Kursstufe K

Transkript

1 Kursstufe K 6..6 Schreiben Sie die Ergebnisse bitte kurz unter die jeweiligen Aufgaben, lösen Sie die Aufgaben auf einem separaten Blatt. Aufgabe : Berechnen Sie das Integral Lösungsvorschlag : exp(3x ) dx. 5 x (3x) (3x) exp(3x ) dx e dx e ln(x) 5 x 5 x3 5 (3) (3 ) 8 5 e ln() e ln() e ln() e e e ln() 9,9 3 5 x Aufgabe : Lösen Sie die Gleichung x 8 e 6 0 Lösungsvorschlag : Merke: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.. Fall: x 8 0 x x/ (Zwei Lösungen!) x x. Fall: e 6 0 e 6 x ln(6) x ln(6) x ln 6 Aufgabe 3: Gegeben sind die Punkte A( ), B(0 -), C( - ) und D(- 9 0). Geben Sie die Koordinatenform der Ebene E durch A, B und C an. Überprüfen Sie, ob D auf dieser Ebene liegt. Lösungsvorschlag 3: Die Ebene durch die Punkt A, B und C ist E : x 0A r AB sac r s 6 0 x Sei n y eine Normale, so ist das Skalarprodukt mit den beiden Spannvektoren Null. z x x Es gilt also gilt y x y z 0 und y 6 x 6y 0. Wir müssen z z 0 nur eine vom Nullvektor verschiedene Lösung angeben. Der letzten Gleichung entnehmen wir x = 3 und y = ist eine Lösung. Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, erhalten

2 Kursstufe K 6..6 wir: 3 z 0 oder z = -. Damit ist 3 n eine Normale. Eine Normalengleichung 3 der Ebene ist damit: E : x 0 Multiplizieren wir dies aus, erhalten wir die Koordinatengleichung, E : 3x y z 6 6 Wenn D auf der Ebene liegt, so muss die linke Seite der Koordinatengleichung 6 ergeben, wenn wir die Koordinaten des Punktes einsetzen: 3( ) Da dies der Fall ist, liegt der Punkt auf E. Variante mit der Koordinatenform: Falls D auf E liegt, muss es r und s geben mit 9 r s Die dritte Zeile liefert sofort r s. Also gilt s oder s = -.. Setzen wir dies in die erste Zeile ein, so erhalten wir Nun müssen wir noch überprüfen, ob sich der Wert der linken Seite ergibt, wenn wir r und s in die linke Seite der dritten Gleichung einsetzen. Wie man leicht sieht, ist dies richtig diese Überprüfung darf man aber nicht vergessen - man muss mindestens schreiben, dass man dies macht. Anmerkung: Wer will kann natürlich die Gleichungen auch mit dem Gaußverfahren lösen, dabei ist aber zu beachten, dass man vor dem Verfahren den Stützvektor auf die andere Seite bringt. Es sind ja Unbekannte zu bestimmen, d.h. das Verfahren hat drei Spalten nicht vier! Es ist selten hilfreich, einfach ohne Verständnis loszurechnen.. Aufgabe : Bestimmen Sie alle Punkte auf der x-achse, die von der Geraden den Abstand 9 haben. 00 g : x t 3 Lösungsvorschlag : Ein Punkt auf der x-achse ist von der Form P(r/0/0). 00 Der Abstand des Punktes P(r/0/0) von der Geraden g : x t 3 sich z.b. in drei Schritten: berechnet

3 Kursstufe K 6..6 r 0. Schritt: Ebene E senkrecht zu g durch P: E : x 0 0. Die Koordinatenform ist E : y z 0 0. Schritt: Bestimme den Schnittpunkt von g mit E: Sei S( / / ) ein Schnittpunkt, 00 so gibt es ein t mit t und es gilt 0. Setzen wir die ersten 3 drei Gleichungen in die vierte ein, ergibt sich: t 3 t 0 t t 7. Setzen wir dieses t in die Geradengleichung ein, erhalten wir Also ist der Schnittpunkt S( / / ) = S(0 / / ) 3 3. Schritt: Der Abstand des Punktes S von P ist damit 0 r r d PS 0 r 6 6 r 3 0 Wenn der Punkt P(r/0/0) von der Geraden g also den Abstand 9 haben soll, gilt r 3 9 r 3 8 r Damit muss r entweder +7 oder -7 sein. Die zwei Punkte auf der x-achse, die von der Geraden g den Abstand 9 haben sind P(7/0/0) und P(-7/0/0). Aufgabe 5: a) Beschreiben Sie mit Worten, wie man den Abstand eines Punkts P(x p / y p / z p) von der Geraden g : x p r q bestimmt. b) Weisen Sie nach, dass der Punkt P(7 / / 8) nicht auf der Ebene E : x y z 0 liegt. Damit kann man den Punkt P an E spiegeln. Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes. (Tipp: Abstand des Punktes P von E mit der Gerade senkrecht zu E, Spiegelung kann mit Schnittpunkt g und E bestimmt werden. Lösungsvorschlag 5: zu a) ) Bestimme die Ebene D durch P, die senkrecht zu g ist (Richtungsvektor von g = Normalenvektor von D ) Bestimme den Schnittpunkt S von E und g. 3) Bestimme den Abstand von P zu S Zu b) P liegt nicht auf der Ebene E, wenn die rechte Seite der Koordinatengleichung von E nicht 0 ist, wenn man darin die Koordinaten von P einsetzt. Dies gilt hier, denn

4 Kursstufe K 6..6 Wenn man den Punkt P an E spiegeln möchte, so muss man eine Gerade von P senkrecht zu E zeichnen und den Punkt bestimmen, der von E genau so weit entfernt ist, wie P. Beim Bestimmen des Abstandes von P zu E bestimmen wir genau diese Gerade. 7 Die Gerade g senkrecht zu E durch P ist: g : x r. Sei S(x/y/z) ein Punkt, 8 x 7 der auf g und E liegt, so gilt: Es gibt ein r mit y r und es gilt z 8 x y z 0. Setzen wir die ersten drei Gleichungen in die vierte ein, erhalten wir: 7 r r8 r 0 oder 8 6r 56 6r 6 r oder 00 36r 0. Damit ist r. Setzen wir r in die Geradengleichung 36 ein, erhalten wir den Punkt auf S. Da der gesuchte Spiegelpunkt P doppelt so weit von P(7//-8) entfernt sein muss, bekommen wir ihn, wenn wir das Doppelte von r einsetzen. Der gesuchte Spiegelpunkt P ist also OP' 5 6. Der Spie gelpunkt ist also P (7/3/-8). Eine Variante: Man auch zuerst den Schnittpunkt ausrechnen, also 7 3 OP',5 8 3 Der Spiegelpunkt P ist nun von S(-3//-3) gleich weit entfernt, wie P, aber auf der anderen Seite. Man kommt von P zu P, wenn man doppelt so weit geht, wie von P nach S. Also OP' Aufgabe 6: a) Weisen Sie nach, dass die Gerade g : x 3 r parallel zur Ebene,5 E : x 0,5y z ist. b) Bestimmen Sie mit der Hesseschen Normalenform den Abstand eines Punktes auf g von der Geraden. Lösungsvorschlag 6: Zu a) g ist parallel zu E genau dann, wenn die Normale der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht aufeinander stehen.

5 Kursstufe K 6..6 n E ug 0,5 5 0.,5 Eine andere Variante ist: Bestimme die Schnittpunkte. G und E sind parallel, wenn es keine Schnittpunkte gibt, d.h., wenn die Annahme, es gäbe Schnittpunkte zu einem Unsinn führt, z.b. 0= x 0,5y z Zu b) Die HNF ist E : 0 0,5 Damit ist der Abstand des Punkte P(0/-3/-) 0 0,5 ( 3) ( ) 0,5 0,5 d 0,895 0,5 6 0, 5 0,5 Aufgabe 7: Bestimmen Sie c so, dass der Winkel zwischen der xy-ebene und der Geraden 3 g : x r die Größe 5 hat. c Lösungsvorschlag 7: Sei c so dass 0 ne 0 und 3 ug c c 5 c neug sin( ) sin(5 ) 0, 707. Damit gilt wegen n u E g c c c c 5 c 0 c c 5 c c 5. Dies Gleichung hat zwei Lösung, nämlich c 5 und c 5. Die beiden Geraden, die die xy-ebene senkrecht schneiden sind also g 3 3 : x r und g : x r 5 5 Aufgabe 8: a) Zeigen Sie, dass die Punkte P(7 / / -7) und R( / - / 0) in der Ebene E : x 7y z 8 liegen b) Bestimmen Sie die beiden Punkte S und S, die 6 Einheiten von E entfernt sind und deren Verbindungsgerade senkrecht durch P geht. c) Die Strecke RS rotiere nun um das die Verbindungsgerade von S und P. Bestimmen Sie das Volumen des so entstehenden Kegels

6 Kursstufe K 6..6 Lösungsvorschlag 8: a) Setzt man die Punkte P und S in die linke Seite der Koordinatengleichung und ein, muss sich jeweils 8 ergeben. Dies ist richtig, denn b) Die Gerade senkrecht zu E durch P ist: g : x r 7. Da bereits nachgewiesen wurde, dass P auf E liegt, ist der Schnittpunkt von g und E der Punkt P. 7 Die Länge des Richtungsvektor ist Normiert man den Richtungsvektor zu ergibt sich (wenn man s r r 9 setzt ) 7 g : x s 7 9. Für s 6 ergeben sich die gewünschten Punkte OS und OS c) Das Volumen der Pyramide ist V r h. Die Höhe ist 6, der Radius r = der 3 Abstand der Punkte P und R, d.h r PR Damit ist V