Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem

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1 MK 5.. LageKoordsys.mcd Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen: Alle Koordinatenachsen enthalten den Ursprung als Aufpunkt. Beispiel g : = λ Die -Achse Die Einheitsvektoren der Achsen sind die Richtungsvektoren der jeweiligen Koordinatenachse. Punkt auf einer Achse: Immer wenn zwei Komponenten Null sind, liegt ein Punkt auf einer Achse. Beispiel P( 4,, ) liegt auf der -Achse Die Koordinatenebenen: Alle Koordinatenebenen enthalten den Ursprung als Aufpunkt. In Parameterform sind zwei linear unabhängige Vektoren der jeweiligen Ebene Richtungsvektoren, z. B. e und e für die. Der andere Einheitsvektor ist dann Normalenvektor der Ebene, z. B. ist e der Normalenvektor der. Parameterform Normalenform Koordinatenform : : : = λ = λ = λ + μ + μ + μ = = = = = = Punkt auf einer Ebene: Immer wenn eine Komponente Null ist, liegt ein Punkt in einer Koordinatenebene. Beispiel P(,, ) liegt in der

2 Problem: Wie liegt die Gerade g im Koordinatensystem? Gegeben: Gerade g: = ap + λ rv mit Aufpunktvektor und Richtungsvektor Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenachse: (Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu zwei Koordinatenachsen bzw senkrecht zu einer Koordinatenebene bzw. parallel zu zwei Koordinatenebenen) Der Richtungsvektor von g liegt parallel zu einem der drei Einheitsvektoren und senkrecht zu den anderen beiden. Ist die Gerade g echt parallel, gehört der Ursprung nicht zu g. = + λ 7 ist echt parallel zur 5 = + λ ist identisch mit der Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenachse, wenn im Richtungsvektor von g zwei Nullen sind. Die Gerade liegt parallel zu einer Koordinatenebene: (Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu einer Koordinatenachse bzw. senkrecht zu den zwei anderen Koordinatenebenen bzw parallel zu zwei Koordinatenachsen) Der Richtungsvektor von g liegt in einer Koordinatenebene und senkrecht zu einem Einheitsvektor. Ist die Gerade g echt parallel, liegt der Aufpunkt nicht auf der Koordinatenebene. = + λ 5 ist echt parallel zur = + λ 5 liegt in der Eine Gerade g ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Richtungsvektor von g eine Null ist.

3 Problem: Wie liegt die Ebene E im Koordinatensystem? Die Ebene liegt in Normalen- oder Koordinatenform vor. Falls die Ebene in Parameterform vorliegt, wird die Ebene in Normalenform umgewandelt. Gegeben: Ebene E: nv ( v av) = Normalenform oder nv v + nv v + nv v av = Die Ebene liegt parallel zu einer Koordinatenebene: (Die Ebene liegt dann auch senkrecht zu einer Koordinatenachse bzw. senkrecht zu den zwei anderen Koordinatenebenen bzw parallel zu zwei Koordinatenachsen) Der Normalenvektor von E liegt parallel zu einem der drei Einheitsvektoren und senkrecht zu den anderen beiden. Ist die Ebene E echt parallel, gehört der Ursprung nicht zu E. 4 = ist echt parallel zur 4 = ist echt parallel zur 7 = ist identisch mit der 7 = Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E zwei Nullen sind.

4 Die Ebene liegt senkrecht zu einer Koordinatenebene: (Die Ebene liegt dann auch parallel zu einer Koordinatenachse) Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem Einheitsvektor. Ist die Ebene E echt parallel zu einer Koordinatenachse, gehört der Ursprung nicht zu E. 4 7 = ist echt parallel zur 4 5 = ist echt parallel zur = ist parallel zur, se sogar = Eine Ebene E ist dann parallel zu einer Koordinatenebene, wenn im Normalenvektor von E eine Null ist. Die Ebene halbiert einen (vier) Oktantanten (Winkelhalbierende Ebene): (Die Ebene liegt dann auch parallel zu einer Koordinatenachse) Der Normalenvektor von E liegt senkrecht zu einem Einheitsvektor - wie beim vorigen Fall. Die Ebene E enthält eine Koordinatenachse, also gehört der Ursprung zu E. 5 =,

5 4 4 =, + =, + =,

6 + = halbiert nicht die, ist nur eine Parallelebene