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1 Übungsmaterial 1 2 Vektoren im Raum 2.1 Das räumliche Koordinatensystem Abbildung 1 zeigt das Koordinatensystem im R 3, dem dreidimensionalen Raum, mit eingefügtem Quader. Die Koordinaten einiger Eckpunkte sind hinzugefügt. x 3 - Achse (, 3, 4) (3, 3, 4) x 2 - Achse (3, 3, ) x 1 - Achse Abb. 1: Das räumliche Koordinatensystem Punkte im Raum sind durch ihre Koordinaten bestimmt: So ist beispielsweise der Punkt P (1//3) zu nden, wenn man entlang der x 1 -Achse eine Längeneinheit nach vorne und dann entlang der x 3 -Achse drei Längeneinheiten nach oben geht. Punktemengen im Raum lassen sich über ihre Eigenschaften ausdrücken: So ist zum Beispiel die Menge {x 2 = x 3 = } die x 1 -Achse und die Menge {x 1 =, x 2 = 1} ist die Gerade, die parallel zur x 3 -Achse verläuft und die x 2 -Achse im Punkt (, 2, ) schneidet. Drei Ebenen sind bereits im Raum auszumachen: 1) Der Grundriss: Die x 1, x 2 -Ebene (x 3 = ) 2) Der Seitenriss : Die x 2, x 3 -Ebene (x 1 = ) 3) Der Aufriss: Die x 1, x 3 -Ebene (x 2 = )

2 Übungsmaterial 2 Beispiele 1) Die Elemente der Menge {x 2 = x 3 } bilden eine Ebene, die von der x 1 -Achse und den Winkelhalbierenden der x 2 - und x 3 -Achse bestimmt wird. 2) Die Elemente der Menge {x 1 = x 2 = x 3 } liegen auf einer Gerade durch den Ursprung, die von allen drei Achsen gleich weit entfernt ist (man spricht auch von der Raumdiagonale). 3) Die Elemente der Menge {x 1 = ; x 3 = 3} liegen auf einer Parallelen zur x 2 -Achse, die um 2 in x 1 -Richtung und um 3 in +x 3 -Richtung verschoben ist. 2.2 Vektoren im Raum Denition Unter einem Vektor versteht man die Menge aller parallelen gleich langen Pfeile in einer Ebene oder in einem Raum. Jeder einzelne Vektor heiÿt Repräsentant des Vektors. Wir schreiben a = P Q, wenn wir den Vektor meinen, der in P beginnt und in Q endet. Es ist a = QP. Ein Vektor mit Anfangspunkt heiÿt Ortsvektor. Beispiel: B = b. Der Gegenvektor eines Vektors ist deniert als der Vektor selber Länge, aber entgegengesetzter Richtung (Spitze und Fuÿ des Vektors werden vertauscht). Rechnen mit Vektoren Addition Vektoren werden addiert, indem sie aneinander gesetzt werden der Fuÿ des einen an die Spitze des anderen Vektors. Es gilt das Kommutativgesetz, d.h. a + b = b + a. b + a a + b Abb. 2: Die Addition von Vektoren Es gilt darüber hinaus das Assoziativgesetz: ( a + b) + c = a + ( b + c) Subtraktion Es ist a b = a + ( b). Vektoren werden also subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtra-

3 Übungsmaterial 3 hierenden Vektors nach den Regeln der Addition von Vektoren an den ersten Vektor angehängt wird. b a b b Abb. 3: Die Subtraktion von Vektoren Es ist b b =. Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalar) Es ist r a = a } + a... {{ + a }. r-mal Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar r bedeutet also Verlängerung ( r > 1) oder Verkürzung ( r < 1) des Vektors. Rechenregeln (i) r a + r b = r ( a + b) (Distributivgesetz) (ii) r (s a) = rs a (iii) r a = a r (iv) (r + s) a = r a + s a (Assoziativgesetz) Beispiel c Abb. 4: Vektordreieck Die Vektoren a, b und c lassen sich jeweils durch die anderen ausdrücken: c = a + b a = c b b = a + c = c a

4 Übungsmaterial Elementare Vektorrechnung im R 3 1 Die Basisvektoren oder Einheitsvektoren e 1 =, e 2 = 1 und e 3 = spannen den 1 Vektorraum R 3 auf. Ihre Länge beträgt jeweils eine Längeneinheit, ihre Richtungen sind die der drei Koordinatenachsen Einheitsvektoren stehen also immer senkrecht auf einander! Um beispielsweise den Vektor zum Punkt A(2/ 1/3) zu erhalten, geht man zwei Längeneinheiten in x 1 -Richtung, eine in x 2 -Richtung und drei in x 3 -Richtung: OA = 2 e 1 1 e e 3 = = = 1 + = Vektoren werden also addiert, indem ihre Einträge zeilenweise addiert werden. Vektoren werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle drei Einträge mit dem Skalar multipliziert werden. Beispiel = 22 = Aufgabe 1 Gegeben sei das regelmäÿige Sechseck ABCDEF mit a = AB, b = BC und c = CD. Drücke mit a, b und c aus: a) DF b) DA c) CE d) AF e) F C

5 Übungsmaterial 5 Lösung E D F A c Abb. 5: Sechseck ABCDEF B C a) DF = a b = ( a + b) b) DA = a b c = ( a + b + c) c) CE = c a = ( a + c) d) AF = c e) F C = 2 a = b 2.5 Aufgabe 2 1) Vereinfache: a) AB + BA d) UV + W U + V W b) XY XZ e) AB CA AC c) OB OA f) AX BY 8 2) u = 1 Berechne:, v = 3 8 6, w = 1. 3 a) u + v w b) w + 3 u c) u v Welche geometrische Bedeutung hat der errechnete Vektor aus c)? Lösung 1 a) AB + BA = AB AB = (Nullvektor) b) XY XZ = ZY c) OB OA = AB d) UV + W U + V W = UV + V W + W U = e) lässt sich nicht vereinfachen a) u + v w = =

6 Übungsmaterial b) w + 3 u = = 3 c) u v = = 9 1, d) Mit U(8/1/) und V (3/8/ 6) ist u+ 1 2 v der Ortsvektor zum Mittelpunkt der Strecke [UV ].

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