Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil)

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Berndt Holst
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1 Lösung A6/04 Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) : 1 1; : Punktprobe mit auf. Normalenvektor von muss ein Vielfaches des Richtungsvektors von sein. Wegen der Orthogonalität von und ist dies der Schnittpunkt der Geraden und der Ebene. Wir bilden. Punkt auf : Der Punkt liegt auf der Geraden. orthogonal zu : " $$$$% # 2&2 % 1& 2 '( $$$$$$% ) 2&" $$$$ # Die Gerade ist orthogonal zur Ebene. Punkt der Ebene, welcher vom Punkt den kleinsten Abstand hat: 12; 1; , Der Punkt.2/ /10 der Ebene hat von den kleinsten Abstand. Lösung A7/04 Wir lesen die Spurpunkte der Ebene aus der Grafik ab und setzen diese Punkte in die Achsenabschnittsform der Ebene ein und multiplizieren diese dann mit dem Hauptnenner. _ ; ; Achsenabschnittsform

2 Lösung A8/04 (einfach) Man berechnet den Abstand über die Formel 9 : $$$$;< 2 $$$$$$$ 2 = : $$$$ 2 mit > $$$$ als Richtungsvektor der Geraden und? $$$$$$$ als Vektor zwischen dem Aufpunkt? der Geraden und dem Punkt. (umständlich) Beschreibung nach dem sogenannten Drei-Schritt-Verfahren : 1. Man bestimmt eine Hilfsebene mit dem Aufpunkt und dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. 2. Man schneidet die Hilfsebene mit der Geraden und erhält die Koordinaten des 3. Der Abstand des Punktes von der Geraden ist $$$$$. Lösung A6/05 Wegen des Pflichtteils ist hier die Verwendung eines GTR ausgeschlossen, das Gleichungssystem muss manuell gelöst werden nach dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. Gauß-Schema I II 1 8 II-I III III-I I II III II 3III 2 I II III Die untere Dreiecksmatrix ist erstellt, wir lesen die Ergebnisse ab: DE 4 1 2F Das Gleichungssystem beschreibt drei Ebenen im Raum, die sich in einem einzigen Punkt?4 1 2 schneiden.

Lösung A7/05 Die Ebene wird gebildet über den Aufpunkt und den Richtungsvektor von sowie dem zweiten Richtungsvektor vom Aufpunkt von zum Punkt.

3 Lösung A7/05 Die Ebene wird gebildet über den Aufpunkt und den Richtungsvektor von sowie dem zweiten Richtungsvektor vom Aufpunkt von zum Punkt. Über das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren ermitteln wir den Normalenvektor der Ebene. Die Punktprobe mit z. B. dem Punkt in der Koordinatengleichung ergibt den den Wert von : 3 0; '( $$$$$$ 0 '( $$$$$$ G " $$$$'( # $$$$$$;'( $$$$$$ 0;484 2 " $$$$ # : Punktprobe mit : : Lösung A8/05 1) Man stellt die Gleichung einer Hilfsgeraden auf, die orthogonal zu ist und den Punkt? enthält. Der Normalenvektor von ist dabei Richtungsvektor von. 2) Man schneidet mit und bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes I. 3) Der Ortsvektor J? $$$$$$$ bestimmt sich dann aus $$$$$$$ J? J? $$$$$2?I

Lösung A6/06 a), wenn " $$$$ # 1 L '( $$$$$$ ) 4 ist. b) Abstand Punkt-Ebene mithilfe der HNF. a) " $$$$ '( # $$$$$$0 ) 1 42420 ist parallel zu. b) 9 :1 2NO1 4 NP1 5 NQ mit z. B.

4 Lösung A6/06 a), wenn " $$$$ # 1 L '( $$$$$$ ) 4 ist. b) Abstand Punkt-Ebene mithilfe der HNF. a) " $$$$ '( # $$$$$$0 ) ist parallel zu. b) 9 :1 2NO1 4 NP1 5 NQ mit z. B. dem Aufpunkt der Geraden. R $$$$$ S 9T U UVU N6 WU 4 N 4 U 4T/UX/3 X Der Abstand der Geraden von der Ebene beträgt 3 Z. Lösung A7/06 Ermittlung der Spurpunkte von. Ermittlung der Spurpunkte von. Da bei die Koordinate fehlt, hat keinen Schnittpunkt mit der Achse, zwei Spurgeraden verlaufen parallel zur Achse. Diese parallelen Spurgeraden schneiden die Spurgeraden der Ebene in den Punkten und [. Die Verbindungsgerade von und [ ist die Schnittgerade der beiden Ebenen. : : : : : \ : \ \ : \ 0 3 0

5 Lösung A8/06 Da und [ symmetrisch zur Ebene liegen, liegt der Mittelpunkt der Strecke [ mit $$$$$$ J] J $$$$$J[ $$$$$. auf. Gleichzeitig ist [ $$$$$ der Normalenvektor von, sodass die Ebene beschrieben werden kann mit : ^J] $$$$$$_ [ $$$$$0. Lösung A6/07 Wegen des Pflichtteils ist hier die Verwendung eines GTR ausgeschlossen, das Gleichungssystem muss manuell gelöst werden nach dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. Das Gleichungssystem reduziert sich auf nur zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wir dürfen somit einen Parameter frei wählen. Gauß-Schema I II II 3I III III 3I I II III III 2 II I II III Reduziertes Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Wir wählen einen Parameter frei, z. Bsp.: DE 4 5 F Die drei Ausgangsgleichungen des LGS stellen drei Ebenen im Raum dar, die sich 4 1 in der Geraden : 51; schneiden. 0 1

6 Lösung A7/07 ist, müssen die Normalenvektoren von identisch bzw. ein Vielfaches voneinander sein. Wir bilden den Normalenvektor von über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Der Abstand der beiden Ebenen ermittelt sich über die HNF und dem Aufpunkt von G " $$$$'( # $$$$$$;'( $$$$$$ 0; " $$$$ # " $$$$" # $$$$ a sind parallel b c 0 2 c/ UU 7N7N /7 0 Lösung A8/07 1) Mit der Koordinatengleichung > d e 9 > ist der Normalenvektor "$% d& der Ebene e gegeben. Das Lot f von auf hat "$ als Richtungsvektor. 2) Der Schnittpunkt von f mit ist der Mittelpunkt ] des Grundkreises. 3) Der Betrag des Vektors ]? $$$$$$ ist der Radius des Grundkreises.

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