Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel?

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1 Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung Wann welche Formel? Von Florian Modler Dieser Artikel soll helfen, auseinander zu halten, wann man welche Formel in der analytische Geometrie benutzen muss. Besonders bei Abstandsaufgaben kann man schnell durcheinander kommen, da man hier immer überlegen muss, ob man sich im R oder im R befindet. Weiterhin soll dieser Artikel alle wichtigen Formeln zusammenfassen. Außerdem bietet dieser Artikel die Herleitung und Beweise aller Formeln. Diejenigen, die nur an den Formeln interessiert sind, können dies überspringen. Inhalt Die Vektorprodukte. Das Skalarprodukt. Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt). Das Spatprodukt Winkelberechnungen. Winkel zwischen zwei Geraden. Winkel zwischen zwei Ebenen. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Verschiedene Formen von Ebenen oder Geraden. Die Normalenform. Die Hesseform. Die Plückerform 4 Lageuntersuchungen 4. Lageuntersuchung zwischen zwei Geraden 4. Lageuntersuchung zwischen zwei Ebenen 4. Lageuntersuchung zwischen einer Geraden und einer Ebene 5 Abstandsaufgaben 5. Projektionsverfahren 5... Abstand Punkte Gerade im R bzw. Punkt Ebene im R 5... Abstand paralleler Geraden im R und paralleler Ebenen im R 5.. Abstand einer Geraden von einer dazu parallel Ebene 5. Lotfußpunktverfahren 5... Abstand Punkt Gerade im R 5... Abstand paralleler Geraden im R 5... Abstand windschiefer Geraden im R 5. Alternativ-Verfahren zum Lotfußpunktverfahren 5... Abstand Punkt Gerade im R 5... Abstand paralleler Geraden oder paralleler Ebenen im R 5... Abstand windschiefer Geraden im R

2 Die Vektorprodukte. Das Skalarprodukt Definition (Skalarprodukt): Unter dem Skalarprodukt der Vektoren a und b versteht man das Produkt a b = a b cosα Dabei bezeichnet der Winkel die Größe des (nicht überstumpfen) Winkels, den zwei an einem Punkt angetragene Repräsentanten von a und b einschließen. Fallunterscheidungen: Wir wollen nun einige Fallunterscheidungen für ganz bestimmte Winkel treffen: Fall : α = Da cos = gilt: a b = a b = a b Ist zudem a = b, folgt: a a = a ² = a ² + a ² + a ² > Fall : α = 8 Da cos8 = gilt: a b = a b ( ) = a b ( < ) Fall : α = 9 Da cos9 = gilt: a b = a b = Den folgenden Sachverhalt macht man sich immer wieder zu nutze: Zwei Vektoren a und b sind zueinander orthogonal (senkrecht) genau dann, wenn a b = gilt. Die eine Richtung dieses Satzes (Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn a b = ), haben wir eben bewiesen. Die andere Richtung lässt sich wie folgt beweisen: Aus a b = a b cosα = folgt, wenn a b, dass cosα = sein muss. Dies ist nur für α = 9 der Fall, da wir von nicht überstumpfen Winkel ausgehen! Und bei α = 9 stehen die Vektoren senkrecht! Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen!

3 Wir haben am Anfang die Definition des Skalarprodukts angegeben. Wie man darauf kommt, soll jetzt behandelt und untersucht werden. Dazu betrachte man für < α < 9 folgende Zeichnung: Abb. Projektion eines Vektors (. Fall) Der Vektor b wurde auf den Vektor a zu einem Vektor b projiziert. Damit gilt: a b = a ( ba + b ) a b = a ba + a b a b = a b + a Des weiteren betrachten wir den Fall für 9 < α < 8 : a Abb. Projektion eines Vektors (. Fall) a b = a ( ba + b ) a b = a ba + a b a b = a b + a

4 Nun kann man bei beiden Fällen, bei dem. Fall und. Fall den Kosinus anwenden: Ankathete Kosinus = Hypotenuse. Fall: b a Außerdem gilt: cos α = ba = b cosα b Einsetzen liefert dann: a b = a b cosα. Fall: Da außerdem gilt: ba cos(8 α) = b b a cos α = ba = b cosα b Einsetzen liefert dann: a b = a b cosα Definition (Projektion): Der Vektor b a wird als Projektionsvektor bezeichnet und ist der Vektor, dessen Vertreter man durch senkrechte Projektion eines Vektors von b in die Richtung eines Vertreters a erhält. 4

5 Berechnung des Skalarprodukts: Man erinnert sich daran, dass der Kosinussatz eines Winkels im Kosinussatz der Trigonometrie vorkommt. Daher liegt es nahe, diesen Satz auf das Dreieck anzuwenden, welches von zwei Vertretern zweier Vektoren gebildet wird, die an einem Punkt angetragen sind. Die dritte Seite kann durch a b erfasst werden: Wir drücken nun die Länge der dritten Seiten, also a b aus ) mit Hilfe des Kosinussatzes ) mit Hilfe der Koordinatendarstellung ) a b ² = a ² + b ² a b cos α = a ² + b ² a b a b ) Es ist a b = a b. Weiterhin gilt: a b a b ² = ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² = ( a ² a b + b ²) + ( a ² a b + b ²) + ( a² ab + b ²) = ( a ² + a² + a²) + ( b ² + b ² + b ²) ( ab + ab + ab ) = a ² + b ² ( ab + ab + ab ) Vergleich der beiden Darstellungen von a b ² ergibt: a b = a b + a b + a b Beispiel: a = ; b = 4 a b = 4 = = 4 Gesetze des Skalarprodukts Da das Ergebnis beim Skalarprodukt kein Vektor, sondern eine Zahl ist, scheiden das Assoziativgesetz, das Neutralitätsgesetz und das Inversitätsgesetz für die Gesetze des Skalarprodukts aus. Das Assoziativgesetz kann schon daher nicht gelten, denn das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl zu. Somit ist schon a ( b c) sinnlos. Die Gleichungen a n = a (Neutralitätsgesetz) und a n = n (Inversitätsgesetz) sind sinnlos, weil links ein Skalar und rechts einvektor steht. 5

6 Satz: (Kommutativgesetz) Für alle a, b V gilt: a b = b a. Beweis:. Möglichkeit : a b = a b cos α = b a cosα Dieser Beweis erfolgt mit Hilfe des Kommutativgesetzes der reellen Zahlen.. Möglichkeit : a b = a b + a b + a b = b a + b a + b a = b a q. e. d Für alle r, s R und für alle a, b V gilt: (r a) ( sb) = rs( b a). Beweis: ra sb (r a) ( sb) = ra sb = ( ra)( sb ) + ( ra)( sb ) + ( ra)( sb ) ra sb = rs( a b ) + rs( a b ) + rs( a b ) = rs( a b + a b + a b ) = rs( b a) q. e. d Satz: Für alle r R und für alle a, b V gilt: (r a) b = r( a b). Dies ist ein Sonderfall für s= und wird gemischtes Assoziativgesetz genannt. Satz: (Distributivgesetz) Für alle a, b, c V gilt: a( b + c) = a b + a c. Beweis: a b + c a( b + c) = a b + c = a( b + c ) + a( b + c) + a( b + c) a b c + = a b + a c + a b + a c + a b + a c = a b + a c q. e. d 6

7 . Das Vektorprodukt Vielleicht habt ihr schon oft einen Vektor gesucht, der auf zwei Vektoren senkrecht steht. Zum Beispiel als ihr aus einer Parametergleichung einer Ebene eine Normalenform bestimmen wolltet oder als ihr die Schnittgerade zweier Ebenen, in Normalenform gegeben, berechnen wolltet. Hierzu mussten folgende Bedingungen erfüllt werden: a n = b n = Nun wollen wir dies allgemein lösen: I. a n + a n + a n = ( b ) II. b n + b n + b n = a I. b a n b a n b a n = II. b n a + b n a + b n a = ( a b + a b ) n + ( a b + a b ) n = ( a b a b ) n + ( a b a b ) n = Diese Gleichung können wir sehr einfach dadurch erfüllen, indem wir n = k( a b a b ) n = k( a b a b ) setzen, denn k( a b a b )( a b a b ) = ( a b a b ) k( a b a b ).. Um nun den zugehörigen Wert von n zu ermitteln, setzen wir die Ausdrücke von n n in die erste Gleichung des LGS ein. Damit erhalten wir: a k( a b a b ) + a k( a b a b ) + a n = an = k( aab aab + aab aab ) = ka( ab + ab ) = ka( ab ab ). n = k( a b a b ). Durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Systems kann man bestätigen, dass n, n n in jedem Fall das LGS erfüllen, auch wenn a =. Wir erhalten also: ab ab n = k ab ab. Die Zahl k ist nur für den Begriff des Rechtssystems und des ab ab Linkssystems relevant. Für k > bilden die Vektoren ein Rechtssystem, für k < ein Linkssystem. Es gilt also: ab ab a b = ab ab ab ab. 7

8 Definition (Kreuzprodukt): Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren a, b V versteht man den Vektor: ab ab a b = ab ab ab ab. Wir müssen uns nun klarmachen, welche geometrische Bedeutung der Vektor a b hat. Wir können bereits die Richtung und die Orientierung des Vektors a b: Er steht auf den beiden Vektoren senkrecht und diese drei Vektoren a, b a b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Wir wissen aber noch nichts über die Länge des Vektors a b : a b ² = ( a b a b )² + ( a b a b )² + ( a b a b )² = ( a b )² a b a b + ( a b )² + ( a b )² a b a b + ( a b )² + ( a b )² a b a b + ( a b )². Wir addieren und subtrahieren nun gleichzeitig die fehlenden Quadrate ( a b )²,( a b )² und ( ab )². Das Ziel dieser Umformung werden wir später sehen! a b ² = ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + ( a b )² [( a b )² + ( a b )² + ( a b )² + a b a b + a b a b + a b a b. Den nächsten Schritt kann man besser verstehen, wenn man die Umformung rückwärts macht: a b ² = ( a ² + a ² + a ²)( b ² + b ² + b ²) ( ab + ab + ab )². a b ² = a ² b ² ( a b)² a b ² = a ² b ² a ² b ² cos ² α (Definition des Skalarprodukts) a b ² = a ² b ²( cos ² α ) (Ausklammern) a b ² = a ² b ²sin ² α (Formelsammlung liefert: sin ² α + cos ² α = "trigonometrischer Pythagoras". sin ² α + cos ² α = sin ² α = cos ² α.) a b ² = ( a b sin α)² a b = a b sin α. Satz: Für beliebige Vektoren a, b V ist a b derjenige Vektor, für den gilt: ) a b = a b sinα ) a b a a b b ) a, b a b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. 8

9 Abb. Das Vektorprodukt zweier Vektoren Falls die beiden Vektoren kollinear sind, gilt α = oder α = 8. In beiden Fällen gilt sin = sin8 = ; daher ist dann a b = und somit auch a b =. Ist das Vektorprodukt, so sind die beiden Vektoren linear abhängig, also kollinear! Nun wollen wir, wie wir das auch beim Skalarprodukt gemacht haben, Fallunterscheidungen vornehmen: ) < α 9 h Da sin α = h = b sin α, gilt: b A( P) = a h = a b sin α. Abb. 4 Erst Fallunterscheidung )9 < α < 8 h h Da sin(8 α) = = sin α = h = b sin α, gilt: b b A( P) = a h = a b sin α. Abb. 5 Zweite Fallunterscheidung 9

10 Die Gesetze des Vektorprodukts - Kommutativgesetz: Vertauscht man in a b die beiden Vektoren, so bilden b a, a b ein Linkssystem, anstatt eines Rechtssystems. Daher gilt das Kommuativgesetz des Vektorprodukts nicht! Beispiel: a = ; b = + a b = = = ; b a = = =. - Alternativgesetz: Satz: Für alle a, b V gilt: b a = ( a b). Beweis: ab ab ab + ab ab ab ( a b) = a b a b = a b + a b = a b a b = b a. ab ab ab ab ab ab + q. e. d. - Neutralitätsgesetz und Inversitätsgesetz: Da a b auf den beiden Vektoren senkrecht steht und weil - außer dem Nullvektor - keinvektor auf sich selbst senkrecht steht, kann es kein neutrales Element geben. Folglich gelten das Neutralitätsgesetz und das Inversitätsgesetz für das Vektorprodukt nicht. - Assoziativgesetz: Wenn das Assoziativgesetz gelten würde, müsste die Gleichung ( a b) c = a ( b c) erfüllt sein. Das dies nicht der Fall ist, können wir an einem Beispiel belegen: [ ] = [ ] = =.

11 - Gemischtes Assoziativgesetz: Satz: Für alle r, s R und für alle a, b V gilt: ( ra) ( sb) = rs( a b). Beweis: ra sb ( ra )( sb ) ( ra)( sb ) rs( ab ab ) ( ra) ( sb) = ra sb = ( ra)( sb ) ( ra)( sb ) = rs( ab ab ) ra sb ( ra )( sb ) ( ra )( sb ) rs( a b a b ) ab ab = rs ab ab = rs( a b). q. e. d. ab ab - Das Distributivgesetz: Satz: Für alle a, b, c V gilt: a ( b + c) = a b + a c. Beweis: a b + c a( b + c ) a( b + c ) ab ab ac ac a b + c = a( b + c ) a ( b + c ) = ab ab + ac ac a b + c a ( b + c ) a ( b + c ) a b a b a c a c = a b + a c q. e. d.

12 . Das Spatprodukt Betrachten wir folgende Abbildung: Abb. 6 Darstellung des Spatprodukts Es gilt: ( a b) c = ( a b) c cos γ. Das Vektorprodukt ( a b) ist die Maßzahl des Flächeninhaltes des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Eine Länge mit der Maßzahl h = c cosγ erhält man, wenn man den Vektor c in Richtung von a b hineinprojiziert. Diese Länge ist die Höhe des von den drei Vektoren aufgespannten Körpers, der von sechs paarweise zueinander parallelen ebenen Flächen in Form von Parallelogrammen begrenzt wird. Man nennt einen solchen Körper Parallelflach oder Spat (siehe Abbildung 6). Die in der Abbildung 6 dargestellten drei Vektoren bilden ein Rechtssystem. Darunter verstehen wir in solchen Fällen Folgendes: Wählt man drei Vektoren a, b, c mit gemeinsamen Anfangspunkt, so weist der Vertreter von c in denselben Halbraum der von a, b aufgespannten Ebene wie der Vertreter von a b, der am gleichen Punkt angetragen ist. Für die Inhaltsmaßzahl des Parallelflachs (Spat) gilt in diesem Fall: V = Ah = a b c cos γ = ( a b) c mit h = c cos γ.

13 Satz: Bilden drei linear unabhängige Vektoren a, b, c V ein Rechtssystem, so gilt für die Inhaltsmaßzahl des von den drei Vektoren aufgespannten Spats: V = ( a b) c. Spat Vertauscht man im Produkt ( a b) c die Vektoren, so erhält man wegen b a = ( a b): ( b a) c = ( a b) c. Bilden a, b, c ein Rechtssystem, so bilden b, a, c ein Linkssystem; das zugehörige Spatprodukt ist dann negativ, da a b negativ wird. Sind die drei Vektoren a, b, c linear abhängig, also komplanar, so "klappt" das Spat "zusammen", es gilt also: ( a b) c =. Das heißt ist das Vektorprodukt, so sind die beiden Vektoren linear abhängig. Ist das Spatprodukt, so sind die Vektoren komplanar. Satz: Gilt ( a b) c >, so bilden a, b, c ein Rechtssystem, gilt ( a b) c =, so sin a, b, c komplanar, gilt ( a b) c <, so bilden a, b, c ein Linkssystem. Wenn a, b, c ein Rechtssytem builden, bilden auch b, c, a c, a, b ein Rechtssytem; dagegen bilden dann b, a, c; a, c, b c, b, a jeweils ein Linkssytem. Satz: Für alle a, b, c V gilt: ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b. Ist das Spatprodukt, so sind die Vektoren linear abhängig und damit komplanar!

14 Die im Spatprodukt auftretenden Vektoren a, b, c sind also "zyklisch vertauschbar". Wendet man bei ( a b) c = ( b c) a rechts das Kommutativgesetz an, so ergibt sich: ( a b) c = a ( b c). Es kommt beim Spatprodukt also nicht darauf an, welche der drei Vektoren man durch das Vektorprodukt verknüpft; man kann die beiden Verknüpfungszeichen also vertauschen, wenn man den Zyklus a, b, c bei behält. Daher hat man für das Spatprodukt eine abkürzende Schreibweise eingeführt. Definition: Für alle a, b, c V gilt: ( a, b, c) = ( a b) c. Df Koordinatendarstellung des Spatprodukts: ab ab c ( a b) c = ab ab c = abc abc + ab c ab c + ab c abc. ab ab c Wir behandeln zunächst ein Beispiel, danach führen wir eine andere Schreibweise ein. Nämlich die der Determinante und die Regel von Sarrus. Beispiel: a ; b = ; c = = Bestimme also: ( a b) c. [ ] 4 7 = + = = = 5 + ;; ; ( a, b, c) = ;; ; ; ; ; = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 5. 4

15 Allgemein gilt: Abb. 7 Dreireihige Determinante Um dies genauer zu erklären, schreiben wir die beiden ersten Spalten der Determinante noch einmal neben die Determinante. Abb. 8 Lösung mit Hilfe einer dreireihigen Determinante Die positiv zu nehmenden Hauptdiagonalenprodukte (von links oben nach rechts unten) sind dann: ab c, ab c abc. Die negativ zu nehmenden Nebendiagonalenprodukte (von rechts oben nach links unten) sind dann: abc, ab c abc. Es gilt also: ( a, b, c) = a b c + a b c + a b c a b c a b c a b c.. 5

16 Winkelberechnungen Um Winkelaufgaben vollständig berechnen zu können, müssen wir drei Fälle unterscheiden: Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Ebenen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Wir vereinbaren vorher, dass wir unter dem Winkel zwischen zwei Geraden, zweier Ebenen und einer Geraden mit einer Ebene den kleinsten eingeschlossenen Winkel verstehen.. Winkel zwischen zwei Geraden a) Abb. 9 Winkel zwischen zwei Geraden (Fall a)) Mit Hilfe der Definition des Skalarprodukts a b = a b cos α können wir durch äquivalente Umformungen den Winkel berechnen: a b cos α =. a b Dies setzt aber vorraus, dass für den Winkel folgendes gilt: < α < 9. Somit ist a b >. Es kann aber auch folgender Fall auftreten: b) Abb. Winkel zwischen zwei Geraden (Fall b)) Nun ist der Vektor a entgegengesetzt orientiert. Folglich müssen wir den Gegenvektor verwenden. Somit gilt: 6

17 a b cosα = a b Wenn a b <, dann schließen die Vektoren einen stumpfen Winkel ein. Wenn man aber den Gegenvektor verwendet gilt wieder cosα >. a b Eine andere Schreibweise für das Minuszeichen in cos α = ergibt sich, a b wenn wir Betragsstriche setzen: a b a b cos α = =. a b a b a b a b Für den Fall a) ändert sich in diesem Fall nichts, denn cos α = =. a b a b a b Man fässt die beiden Fälle zu cos α = zusammen. a b c) Es gibt noch einen dritten Fall und zwar, wenn die beiden Geraden und damit die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist bei 9 der Fall. Somit ist a b =. Aber auch diese Formel passt zu dem Fall c), denn =! Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen: Satz: Sind die beiden Geraden, zwischen denen der Schnittwinkel berechnet werden soll, in Parameterform gegeben, so kann man den Winkel mit folgender Formel berechnen: a b cos α = a b 7

18 Beispiel: Wir behandeln ein Beispiel: Gegeben sei g durch x = + r und h durch x = + s. Da die gegebenen Ortsvektoren übereinstimmen, schneiden sich die beiden Geraden in dem Punkt P(; ; ). Es gilt: a b = = = a = 4 + = 6; b = = 9 = cos α = 6 Sind zwei Geraden g und g (im R²) durch Normalengleichungen gegeben, so bestimmt man die Größe des Winkels zwischen den beiden Normalenvektoren; denn dieser Winkel ist maßgeblich mit einem der beiden nicht überstumpfen Winkel zwischen g und g. Das Ganze wird sozusagen um 9 gedreht (siehe Abbildung ). Abb. Schnitt zweier Geraden in Normalenform n n Es gilt somit: cos α =. n n 8

19 . Winkel zwischen zwei Ebenen Sind die beiden Ebenen durch Normalengleichung gegeben, so erhält man die Größe des kleinsten eingeschlossenen Winkels zwischen den beiden Ebenen ebenfalls durch die oben angeführte Formel. Denn wir können wieder folgende Abbildung verwenden, die mit Abbildung in dieser Hinsicht übereinstimmt, dass die Geraden keine Geraden, sondern Ebenen darstellen sollen, die in den Raum hinein weisen. Abb. Schnittwinkel zweier Ebenen in Normalenform Es gilt also auch folgende Formel, um den Schnittwinkel der beiden Ebenen zu berechnen: n n α =. n n cos Satz: Um den Schnittwinkel zweier Geraden und zweier Ebenen in Normalenform zu berechnen, wendet man folgende Formel an: n n cos α =. n n 9

20 . Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Betrachten wir folgende Abbildung: Abb. Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Der zu berechnende Winkel ist mit α bezeichnet. Der Winkel β kann einfach berechnet werden. Dazu betrachten wir den Normalenvektor und den Vektor a der Geraden. Somit können wir folgende Formel anwenden: a n cos β =. a n Weiterhin können wir an der Abbildung 5 feststellen, dass α + β = 9. Somit gilt: a n sin α =, da cos β = sin α, wenn α + β = 9. a n Wir wollen den Zusammenhang cos β = sin(9 β ) = sin α, wenn α + β = 9 nun erklären: Dazu schauen wir uns Abbildung 6 an: Abb. 4 Herleitung des oben aufgeführten Zusammenhangs Wir sehen, dass damit gilt: cos β = sin(9 β ) = sin α, wenn α + β = 9. Satz: a n Der Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene lässt sich mit sin α = berechnen. a n

21 Verschiedene Formen von Gleichungen von Geraden oder Ebenen. Die Normalenform Gegeben sei eine Gerade g : x = + t Wir bestimmen zunächst einen Vektor n, der auf a = senkrecht steht. n =, da = =. Wir multiplizieren nun die Gleichung der Geraden g mit n = : x = + t x = t x 8 = x + y = 8. Herleitung: Mit Hilfe des Skalarprodukt können wir die Umformung in parameterfreie Gleichungen in wesentlich einfacher Weise durchführen. Wir multiplizieren die Gleichungen skalar mit einem Vektor, der auf der Geraden bzw. auf der Ebene senkrecht steht. Man nennt diesen Vektor einen Normalvektor. Abb. 5 Normalvektor einer Geraden und Ebenen

22 ) x = x + ta x n = x n + ta n = x n = x n, denn ta n = ) x = x + ra + sb x n = x n + ra n + sb n = x n = x n, denn ta n = sb n =. Warum funktioniert das Verfahren? Das Verfahren funktioniert deshalb, da wir von der Richtung her einen Normalenvektor, von der Orientierung einen zweiten Normalenvektor und von der Länge unendlich viele Normalenvektoren angeben können. Man nennt die Gleichung x n = x n auch Normalengleichung einer Geraden bzw. einer Ebene. Dies gilt nur für eine Gerade im R und für eine Ebene im R, da wir sonst unendlich viele Normalenvektoren angeben können. x n = x n ( x x ) n = Zu ) Der Raum R wird von den beiden Vektoren a und b aufgespannt. Jeder Vektor der Ebene lässt sich also aus diesen beiden Vektoren erzeugen: x x = ta + rn Wir müssen zeigen, dass r = ist. ( x x) n = ( ta + rn) n = t( a n) + r( n n) =. Wegen a n = und n n folgt r =. Also gilt: ( x x ) n = x x = ta. Zu ) Analog gilt: x x = ra + sb + tn Wir müssen zeigen, dass t = ist. ( x x) n = ( ta + sb + tn) n = r( a n) + s( b n) + t( n n) =. Wegen a n = b n = und n n folgt t =. Also gilt: ( x x) n = x x = ta + sb. Damit haben wir in beiden Fällen aus der Gleichung x n = x n die Paramtergleichung wieder hergeleitet. Wir haben also insgesamt gezeigt, dass durch jede Gleichung der Form x n = x n bzw. ( x x ) n = eine Gerade bzw. eine Ebene dargestellt wird. Unterschied liegt nur darin, dass der Vektor x x bei einer Geraden zwei und bei einer Ebene drei Koordinaten besitzt.

23 Normalenform: Ist eine Gerade im R² und eine Ebene im R³ durch einen Punkt P mit dem Ortsvektor x und durch den Normalenvektor n festgelegt, so gilt: x n = x n bzw. ( x x ) n =. Beispiele: ) Für eine Gerade Gegeben sei eine Gerade g : x = + t Wir bestimmen zunächst einen Vektor n, der auf a = senkrecht steht. n =, da = =. Wir multiplizieren nun die Gleichung der Geraden g mit n = : x = + t x = t x 8 = x + y = 8.

24 ) Für eine Ebene ε : x = + r + s. Bestimmung eines Normalenvektors mit a, b n : n = n =. Mit Hilfe des Kreuzprodukts kann nun ein Vektor gefundenn werden, der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht! 9 9 = 6 = 6 = n =, da = = und = 6 6 =.. Multiplizieren der Gleichung der Ebene mit dem Normalenvektor: x = + r + s x = + + x + y + z = 6 4

25 Wir behandeln ein weiteres Beispiel: Wollten wir eine Ebene in Parameterform in Normalenform umformen, so mussten wir einen Normalenvektor finden, der auf beiden Spannvektoren senktrecht steht. Dies können wir nun mit Hilfe des Vektorprodukts durchführen: Wir behandeln ein Beispiel: Gegegben seien der Vektor x =, und die beiden Spannvektoren a = b =. Wir berechnen zunächst das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und erhalten damit einen Vektor, der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht! 4 a b = = 8 = 4. Wir wenden nun die Formel ( x x ) n = an: ( x ) 4 = x 4 = 8. 5

26 Man kann die Normalengleichung einer Ebene in drei verschiedene Formen schreiben; jede lässt sich geometrisch deuten: ) Normalengleichung allgemein: Die Normalengleichung lautet allgemein: x n = x n bzw. ( x x ) n = Da das Skalarprodukt ist, sind die beiden Vektoren senkrecht: x x n. (siehe Abbildung ) ) Mit n = b c : x ( b c) = x ( b c) Determinantenschreibweise: ( x, b, c) = ( x, b, c). Dies bedeutet, dass die von x, b, c bzw. x, b, c aufgespannten Spats inhaltsgleich sind. (siehe Abbildung ). ) Umschreiben von ): Aus x ( b c) = x ( b c) folgt: ( x x ) ( b c) =, also ( x x, b, c) = Dies bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig, also komplanar sind, da Spatprodukt ist. (siehe Abbildung 6). Abb. 6 Abb. 7 Abb. 8 Mit Hilfe von ) können wir nun eine andere Methode anwenden, mit der wir eine Parameterform einer Ebene in Normalenform umschreiben können: x ( b c) = x ( b c) Die Gleichung ( x, b, c) = ( x, b, c) liefert zwei Determinaten. Wir müssen also die Regel von Sarrus zweimal anwenden. Durch Ausrechnen der beiden Determinanten ergibt sich: x + z + y z + x + 6y = x + 4y + z = 8. Auch so erhält man dann die Normalenform: x 4 = 8. Dies sehe entsprechend so aus: 6

27 Abb. 9 Berechnung der Normalenform mit Hilfe von Determinanten 7

28 Beispiel: Gegeben seien die Punkte A(; ;); B( ;;); C(;; ). Die Ebene, die durch diese drei Punkte aufgespannt wird, soll in Normalenform ungeformt werden. Zuerst wählen wir uns den Punkt A, genauer den Ortsvektor zum Punkt A als Stützvektor und erhalten die Ebene: ε : x = t[ ] r[ + + ] ε : x = t r Möglichkeit: mit Hilfe des Kreuzprodukts: Diese Ebene soll nun in Normalenform umgeschrieben werden. Wir suchen also einen Vektor, der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Wir könnten ein LGS aufstellen und dieses lösen, schneller geht es mit dem Kreuzprodukt. Denn der Ergebnisvektor ist ein Vektor, der auf beiden zu multiplizierenden Vektoren senkrecht steht n = 5 = = Dieser Vektor ist unser Normalenvektor, der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Wende nun die Formel ( x x ) n = an: 7 ( x ) = 5 7 x =. 5. Möglichkeit: mit Hilfe von Determinanten: x ( b c) = x ( b c) Die Gleichung ( x, b, c) = ( x, b, c) liefert zwei Determinaten. Wir müssen also die Regel von Sarrus zweimal anwenden. Durch Ausrechnen der beiden Determinanten ergibt sich: x 5z 5x y = x y 5z =. Auch so erhält man dann die Normalenform: 7 x =. Beide Wege führen zum Ziel. 5 8

29 . Die Hesseform Die allgemeine Form einer Gerade ist ax + by = c. Wir nehmen an, dass c >. Wenn c <, dann multiplizieren wir die Gleichung einfach mit. Für c gilt: c = x n = x n cos α (Dies gilt nach der Definition des Skalarprodukts) Abb. Die Hessesche Normalenform Aus dem Kosinus folgt nach Abbildung : d cosα = d = cos α x x Aus der Gleichung c = x n = x n cos α und aus d = cos α x folgt: c d =. n Wir wählen für den Normalenvektor einen Einheitsvektor mit n =. Dann gilt nämlich: d = c. Das absolute Glied der Gleichung ax + by = c gibt in diesem Fall also den Abstand der Geraden zu dem Ursprung an. Wenn c = brauchen wir den Abstand nicht zu berechnen, bzw. er ist. Wir bezeichnen den zu einem Vektor a gehörenden Einheitsvektor mit ea. n en = ist der zu n gehörende Normaleneinheitsvektor. n Dividiert man eine Normalengleichung x n = x n durch n, so erhält man x e = x e, wobei x e = d. n n n Diese Form bezeichnet man nach dem Mathematiker Ludwig Otto Hesse als Hessesche Normalenform oder als Hesseform. 9

30 Hesseform: Ist eine Gerade (im R²) bzw. eine Ebene (im R³) durch einen Punkt P mit dem Ortsvektor x und durch einen Normaleneinheitsvektor en festgelegt, so gilt für die Ortsvektoren x aller Punkt von der Geraden bzw. der Ebene: x en = x en. Ist die Orientierung von e so gewählt, dass x e, so gibt x e den Abstand d der Gerade bzw. der Ebene zum Ursprung an. n n n Beispiel: 4 g : x = + t 4. Bestimmen des Normalenvektors zu a =. 4 n =, da a n = = = Bestimmen des Normaleneinheitsvektors Da n = = 5 = 5 ist der Normaleneinheitsvektor en =. 5 4 Nun gilt aus x e = x e = d : n n x en = ( 6 4) ( ) 5 4 = = = < 5 5 Dieser Normaleneinheitsvektor hat also die falsche Orientierung, wir wählen: en ' = en = 5 4 = 5 4 Dann gilt: x en ' = = (6 + 4) = = > Hesseform der Geraden lautet also: g : x + y =. 5 5 Der Abstand der Geraden vom Nullpunkt ist d =. Gibt man eine Gerade in Hesseform an, so kann man am absoluten Glied sofort den Abstand der Ebene bzw. der Geraden vom Ursprung ablesen!

31 . Die Plückerform Wir wissen, dass wir eine Geradengleichung in Parameterform x = x + ta nur dann durch skalare Multikplikation mit einem Normalenvektor n in die Normalenform überführen können, wenn sich die Gerade im R² befindet. Denn: Liegt die Gerade im R³, so kann man den Parameter auf diese Weise nicht eliminieren, weil es zu einer Raumgeraden kein eindeutig bestimmten Normalenvektor definiert ist (es gibt nur einen der in der Richtung übereinstimmt, einen weiteren in der Orientierung und unendlich viele in der Länge, alle sind Vielfache des anderen im R, im R ist das anders). Durch das Vektorprodukt gelingt es uns nun aber, den Parameter t zu eliminieren, indem man die Gleichung vektoriell mit dem Richtungsvektor multipliziert. Wir erhalten: x = x + ta a x a = x a + ta a x a = x a +, da a a =. Mit Hilfe des Distributivsgesetz gilt: ( x x) a =. Die Gleichung besagt, dass die Vektoren x x a linear abhängig, also kollinear sind, denn wenn das Skalarprodukt ist, sind die Vektoren linear abhängig und damit kollinear. (siehe Abbildung ). Abb. Die beiden Vektoren sind kollinear.

32 Wir müssen nun zeigen, dass x = x + ta ( x x) a = äquivalent sind. Da die Vektoren x x a linear abhängig, also kollinear sind, gibt es also zu jedem Vektor x, der der Gleichung ( x x ) a = genügt, eine Zahl t R mit x x = ta x = x + ta. Damit haben wir gezeigt, dass die beiden Gleichungen äquivalent sind. Satz: Ist eine Gerade g durch einen Ortsvektor x und einen Richtungsvektor a gegeben, so gilt: ( x x ) a = (Plückerform). Was bedeutet dies geometrisch? Wir verwenden ein Beispiel, um die Plückerform uns geometrisch zu betrachten, da dies sonst zu umständlich wäre. Gegeben sei eine Gerade mit dem Sützvektor x = und dem Richtungsvektor a =. Berechnen wir zunächst mit x a = x a die Plückerform (genauer: die drei Gleichungen der Plückerform). x y z Es gilt: x a = y = z + x x a = = 7. z x y Die Plückerform besitzt also die drei Gleichungen: y z = x + z = 7 x y = Jede Gleichung lässt sich in zweierlei Hinsicht deuten: Als Gleichung einer Geraden in einer der drei Koordinatenebene oder Als Gleichung einer Ebene.

33 Wenden wir dies auf unser Beispiel an und verwenden die dritte Gleichung: So ist zum Beispiel x y = die Gleichung einer Geraden in der x y Ebene. x y z = ist aber auch eine Gleichung einer Ebene mit dem Normalenvektor n =. Dieser Vektor liegt in der x y Ebene, die Ebene steht auf der x y Ebene senkrecht und schneidet diese Koordinatenebene in der Geraden zur Gleichung x y =. Die Raumgerade g wird also in der Plückerform x a = x a dargestellt durch drei Ebenen, die jeweils auf einer Koordinatenebene senkrecht stehen und die sich in g schneiden (siehe Abbildung ). Abb. Darstellung der Plückerform Man nennt die drei Ebenen auch projizierende Ebenen und die durch Projektion erzeugten Bildgeraden In der x-y-ebene Grundriss: x y = In der x-z-ebene Aufriss: y z = In der x-z-ebene Seitenriss: x + z = 7 Die Darstellung einer Raumgeraden in Plückerform entspricht also Grund -, Auf -und Seitenriss einer Geraden. Während sich in der Regel drei Ebenen in einem Punkt schneiden, schneiden sich die drei projizierenden Ebenen in der betreffenden Geraden.

34 4 Lageuntersuchungen 4. Lageuntersuchung zwischen zwei Geraden Fassen wir noch einmal zusammen, wie zwei Geraden zueinander liegen können. Sie können parallel sein identisch sein sich in einem Punkt schneiden oder windschief liegen. Nun kann die Lageuntersuchung zweier Geraden auch mit dem Vektorprodukt vorgenommen werden. Wir leiten zuerst eine Formel für die Abstandsberechnung her. Bei der Lagebeziehungen zweier Geraden x = x + ra x = x + sb kommt es darauf an, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig, also kollinear sind oder nicht. Wenn a b =, sind die beiden Richtungsvektoren kollinear, wenn a b, sind die beiden Vektoren nicht kollinear. Gilt also für die Richtungsvektoren zweier Geraden a b, so sind die Geraden entweder windschief oder schneiden sich genau in einem Punkt. Die beiden Geraden liegen dann aber stets in den beiden parallelen Ebenen ε ε, die durch folgende Gleichungen gegeben sind: ε : x = x + ra + sb ε : x = x + a + sb. Sind die beiden Ebenen voneinander verschieden, so ist ihr Abstand der beiden windschiefen Geraden. Diesen Abstand berechnen wir mit dem Prohjektionsverfahren. Es gilt: a b d = ( x x ). a b Abb. Projektionsverfahren mit Hilfe des Vektorprodukts Also fassen wir noch einmal zusammen: Ist das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden, so sind die beiden Geraden entweder parallel oder identisch! Nun können wir die oben angeführte Abstandsberechnungsformel zu Hilfe ziehen. Ist der Abstand, so sind die Geraden identisch. Ist der Abstand ungleich, sind die beiden Geraden parallel 4

35 Ist das Vektorprodukt schon nicht, dann schneiden sich die Geraden entweder oder sie sind a b windschief. Auch hier wenden wir die Formel d = ( x x) an. Ist der Abstand, a b dann gibt es einen Schnittpunkt, der gegebenenfalls noch berechnet werden müsste. Ist der Abstand nicht, dann sind die beiden Geraden windschief. Wir behandeln nicht für jeden Fall ein Beispiel, sondern begnügen uns mit einem Beispiel. Beispiel: 4 g : x t = ; g : x 4 r + = x x 4 7 ; a b 6 = = = = ; a b = = d = ,9. 66 = = = Dieser Verfahren, die Lage zwischen zwei Geraden mit Hilfe des Vektorprodukts zu untersuchen, sollte angewendet werden, wenn bei einer Folgeaufbau der Abstand der beiden Geraden verlangt ist, da dieser hier mit schon berechnet wird. 5

36 4. Lageuntersuchung zwischen zwei Ebenen Wir können zwei Ebenen zu einander liegen? Sie können parallel liegen identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden Gehen wir davon aus, dass die beiden Ebenen in Normalform angegeben seien. Nun muss man schauen, ob die Normalenvektoren ein Vielfaches des anderen ist. Ist dies der Fall liegen die Ebenen auf jeden Fall schon einmal parallel. Ist nun das absolute Glied noch identisch, dann sind die Ebenen identisch. Wir behandeln Beispiele: )Die beiden Ebenen sind identisch Gegeben seien die Ebenen in Normalform: ε x + y + z = 4; ε x + y + z = 8 : : Die beiden Normalenvektoren sind: n = ; n =. Der eine ist also ein Vielfaches des anderen. Auch das absolute Glied muss nur mit multipliziert werden. Die Ebenen sind also identisch! )Die Ebenen liegen parallel zueinander Gegeben seien die Ebenen in Normalform: ε x + y + z = ; ε x + y + z = 8 : : Die beiden Normalenvektoren sind: n = ; n =. Der eine ist also ein Vielfaches des anderen. Das absolute Glied ist kein Vielfaches des anderen. Die beiden Ebenen sind also nur parallel! 6

37 ) Die Ebenen schneiden sich Gegeben seie die Ebene ε : x y + z = 4 und die Ebene ε : x + y z =. Da die beiden Normalenvektoren nicht kollinear sind, können die Ebene nicht zueinander parallel (damit auch nicht identisch) sein. Die Ebenen müssen sich also in einer Schnittgeraden schneiden. Da n ε n ε müssen diese beiden Normalenvektoren auch auf der Schnittgeraden senkrecht stehen. Damit gilt: n a = n a = Wir berechen also folgendes Kreuzprodukt: = Der Richtungsvektor ist a =. Um einen Punkt und damit den Stützvektor zu bestimmen, setze ich bei x y + z = 4 x + y z = z = und erhalte: x y = 4 x + y =. x =,8; y =, 4; z = 9 Die Gerade lautet: g : x = t

38 4. Lageuntersuchung zwischen einer Geraden und einer Ebene Gerade und Ebene können wie folgt zu einander liegen. Entweder die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt Oder die Gerade liegt parallel zur Ebene Oder die Gerade ist Teilmenge der Ebene, liegt also in der Ebene Die Lagebeziehungen haben wir vor kurzem noch sehr umständlich berechnet, indem wir die Geraden und Ebenen gleichgesetzt und dann Gleichungssysteme aufgestellt haben. Dies können wir mit unserem neuen Wissen nun viel schneller behandeln. Betrachten wir folgende Unterscheiden bei der Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene: ) Gerade und Ebene schneiden sich in einem Punkt Gegeben sei die Ebene ε : x y + z = und die Gerade g : x = + t. Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man nun Aufschluss über die gegenseitige Lage machen: Für den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden gilt: n a = = 4 + = 5. Damit sind die beiden Geraden nicht parallel. Sie können sich nur scheiden. Aus g folgt: x = + t; y = t z = t. Einsetzen in g ergibt: ( + t) ( t) + t = + 4t 6 + t + t = 7 + 5t = t = 4 x = + =. Der Schnittpunkt ist S(;; ). 4 8

39 ) Gerade liegt in der Ebene Gegeben sei die Ebene ε : x + y z = 4 und die Gerade g : x = + t. Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man nun Aufschluss über die gegenseitige Lage machen: Für den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden gilt: Da n a = = + = Damit sind die beiden Geraden parallel. Nun muss noch überprüft werden, ob die Gerade in der Ebene liegt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:.MÖGLICHKEIT: Der Punkt P(;;) müsste in der Ebene liegen, wenn die Gerade in der Ebene liegt: + = 4 4 = 4 Wahre Aussage. Damit liegt P in der Ebene und damit liegt die ganze Gerade in der Ebene.MÖGLICHKEIT: Aus g folgt: x = + t; y = t z = t. Einsetzen in g ergibt: ( + t) + ( t) + t = 4 + t + t + t = 4 4 = 4Wahre Aussage. Damit liegt P in der Ebene und damit liegt die ganze Gerade in der Ebene. 9

40 ) Gerade ist parallel zur Ebene Gegeben sei die Ebene ε : x + y z = 4 und die Gerade g : x = + t. Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man nun Aufschluss über die gegenseitige Lage machen: Für den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden gilt: Da n a = = + = Damit sind die beiden Geraden parallel. Nun muss noch überprüft werden, ob die Gerade in der Ebene liegt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:.MÖGLICHKEIT: Der Punkt P( ;;) müsste in der Ebene liegen, wenn die Gerade in der Ebene liegt: + = 4 Falsche Aussage. Damit liegt P nicht in der Ebene und damit liegt die ganze Gerade nicht in der Ebene.MÖGLICHKEIT: Aus g folgt: x = + t; y = t z = t. Einsetzen in g ergibt: + t + ( t) + t = 4 + t + t + t = 4 = 4Falsche Aussage. Damit liegt P nicht in der Ebene und damit liegt die ganze Gerade nicht in der Ebene. Alternativ kann die Gerade also gleich in die Ebene eingesetzt werden. Erhält man eine wahre Aussage, so liegt die Gerade in der Ebene, erhält man eine falsche Aussage, so ist die Gerade parallel zur Ebene und erhält man einen Wert für den Parameter, so schneiden sich die Gerade und die Ebene in einem Punkt. 4

41 Auch das Spatprodukt bietet eine andere Möglichkeit die Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene zu untersuchen: Dies bietet sich an, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist. ) Gegeben sei eine Ebene ε : x = + t + r und eine Gerade g : x = + s 4. 7 Wir untersuchen zunächst das Spatprodukt des Richtungsvektors der Geraden und der Richtungsvektoren der Ebene und somit die Vektoren auf lineare Abhängigkeit. Dies führen wir entweder mit Hilfe einer dreireihigen Determinante oder mit Hilfe der Definition des Spatprodukts ( a b) c durch. 5 ( a b) c = [ ] 4 = 4 4 = = 7 7 Da das Spatprodukt ist, sind die drei Vektoren linear abhängig und damit komplanar. Die Gerade ist also entweder zur Ebene parallel oder die Gerade liegt in der Ebene. a b Um dies zu untersuchen, wenden wir die Formel d = ( x x) an. Mit a b a b = = d = [ ] 4 = 4 (5 4),4. 5 = = = Die Gerade läuft also parallel zur Ebene. Wäre der Abstand, so läge die Gerade in der Ebene. 4

42 ) Gegeben sei eine Ebene ε : x = + t + r und eine Gerade g : x = + s 4. 7 Wir untersuchen zunächst das Spatprodukt des Richtungsvektors der Geraden und der Richtungsvektoren der Ebene und somit die Vektoren auf lineare Abhängigkeit. Dies führen wir entweder mit Hilfe einer dreireihigen Determinante oder mit Hilfe der Definition des Spatprodukts ( a b) c durch. 5 ( a b) c = [ ] 4 = 4 4 = = 7 7 Da das Spatprodukt ist, sind die drei Vektoren linear abhängig und damit komplanar. Die Gerade ist also entweder zur Ebene parallel oder die Gerade liegt in der Ebene. a b Um dies zu untersuchen, wenden wir die Formel d = ( x x ) an. Mit a b a b = = d = [ ] 4 = 4. 5 = = 5 5 Die Gerade liegt also in der Ebene. 4

43 ) Gegeben sei eine Ebene ε : x = t r + + und eine Gerade g : x = s +. Wir untersuchen zunächst das Spatprodukt des Richtungsvektors der Geraden und der Richtungsvektoren der Ebene und somit die Vektoren auf lineare Abhängigkeit. Dies führen wir entweder mit Hilfe einer dreireihigen Determinante oder mit Hilfe der Definition des Spatprodukts ( a b) c durch. 5 ( a b) c = [ ] = = 5 + = 6 Da das Spatprodukt nicht ist, sind die drei Vektoren nicht linear abhängig und damit nicht komplanar. Die Gerade schneidet die Ebene also in einem Punkt. Wir berechnen den Schnittpunkt. Dazu formen wir die Ebenengleichung in Normalenform bzw. in Normalform um. Bestimme also zuerst einen Normalenvektor, der auf beiden Spannvektoren der Ebene senkrecht steht mit Hilfe des Kreuzprodukts: 5 ( a b) = =. Wende die Formel ( x x ) n = an ( x ) = x = x =. Aus g folgt: x = t; y = t; z = t. 5( + t) + ( t) + t = 5 + 5t + 4t + t = t = x = = =. 9 7 S( ;; 7) ist also der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Dieses Verfahren kann eingeschlagen werden, wenn Gerade und Ebene in Parameterform angegeben sind oder wenn in einer Folgeaufgabe der Abstand zu berechnen ist. 4

44 5 Abstandsaufgaben 5. Projektionsverfahren 5... Abstand Punkte Gerade im R² bzw. Punkt Ebene im R³ Gegeben seien ein Punkt P und eine Gerade g (bzw. eine Ebene) durch die Hesseform x e = x e = p. n n Die Abbildung verdeutlicht, dass man den gesuchten Abstand d leicht ermitteln kann, wenn man durch den Punkt P eine zu g (bzw. zur Ebene) parallele Gerade (bzw. Ebene) gelegt denkt. Abb. 4 Abstand eines Punktes von einer Geraden (Ebenen) jenseits des Ursprungs Wir betrachten also zuerst den Fall, dass der Punkt P jenseits des Ursprungs liegt. Aus der Abbildung werden folgende Beziehungen deutlich: p + d = p d = p p p = x en ( Hesseform) p = x en d = p p = x en x en = en ( x x ) Der Trick liegt also bei dem so genannten Projektionsverfahren, dass man den Abstand auf den Einheitsnormalenvektor projiziert. 44

45 Nun behandeln wir, wie wir den Abstand eines Punktes von einer Geraden (bzw. einer Ebenen) berechnet, wenn er diesseits des Ursprungs liegt. Abb. 5 Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Ebenen) diesseits des Ursprungs Auch hier erhalten wir folgende Beziehungen: p = x en ( Hesseform) p = x ( en ) d = p + p = x e + x ( e ) = e ( x x ) n n n Der Unterschied liegt nun im Einheitsnormalenvektor, von dem wir den Gegenvektor verwenden müssen (vgl. Abbildung ). Wir können diese beiden Fälle zusammenfassen, da sich x x x x nur im Vorzeichen unterscheiden: d = ( x x ) e n Bestimmung des Abstands von einem Punkt zu einer Geraden im R² bzw. einer Ebenen im R³ mit dem Projektionsverfahren. Dies gilt natürlich auch für eine Ebene im R³. 45

46 Eine weiterer, aber sehr umständlicher Weg, ist folgender. Auch dieser sei Vollständigskeitshalber anzuführen: Im folgenden Abschnitt soll gezeigt werden, wie man den Abstand eines Punktes P zu einer Ebene bestimmen und damit berechnen kann, die durch eine Gleichung in Normalform gegeben ist. Vorgehensweise:. Zuerst berechnet man mit Hilfe des Normalenvektors der Ebene diejenige Gerade g, die durch den Punkt P geht und auf der Ebene senkrecht steht.. Nun bestimmt man den Punkt P, in dem die Gerade g die Ebene schneidet. Die Entfernung der Punkte P und P ist der gesuchte Abstand. Abb. 6 Abstand eines Punktes zu einer Ebene Beispiele: Wir geben ein Beispiel: Es soll der Abstand des Punktes P zur Ebene berechnet werden. a) P (;;); ε : x y z = 46

47 Lösungen: a) P (;;); ε : x y z = Aus x y z = folgt x =. Der Normalenvektor lautet also n =. Die Gerade g hat also mit dem Ortsvektor des Punktes als Stützvektor die Parametergleichung: g : x = t +. Nun muss der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnet werden. Dazu forme ich die Normalform der Ebene in Parameterform um und erhalte: ε : x = + v + w. Gleichsetzen der Ebene und der Gerade ergibt: + v + w = + t v + w + t = Aufstellen einer Matrix liefert: Aus III. folgt t =. Einsetzen von t = in die Gerade liefert: 4 x = + =. Nun kann d berechnet werden: 4 d = x x = = d = ( )² + ² + ² = = 47

48 5... Abstand paralleler Geraden im R² und paralleler Ebenen im R³ Mit dem gleichen Verfahren, also mit dem Projektionsverfahren, kann auch der Abstand zweier paralleler Geraden g und g und zweier paralleler Ebenen berechnet werden. Man hat jeweils einen Verbindungsvektor zwischen beliebigen Punkten der beiden Geraden (bzw. der beiden Ebenen) in die gemeinsame Normalenrichtung der beiden Geraden (bzw. der beiden Ebenen) projiziert und somit gilt die Formel: d = ( x x ) e n Beispiel: Gegeben sei die Ebene ε durch x y + 5z = und die Ebene ε durch 4x + 6y -z = 8. 4 Für die Normalenvektoren n n 6 = = gilt n = n, daher sind 5 die beiden Ebenen parallel. Es gilt: n = = 8; e n =. Nun müssen wir uns einen Punkt in der 8 5 ersten Ebene und einen Punkt in der zweiten Ebene wählen. Der Punkt P ( ;;) liegt in der ersten Ebene und der Punkt P ( ;;) liegt in der zweiten Ebene. Weiterhin gilt: x x = und somit: d = = =, Abstand einer Geraden von einer dazu parallelen Ebene Beispiel: Gegeben sei die Ebene ε durch x y z = 4 und die Gerade g durch: g : x = + t. Wir müssen zuerst zeigen, dass die Gerade parallel zur Ebene ist. Das ist dann der Fall, wenn der Richtungsvektor auf dem Normalenvektor der Ebene senkrecht steht, also das Skalarprodukt ist: = + =. Also liegt die Parallelität vor! 48

49 Abb. 7 Abstand einer Geraden und dazu parallelen Ebene Wir können auch hier einen beliebigen Verbindungsvektor x x zwischen Eben und Gerade in die gemeinsame Normalenrichtung projizieren: d = ( x x ) e n Nun ist n = ; e n =. Ein Punkt der Ebene ist gegeben durch: 4 4 x =. Somit gilt: x x = = d = =,. 49

50 5. Lotfußpunktverfahren Das Projektionsverfahren ist nur für eine Gerade im R² und eine Ebene im R³ geeignet, da es im R³ für die Geraden unendlich viele Normalenvektoren gibt, die Normalenrichtung also nicht eindeutig bestimmt ist. Daher muss ein anderes Verfahren gefunden werden: 5... Abstand Punkt Gerade im R³ Wir betrachten folgenden Fall im R³: Abb. 8 Lotfußpunktverfahren für Abstand eines Punkt und einer Geraden im R³ Damit gilt: d = x xf xf = x + ta. Einsetzen von xf in d ergibt: d = x x ta. Da a d, gilt: d a = Einsetzen von d = x x ta liefert: ( x x ta) a = ( x x) a t = a a damit lässt sich nun der Parameter t bestimmen, d d lässt sich somit auch bestimmen, also der gesuchte Abstand zwischen P und g. 5

51 Beispiel: Gegeben: P (; ; ); g : x = + t. Es gilt: x x = = 4 ;( x x) a = 4 = =. a a = =. Also: tf = =. Der Fußpunkt ist also gegeben durch: xf = =. Ferner ist: 4 d = x xf = =. d = = 6 =, Eine andere Möglichkeit ist diese: Eine Gerade sei gegeben durch x = x + ta. Ein Punkt P sei gegeben durch den Ortsvektor x. Wir ersetzen zunächst die Richtungsvektoren durch den zugehörigen Einheitsvektor a ea =. Dann gilt für den Abstand d = x x sin α, wobei der Winkel die Größe a des Winkels zwischen x x a bezeichnet. Fügt man nun noch den Faktor ea = hinzu, so erhält man nach Definition des Vektorprodukts d = x x e sin α = ( x x ) e. a a Abb. 9 Lageuntersuchungen mit Hilfe des Vektorprodukts 5

52 Die Plückerform einer Geraden lautet x a = x a bzw. ( x x ) a =. a Ersetzt man a durch den zugehörigen Einheitsvektor ea =, so erhält man a ( x x ) e =. Setzt man in x die Koordinaten eines Punktes der Geraden ein, so ist a die Gleichung erfüllt. Setzt man dagegen die Koordinaten eines anderen Punktes P ein, der nicht auf der Geraden liegt, so erhält man statt des Nullvektors einen Vektor, dessen Betrag den Abstand des Punktes von der Geraden angibt: ( ). d = x x e a Beispiel: Gegeben sei x = ; x = ; a =. x x 4 = ; a ; e a = = =. 4 ( x x ) e a = 4. = 7 66 d = = = 6 =, 45. Auch damit können wir den Abstand eines Punktes zu einer Geradem im R³ berechnen! 5

53 5... Abstand paralleler Geraden im R³ Da parallele Geraden g und g überall den gleichen Abstand haben, braucht man nur den Abstand eines Punktes auf g oder g bestimmen und dann nach dem unter. vorgegebenen Lotfußpunktverfahren vorgehen. Abb. Lotfußpunktverfahren bei parallelen Geraden im R³ 5... Abstand windschiefer Geraden im R³ Sind zwei Geraden g und h mit nicht kollinearen Richtungsvektoren gegeben, so können diese Geraden windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden. Da bereits die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und einer Geraden auf der Geraden senkrecht steht, ist es plausibel, dass eine Strecke nur dann die kürzeste Verbindung zwischen zwei windschiefen Geraden sein kann, wenn sie auf beiden Geraden senkrecht steht. Es ist aber nicht von vornherein klar, dass es überhaupt eine solche Verbindungsstrecke gibt, und auch nicht, ob es nur eine solche Strecke gibt, die auf beiden Geraden senkrecht steht. Wir können aber versuchen, zwei Punkt G auf g und H auf h so zu bestimmen, dass die Strecke GH auf g und auf h senkrecht steht. Es wird sich dann herausstellen, ob es eine solche Strecke gibt und ob sie eindeutig bestimm ist. Zwei Geraden seien gegeben durch x = x + ra x = x + sb. Die Bedingung für den Verbindungsvektor der beiden Lotfußpunkte G und H: d = x x lautet: d a = d b =. H G Für die Parameterwerte r und s der beiden Lotfußpunkte gilt dann: xh = x + ra xg = x + sb und somit: d = xh xg = x + ra x sb. Aus d a = d b = folgt: ( x x) a r( a a) + s( b a) = ( x x ) b r( a b) + s( b b) =. 5

54 Beispiel: 4 Gegeben: g : x t = ; h : x 4 s + = +. 4 x x 4 7 = ;( x x ) a 7 = = = + 4 = 4; ( x x ) b = 7 = 6 = 5 Weiterhin gilt: a a = = 4; a b = 6 = 4; b b = = Das LGS lautet damit: 4 4r 4s = 5 + 4r + s = Dieses LGS lösen wir auf und erhalten: r = s =. Die Fußpunkte sind also gegeben durch: xg = + = xh = 7 : 4 9 d = xh xg = 7 = 6 ; d = = 66 =, Wenn man vergessen hat, die beiden Richtungsvektoren auf Kollinearität zu überprüfen, kommt man dennoch zum Ziel: 54

55 Gegeben: g : x t = ; h : x s 4 + = +. x x 4 = ;( x x ) a 4 = = = 8 = ; ( x x ) b = 4 4 = = 4 Weiterhin gilt: a a = 6; a b = ; b b = 4 Das LGS lautet damit: 6r s = 4 + r + 4s = Dieses LGS lösen wir auf und erhalten: r = s =. Die Fußpunkte sind also gegeben durch: xg = xh = 4 = : d = xh xg = = ; d =. 55

56 5. Alternativ-Verfahren zum Lotfußpunktverfahren Da das Lotfußpunktverfahren in gewissen Sinne sehr aufwendig sein kann (im Rechenaufwand), wollen wir in diesem Abstand eine Alternative zum Lotfußpunktverfahren vorstellen Abstand Punkt Gerade im R³ Beispiel: 6 x = 5 ; g : x = + t 4 Abb. Alternativ-Verfahren zum Lotfußpunktverfahren Abstand Punkt Gerade in R³ Wir wählen uns eine Hilfsebene, die senkrecht auf der Geraden g steht und durch den Punkt P verläuft. Hier gibt es nur eine ganz bestimmte Ebene, die diese Eigenschaften erfüllt. Als Normalenvektor nehmen wir den Richtungsvektor der Geraden g, denn der Normalenvektor steht, wie der Richtungsvektor der Geraden g, auf der Ebene senkrecht. Damit die Ebene durch den Punkt P verläuft, müssen wir den Normalenvektor mit dem Vektor zum Punkt P multiplizieren. Wir erhalten: 56

57 6 ε Hilfsebene : x 5 = 4 4 ε Hilfsebene : x = 4 Der Fußpunkt x ist gleichzeitig Schnitpunkt von der Geraden und der Ebene. F Wir müssen also den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnet. Aus g folgt: x = + t; y = t; z = 4 t. Dies setzen wir in die Normalform der Ebene ein und erhalten dem entsprechend: + t + t 4( 4 t) = + t 8 + 6t = t = Einsetzen von t = in die Gerade ergibt den gesuchten Fußpunkt: xf = + = ; d x x F 5 4 = = = ; d = = 6 = Abstand paralleler Geraden oder paralleler Ebenen im R³ Um den Abstand paralleler Geraden oder paralleler Ebenen im R³ berechnen zu können, wählen wir uns einfach einen Punkt auf der Geraden oder auf der Ebene und berechne den Abstand dieses Punktes zu der Geraden bzw. zu der Ebenen, da alle Punkte auf der Geraden bzw. auf der Ebene den gleichen Abstand zu der anderen Gerade bzw. der anderen Ebene hat. 57