Wiederholung Vektoren/Geraden

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Norbert Schmidt
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1 Wiederholung Vektoren/Geraden S. 55 Nr. 4a Stelle eine Vektorgleichung auf: x a + y b + z c = d. Bilde daraus ein LGS: x + 3y z = 1 x + y + z = 1 x + y + 5z = oder in Matrixschreibweise: Löse das LGS mit Maple (with(linearalgebra), LinearSolve(...)) Man erhält x = 40, y = 4, z = 19 bzw a + b + 19 c = d S. 55 Nr. 5d Stelle die Vektorgleichung x a + y b + z c = 0 auf, bilde daraus ein LGS: x + y = 0 3y + z = 0 4x + 4y 7z = oder in Matrixschreibweise: Löse das LGS mit dem Additionsverfahren mit der Hand, d.h. bringe es auf Stufenform Man kann es umformen zu: und damit x = y = z = 0, deswegen sind die drei Vektoren linear unabhängig. Anmerkung: Die Vektoren wären linear abhängig, wenn man eine Zeile so umformen kann, dass sie nur 0er enthält bzw. 0 = 0 lautet und damit unendlich viele erhält.

2 S. 55 Nr. 6d) Vorgehensweise wie oben, bringe das LGS mit Maple in Zeilenstufenform (ReducedRowEchelon- Form) Die Matrix lässt sich vereinfachen zu: An der letzten Zeile erkennt man, dass das LGS unendlich viele hat, die drei Vektoren sind linear abhängig. S. 55 Nr. 8 a) Stelle folgende Vektorgleichung auf: x a t + y b t + z c t = 0 auf, bilde daraus ein LGS: tx + y + z = 0 tx + y + z = 0 x + (t + 1)y = 0 t 1 0 oder in Matrixschreibweise: t t Forme die Matrix schrittweise in Zeilenstufenform um: (1. Zeile minus. Zeile, schreibe das Ergebnis in die. Zeile) t 1 0 = t Schreibe wieder in LGS um: tx + y + z = 0 y = 0 x + (t + 1)y = 0 Also gilt: y = 0. Einsetzen in die 3. Zeile liefert unabhängig vom Wert von t, dass x = 0. Einsetzen von x = y = 0 in die 1. Zeile liefert unabhängig vom Wert von t, dass z = 0. Also sind die drei Vektoren unabhängig vom Wert von t linear unabhängig. b) Setze für t = ein, löse das LGS von oben also für t =. Man erhält x = y = z = 0. Alson sind die drei Vektoren linear unabhängig.

3 c) Stelle eine Vektorgleichung auf: x a t + y b t + z c = d. Bilde daraus ein LGS: oder in Matrixschreibweise: t 1 3 t t tx + y + z = 3 tx + y + z = 4 x + (t + 1)y = Löse das LGS: (1. Schritt: 1. Zeile minus. Zeile, schreibe das Ergebnis in die. Zeile.) t 1 3 t 1 3 = t = t t Wieder kann man bereits hier aufhören, weil y = 1 schon feststeht. Schreibe um in Gleichungen. Einsetzen in die 3. Gleichung liefert x = 1, Einsetzen in die 1. Gleichung liefert z = 3, also ist d = a t b t + 3 c. d) t t + 3 Betrag des Vektors: a t + b t + c = t = t + soll 3 sein. 1 + t + 1 t + Der Betrag eines Vektors a = a 1 a a 3 ist a = a 1 + a + a 3. Also: a t + b t + c = (t + 3) + (t + ) + (t + ) soll 3 sein. Vereinfachen liefert t 1 = 4, t = 3. S. 57 Nr. 16c Um zu überprüfen, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen, muss man überprüfen, ob (z.b.) die beiden Vektoren AB und BC parallel, also linear abhängig, sind AB = b a = 8 ; BC = c b =

4 Die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander: AB = 8 BC. Also sind die zwei Vektoren linear 11 abhängig und die drei Punkte liegen auf einer Geraden. S. 57 Nr. 16d Um zu überprüfen, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen, muss man überprüfen, ob (z.b.) die beiden Vektoren AB und BC parallel, also linear abhängig, sind. 7 6 AB = b a = 0 ; BC = c b = Überprüfe, ob AB Vielfaches von BC ist: 7 6 r = = r 0 r beliebig r = 1 16 Widerspruch. Also sind die zwei Vektoren linear unabhängig und die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden. S. 57 Nr. 17c Überprüfe die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit: 10 Richtungsvektor von g: u g = 15 0 Richtungsvektor von h: u h = 3 4 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, denn u g = 5 u h. Also können die beiden Geraden nur parallel oder identisch sein. Um zu überprüfen, ob die Geraden identisch sind, setze ich den Stützvektor von g in die Gleichung von h ein: 16 3 = 1 + s Forme die Vektorgleichung um zu einem LGS und löse nach s auf. Man erhält aus den drei Zeilen für s unterschiedliche Werte, also einen Widerspruch. Die beiden Geraden sind nicht identisch.

5 Antwort: Die beiden Geraden sind parallel und nicht identisch. S. 57 Nr. 17d Überprüfe die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit: Richtungsvektor von g: u g = Richtungsvektor von h: u h = 0 3 Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, was man direkt an der. Koordinate erkennt. Also können die beiden Geraden sich schneiden oder sie sind windschief. 1. Möglichkeit: Bestimme den möglichen Schnittpunkt. (Hier genügt es nicht, den Stützvektor von g in die Gleichung von h einzusetzen, wieso?) Setze die beiden Geradengleichungen gleich, löse das entstehende LGS: r 1 = 1 + s LGS: 3 + r = 7 + 5s 1 r = r = 7 + 3s r 5s = 4 r = r 3s = Also ist r =. Setze in die 1. Gleichung ein: s = 0 Setze in die. Gleichung ein: s = 0 (Wenn sich für s zwei unterschiedliche Werte ergeben würden, wären die Geraden windschief.) Setze s = 0 in die Gleichung von h ein: S(7 1 7).. Möglichkeit. Überlege zunächst, ob es einen Schnittpunkt geben kann. Untersuche dafür ob der Richtungsvektor von g, u g, und der Vektor zwischen den Stützpunkten von g und h, p h p g, linear abhängig sind (vgl. S. 54 Nr. 11).

6 u g = p h p g = Die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander, also linear abhängig. Es gibt einen Schnittpunkt. Der Schnittpunkt muss weiterhin wie bei der 1. Möglichkeit bestimmt werden. (Wenn die Geraden windschief wären, könnte man sich damit das LGS sparen.) S. 57 Nr. 18 a) d = b + AC = 3 3. Also D( 3 3 0). 0 b) 3 0 g AB : x = 3 + r g SC : x = 0 + s (Es gibt viele Möglichkeiten, die Geraden anzugeben.) Überprüfung wie in Aufgabe 17: Die Geraden liegen zueinander windschief. c) Besser per Hand als mit Maple. Zeichne die x 1 -Achse nach vorne (1LE =, d.h. ein diagonales Kästchen), die x -Achse nach rechts (1LE = 1cm), die x 3 -Achse nach oben (1LE = 1cm). Strichle die hinteren Kanten. Das erspare ich mir am Computer. S. 57 Nr. 19 a) E(3 5); F(7 5 5); G(0 6 5) b) Stelle die Geradengleichung der Gerade durch A und B auf. Bestimme den Schnittpunkt mit

7 der Geraden g: T(5 3,5 0). Bestimme das Teilverhältnis t mit AT = t TB: AT = 1,5 ; TB = 1, T teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:1. c)... d) Der Grundkreis des Kegels hat als Radius die Hälfte der Grundseite AB: r = 1 AB = = 5. Die Höhe ist die Höhe des Würfels, also AB = 5. Volumen des Kegels: V = 1 3 G h = 1 3 πr h = 15 1 π. S. 65 Nr. 10a) Es gibt zwei Möglichkeiten. Auch wer Maple verwendet, muss die erste Möglichkeit erklären können. Per Hand/Maple nur als Taschenrechner: AB 3 AC cos(α) = AB AC = 3 + ( ) + = α 78,7. Analog: β 4,3. Aus der Winkelsumme im Dreieck ergibt sich γ 59,0. Oder in Maple mit dem Paket geom3d. Den Punkten müssen als dritte Koordinaten jeweils 0er ergänzt werden. Z.B. für den Winkel α: > restart; with(geom3d); > point(a, [, 1, 0]); > point(b, [5, -1, 0]); > point(c, [4, 3, 0]); > line(ab, [A, B]); > line(ac, [A, C]); > FindAngle(AB, AC); > convert(%, degrees); evalf(%);

8 S. 66 Nr. 0 a) OP = OQ = 11. Also ist das Dreieck gleichschenklig mit Grundseite PQ und den Schenkeln OP und OQ. Mit Maple oder per Hand (s. oben) lassen sich die Winkel bestimmen: Scheitelwinkel: 30,74 Basiswinkel: 74,63 b) r = OR = OP + OQ = 9 1 R(9 1 15). 15 c) Das Skalarprodukt der Diagonalenvektoren muss 0 ergeben: 9 5 OR PQ = 1 0 = ( 3) = = S. 67 Nr. 5 b) Bilde das Kreuzprodukt. Nebenrechnung: X 1 X 5 X ( ) ( 1) ( 1) 7 Man erhält n = a b = 1 5 ( ) = 1. ( 1) Weil jedes Vielfache auch ein Normalenvektor ist, kann als Normalenvektor z.b. auch n = 1 17 angegeben werden. 5 c) z.b. n = 5 3 Noch Fragen? Dann gerne per Mail!

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