Vorkurs Mathematik Intensiv. Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung

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Lena Schmitt
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1 Prof. Dr. J. Dorfmeister und Tutoren Vorkurs Mathematik Intensiv TU München WS 06/07 Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Norm Seien x, y R mit x = (x, x 2, x T bzw. y = (y, y 2, y T.. Das Skalarprodukt < x, y > wird definiert durch: < x x 2, y y 2 > = x i y i = x y + x 2 y 2 + x y x y i= 2. Das Kreuzprodukt x y liefert einen Vektor, der senkrecht zu x und y ist und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von x und y aufgespannt wird. Es gilt: x x 2 x y y 2 y = x 2 y x y 2 x y x y x y 2 x 2 y. Die Norm x eines Vektors x gibt den Betrag seiner Länge an. Es gilt: x = < x, x > = (x 2 + (x (x 2. Es seien die Vektoren v,..., v R 2 gegeben durch: ( ( ( 2 5 v =, v 0 2 =, v = ( 0, v = (a Berechnen Sie das Skalarprodukt der folgenden Vektoren: (i {v, v 2 } (iii {v 2, v } (ii {v, v } (b Welche der Vektoren v,..., v sind senkrecht zueinander? (c Berechnen Sie von v,..., v jeweils die Norm und normieren Sie die Vektoren anschließend auf Länge. (d Berechnen Sie jeweils den cosinus des Winkels zwischen den Vektoren aus Teilaufgabe (a. (e Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von v 2 und v aufgespannten Parallelogramms. (a i. < v, v 2 >= = 2 ii. < v, v >= = 2 iii. < v 2, v >= = (b v i v j < v i, v j >= 0 = v v 2, da < v, v >= = 0 (c v = < v, v > = = v v = v = ( 0 v 2 = = 5 v2 v = ( v = = v v = ( 5 v = = v v = ( 0

2 (d cos α = <vi,vj> v i v j i. cos α = 5 2 = 2 5 0, 89 ii. cos α = 2 = 0, 5 iii. cos α = 5 = 70, 00 (e A = 2 5 = 2. Es seien die Vektoren v,..., v R gegeben durch: v = 0, v 2 = 2, v = 5 2, v = 0 6 (a Berechnen Sie das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren: (i {v, v 2 } (iii {v 2, v } (ii {v, v } (b Welche der Vektoren v,..., v sind senkrecht zueinander? (c Berechnen Sie von v,..., v jeweils die Norm und normieren Sie die Vektoren anschließend auf Länge. (d Berechnen Sie jeweils den cosinus des Winkels zwischen den Vektoren aus Teilaufgabe (a. (e Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von v 2 und v aufgespannten Parallelogramms. (a i. < v, v 2 >= = 5 v v 2 = (0, 2, 0 2 T = (,, T ii. < v, v >= = 0 v v = ( 6 + 2, , 5 0 T = (25, 0, 20 iii. < v 2, v >= ( 2 = 7 v 2 v = ( ( 2, , 2 5 T = (, 9, T (b v v, da < v, v >= 0 (c v = = 2 v 2 = = v = = 8 v = = 52 = 2 (d i. cos α = 5 2 = 5 2 0, 9 7 ii. cos α = 0 iii. cos α = 7 8 = 7 2 (e A = v 2 v = ( ( 2 5 v v = 2 (, 0, T v2 v = 2 (2,, T v v = 8 (5,, 2 T v v = (0, 2, T. (a Bestimmen Sie die Normalenform der beiden Geraden = 9 = = 8 G : x = (, 2 T + t ( 2, 2 T, t R G 2 : x = (, T + s (2, T, s R (b Bestimmen Sie den Schnittpunkt von G und G 2 aus Teil (a (a Normalform: G i :< (x p, n >= 0 p...ortsvektor eines Punktes G i n...normalenvektor von G i, zum Richtungsvektor 2

3 für G : n, ( 2, 2 T = 2n + 2n 2 = 0 wähle n = (, T p = (, 2 T G :< x (, 2 T, (, T >= [x (, 2 T ] (, T = 0 für G 2 : n, (2, T = 2n + n 2 = 0 wähle n = (, 2 T p = (, T G 2 :< x (, T, (, 2 T >= [x (, T ] (, 2 T = 0 (b aus G : (x + (x 2 2 = x + x 2 = 0 x = x 2 ( aus G 2 : (x (x 2 = x + 2x 2 = 0 x = 2x 2 (2 ( = (2 : x 2 = 2x 2 x 2 = 2 x = S( 2. Bestimmen Sie die Schnittmenge der zwei Ebenen: E : x = (0,, T + λ (2, 0, T + σ (, 2, T E 2 : 5 = 6x + x 2 + x E :x = (x, x 2, x T = (2λ + σ, + 2σ, + λ + σ T in E 2 :5 = 6(2λ + σ + ( + 2σ + ( + λ + σ 5 = 5 E E 2 = E = E 2 5. Die Abbildung d : R 2 R 2 R, d(x, y := x y bezeichnet den Abstand zwischen den Punkten x und y im R 2. Seien G, G 2 R 2 zwei nichtparallele Geraden. Begründen Sie, warum die Menge { x R 2 d(x, G = d(x, G 2 } aus den Winkelhalbierenden von G und G 2 besteht. (Tip: Zeichnen Sie eine Skizze d = d 2 ; c gemeinsam d c = d2 c sin α = sin β(α; β < 90 α = β ω ist Winkelhalbierende (w 2 analog 6. Folgern Sie aus der letzten Aufgabe: Sind G, G 2 R 2 zwei nichtparallele Geraden mit Normalenvektoren n bzw. n 2 jeweils der Länge x = y =, so sind Normalenvektoren der Winkelhalbierenden durch n n 2 und n + n 2 gegeben. n = n 2 n, n 2 entsprechen Abstandsvektoren von gemeinsamen Punkt P ω zu g bzw. g 2 α = α ; β = 90 α; β = 90 α β = β c gemeinsam kongruente Dreiecke nach WSW Viereck ist Drachenviereck Diagonalen orthogonal (ω 2 analog

4 7. Gegeben seien die Geraden G : x = (, 2, T + λ (2,, T G 2 : x = (,, T + σ ( 2, 5, T G : x = (2, 0, T + ρ (, 0, 2 T (a Bestimmen Sie die Schnittmenge der Geraden G und G 2 : (b Gehen alle Geraden durch einen Punkt? G G 2 : (, 2, T + λ(2,, T = (,, T + σ( 2, 5, T I. + 2λ = 2σ λ = σ ( II. 2 λ = + 5λ ( 2 ( σ = + 5σ σ = λ = 2 III. + λ? = + σ = G G 2 = {(5 8 } (G G 2 G? : (5 8 T = (2 0 T + ρ( 0 2 T I. 5 = 2 + ρ ρ = II. 8 = 0ρ ρ 2 = 5 ρ ρ 2 (G G 2 G 8. Zeigen Sie unter Verwendung von Vektorrechnung, dass in einem Parallelogramm die einander gegenüber liegenden Winkel gleich sind. Z.z:α = α 2 ; β = β 2 s = 2 d 2 2 d s = 2 d d cos α = <s,s2> s s 2 = α 2 α 2 2 α = 2 α 2 2 α2 α α2+α α 2 α α 2+α cos α 2 = <s,s> s s < s, s >=< 2 (d 2 d, 2 (d 2 + d >= [ d 2 2 < d 2, d > + < d, d 2 > + d 2 ] = [ d 2 d 2 2 ] α 2 α 2 2 α = 2 α 2 2 α2 α α2+α cos α 2 = α = cos α 2 α α 2+α mit 0 < α, α 2 < 80: α = α 2 9. Es seien A und B zwei verschiedene Punkte in der x-y-ebene R 2 und C = {M R 2 MA MB} {A, B}, wobei MA das von M und A begrenzte Geradenstück bezeichnet. Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung, dass (a C ein Kreis ist. (b AB ein Durchmesser von C ist. D: Mittelpunkt von AB

5 Z.z.: C= {M (MA (MB} {A, B} = {M (m d 2 = (a b2 } d = b + 2 (a b = 2 (a + b < (a m, (b m >= 0, da (a m (b m < (a m, (b m >=< a, b > < a, m > < b, m > + m 2 < a, b > < a, m > < b, m > + m 2 = 0 =< a, b > < m, (a + b > + m 2 m 2 < m, (a + b >= < a, b > m 2 < m, (a + b > + < (a + b, (a + b >= < (a + b, (a + b > < a, b > m 2 2 < m, 2 (a + b > + < 2 (a + b, 2 (a + b >= < (a + b, (a + b > < a, b > m 2 2 < m, d > + < d, d >= (< a, a > +2 < a, b > + < b, b > < a, b > m 2 2 < m, d > + d 2 = ( a 2 2 < a, b > + b 2 (m d 2 = (a b2 0. Gegeben sei ein Quadrat mit den Diaogonalpunkten P (6, 0 und P 2 ( 2, 6. Man berechne die Koordinaten aller anderen Ecken und stelle die Geradengleichungen der beiden Diagonalen auf. M...Mittelpunkt n...normalenvektor auf P P 2 m = p (p p 2 = (2, T < n, (p p 2 >= 8n 6n 2 = 0 wähle n = (, T g 2 : x = m + α n = (2, T + α (, T ; α R g : x = m + β (p p 2 = (2, T + β (8, 6 T ; β R für die fehlenden Diagonalpunkte gilt: MP i = 2 p p 2 = 5 P i g 2 MP i = < m p i, m p i > = ±α i 5 = ±α i α = P (5 7 α = P ( 5

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