisma.6 Darstellung von Vektoren im Raum.7 Modul zur Vektorzerlegung in der Ebene

4 Spurpunkte von Geraden - Lösung Geraden im Raum - Spurpunkte im Koordinatensystem - Lösung zum Arbeitsblatt - Expertenrunde - Grundlagen Gegeben ist eine Gerade g: x = OA σu mit σ IR. Um eine Vorstellung vom Verlauf der Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem zu bekommen, bestimmt man die Durchstoßpunkte der Geraden in den Koordinatenebenen, das sind die sogenannten Spurpunkte. Mit Hilfe der Vektorgleichung für die Gerade g: können diese Spurpunkte ermittelt werden. x x x = a a a σ u u u () Für den Spurpunkt in der x -x -Ebene gilt: x = = a σu a Auflösen nach σ: σ = wobei u u Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Spurpunkt S mit OS = a σ u a σ u Für u = gibt es keinen Spurpunkt in der x -x -Ebene, die Gerade g ist entweder parallel zur Ebene, in ihr enthalten oder parallel zu einer der beiden Koordinatenachsen. () Für den Spurpunkt in der x -x -Ebene gilt: x = = a σu a Auflösen nach σ: σ = wobei u u Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Spurpunkt S mit OS = a σ u a σ u 49

5 Spurpunkte von Geraden - Lösung Für u = gibt es keinen Spurpunkt in der x -x -Ebene, die Gerade g ist entweder parallel zur Ebene, in ihr enthalten oder parallel zu einer der beiden Koordinatenachsen. () Für den Spurpunkt in der x -x -Ebene gilt: x = = a σu a Auflösen nach σ: σ = wobei u u Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Spurpunkt S mit OS = a σ u a σ u Für u = gibt es keinen Spurpunkt in der x -x -Ebene, die Gerade g ist entweder parallel zur Ebene, in ihr enthalten oder parallel zu einer der beiden Koordinatenachsen. Gruppe A Gegeben sind die Geraden g i mit Ortsvektor OA des Aufpunktes A und Richtungsvektor u. a) Geben Sie die Geradengleichung g an und bestimmen Sie die Koordinaten der Spurpunkte. b) Stellen Sie die Gerade g mit Hilfe ihrer Spurpunkte graphisch dar. Gerade : OA = u = 4 Gerade 4: Gerade 7: Gerade : 4 OA = u = OA = 4 u = OA = u = 7 4 5

6 Spurpunkte von Geraden - Lösung Auswahl der verschiedenen Geraden: Definitionen Teilaufgabe a) Ausgewählte Gerade: n g( σ) σ σ σ 4 Spurpunkte: S ( 4 ) S ( ) S ( ) Teilaufgabe b) Bemerkung: Im Diagramm wird auf das Eintragen der Spurpunkte mit einem Symbol verzichtet, da alle Spurpunkte auf ganzzahligen Gitterpunkten liegen. 5