Mathematische Probleme, SS 2019 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 17:03:16 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/12 17:03:16 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Wir beschäftigen uns gerade mit den primitiven pythagoräischen Tripeln. Haben wir ein solches Tripel, also teilerfremde natürliche Zahlen a, b, c mit a 2 +b 2 = c 2 so konnten wir diesem einen rationalen Punktt (u, v) im ersten Quadranten des Einheitskreises zuordnen, nämlich u = a/c und v = b/c. Weiter betrachten wir die Verbindungsgerade von ( 1, 0) und (u, v) und deren Steigung ist eine rationale Zahl 0 < t < 1 nämlich t = v u + 1. Starten wir etwa mit dem pythagoräischen Tripel (a, b, c) = (8, 15, 17) so sind u = 8 17, v = und t = = = 3 5. Wir wollen diese beiden Konstruktionen nun umkehren. Wir starten also mit t Q und 0 < t < 1. Die Gerade der Steigung t durch ( 1, 0) ist dann gegeben als y = t(x + 1) = tx + t Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Einheitskreis berechnen sich durch 1 = x 2 + y 2 = x 2 + t 2 (x + 1) 2 = (t 2 + 1)x 2 + 2t 2 x + t 2 und umgestellt zu einer normierten quadratischen Gleichung für x wird dies zu x 2 + 2t2 t x + t2 1 t = 0. Die eine Nullstelle ist x = 1 und erinnern wir uns daran das die Summe der beiden Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung gerade das Negative des linearen Terms dieser Gleichung ist, so liegt die zweite Nullstelle in mit zugehörigen y-wert u := 1 v := t(x + 1) = 2t2 t = 1 t2 1 + t 2 2t 1 + t

2 Zu jeder Steigung t gehört also ein Punkt (u, v). Haben wir andererseits einen solchen rationalen Punkt (u, v) Q 2 >0 mit u 2 + v 2 = 1 so schreiben wir u = p/q, v = p /q mit jeweils teilerfremden p, q N beziehungsweise p, q N. Definiere dann c := [q, q ] als das kleinste gemeinsame Vielfache von q und q und setze a := pc/q N und b := p c/q N. Dann ist u = p q = p c q q c q = a c p und v = = p c q q q c q = b c also auch a 2 + b 2 c 2 = ( a c ) 2 + ( b c ) 2 = u 2 + v 2 = 1 und somit haben wir a 2 + b 2 = c 2. Die Zahlen a, b, c haben auch keinen gemeinsamen Teiler. Sei nämlich r ein gemeinsamer Primteiler von a, b, c. Durch eventuelles Vertauschen von u und v können wir dann annehmen das r ein Teiler von q ist. Dann ist r ein Teiler von c/q, also auch von q. Weiter ist r dann auch ein Teiler von c/q, aber c/q und c/q sind teilerfremd, ein Widerspruch. Nehmen wir etwa t = 3/7 so werden u = = 20 29, v = = wir haben also das primitive pythagoräische Tripel a = 20, b = 21, c = Geraden in der Ebene Eine Teilmenge g R 2 heißt eine Gerade wenn es einen Punkt p R 2 und einen von Null verschiedenen Vektor u R 2 \{0} mit g = p + Ru = {p + tu t R} gibt. Bei einem systematischen Zugang kann man dies als Definition einer Gerade verwenden. In der obigen Darstellung nennt man p einen Aufpunkt und u einen Richtungsvektor von g. Dabei sind weder Aufpunkt noch Richtungsvektor eindeutig festgelegt, als Aufpunkt kann jeder beliebige Punkt von g gewählt werden und anstelle von u kann auch jedes von Null verschiedene Vielfache von u verwendet werden, für p, q, u, v R 2 mit u, v 0 gilt also p + Ru = q + Rv (λ, µ R) : v = λu q = p + µu. Dies folgt aus den Rechenregeln in Vektorräumen und wird in Aufgabe (2) behandelt. Da je zwei Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind ist der eindimensionale Untervektorraum R(g) := Ru eindeutig durch g bestimmt und heißt die Richtung von g, die Richtungsvektoren sind dann genau die von Null verschiedenen Elemente der Richtung R(g) von g. Aufgrund der obigen Definition ist es auch leicht die inzidenzgeometrischen Grundeigenschaften von Geraden in der Ebene einzusehen, also 2-2

3 1. Sind a, b R 2 mit a b zwei verschiedene Punkte so existiert genau eine Gerade g durch a und b, nämlich g = a+r(b a). Wir nennen diese die Verbindungsgerade von a und b und schreiben sie als g = a b. 2. Sind g, h R 2 zwei Geraden so ist genau dann R(g) = R(h) wenn g = h oder g h = ist. Man nennte die beiden Geraden g und h dann parallel und schreibt g h. Die Kontraposition dieser Aussage sagt dann das sich je zwei nicht parallele Geraden schneiden und nach der ersten Aussage ist dieser Schnittpunkt eindeutig. 3. Zu jedem Punkt a R 2 und jeder Geraden g R 2 mit a / g existiert genau eine Gerade h R 2 mit a h und g h =. Auch dies sind alles Aussagen die sich über die Vektorraumeigenschaften nachweisen lassen, die letzten beiden benötigen dabei das der Vektorraum zweidimensional ist. Wir werden dies in Aufgabe (2) etwas genauer durchführen. Jede Gerade g im R 2 kann man alternativ auch in einer Gleichungsform g = {(x, y) R 2 ax + by = c} mit Konstanten a, b, c R, (a, b) (0, 0) schreiben. Um einen bequemen Übergang von der Aufpunkt Richtung Fom zur Gleichungsform einer Geraden zu haben beweisen wir zunächst ein rechnerisches Kriterium für die Kollinearität dreier Punkte. Lemma 1.4 (Charakterisierung kollinearer Punktetripel) Seien a, b, c R 2 drei Punkte. Dann sind a, b, c genau dann kollinear wenn gilt. a 2 b 2 c 2 = 0 Beweis: Ist a = b oder a = c so sind a, b, c kollinear und die betrachtete Determinante hat zwei identische Spalten und verschwindet somit. Wir können also annehmen das a b und a c ist. Dann sind a, b, c genau dann kollinear wenn a b = a c ist und da diese beiden Geraden durch a gehen ist dies auch genau dann der Fall wenn a b a c also R(b a) = R(c a) gilt. Letzteres bedeutet das b a, c a linear abhängig sind, dass also ist. a 2 b 2 c 2 = a 1 b 1 a 1 c 1 a 1 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = b 1 a 1 c 1 a 1 b 2 a 2 c 2 a 2 = 0 2-3

4 Als abkürzende Schreibweise definieren wir für je drei Punkte a, b, c R 2 [a, b, c] := a 2 b 2 c 2 und können die Bedingung des Lemmas in der Forn [a, b, c] = 0 aussprechen. Hieraus ergibt sich eine weitere Formel für die Verbindungsgerade zweier Punkte der Ebene. Lemma 1.5 (Die Gleichung der Verbindungsgeraden zweier Punkte) Seien a, b R 2 mit a b. Dann gilt a b = {x R 2 [a, b, x] = 0}. Beweis: Ein weiter Punkt x R 2 liegt genau dann auf der Verbindungsgeraden g = a b von a und b wenn a, b, x kollinear sind, nach Lemma 4 gilt also g = {x R 2 [a, b, x] = 0}. Da die Determinante in jeder ihrer Spalten linear ist, ist x [a, b, x] eine affine Funktion, es liegt also eine Beschreibung der Verbindungsgeraden g = a b durch eine lineare Gleichung vor. Um dies etwas expliziter zu machen ist eine weitere kleine Schreibweise hilfreich. Für a, b R 2 setzen wir [a, b] := a 1 b 1 a 2 b 2, als Determinante ist dies eine lineare Funktion in jeder ihrer beiden Spalten. Diese beiden Klammersymbole sind nicht unabhängig voneinander, der Laplacesche Entwicklungssatz für Determinanten liefert uns nämlich [a, b, c] = a 2 b 2 c 2 = b 1 c 1 b 2 c 2 a 1 c 1 a 2 c 2 + a 1 b 1 a 2 b 2 = [b, c] [a, c] + [a, b] = [a, b] + [b, c] + [c, a]. Aus den Symmetrieeigenschaften der Determinante erhalten wir weiter sowie [b, a] = [a, b] und [a, c, b] = [c, b, a] = [b, a, c] = [a, b, c] [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]. Schließlich kann man die Dreierklammer dreier Vektoren auch als Zweierklammer zweier anderer Vektoren schreiben, nämlich [a, b, c] = a 2 b 2 c 2 = a 1 b 1 a 1 c 1 a 1 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = b 1 a 1 c 1 a 1 b 2 a 2 c 2 a 2 = [b a, c a]. 2-4

5 Tatsächlich hatten wir diese Formel bereits im obigen Beweis hergeleitet. Es gibt eine weitere Folgerung aus diesen Formeln, haben wir einen vierten Vektor t R 2 so wird [a + t, b + t, c + t] = [(b + t) (a + t), (c + t) (a + t)] = [b a, c a] = [a, b, c]. Hiermit erhalten wir dann Formeln für in Aufpunkt Richtung Form gegebene Geraden. Lemma 1.6 (Ebene Geraden in Aufpunkt Richtung Form) Sind a R 2 und u R 2 \{0} so ist g := a + Ru = {x R 2 [x, u] = [a, u]}. Sind auch b R 2 und v R 2 \{0} und ist die Gerade h := b + Rv nicht parallel zu g, so ist der Schnittpunkt s von g und h gegeben als s = [b, v] [a, u] u [u, v] [u, v] v. Beweis: Die Gerade g ist die Verbindungsgerade von a und a + u mit Lemma 5 und den obigen Formeln haben wir also g = a (a + u) = {x R 2 [a, a + u, x] = 0} = {x R 2 [u, x a] = 0} = {x R 2 [u, x] [u, a] = 0} = {x R 2 [x, u] = [a, u]}. Wir kommen zur zweiten Aussage. Da g h gilt ist Ru Rv, d.h. u, v sind im R 2 linear unabhängig und somit eine Basis des R 2. Insbesondere ist also überhaupt [u, v] 0. Weiter gibt es λ, µ R mit s = λu + µv. Wegen s g ist damit [a, u] = [s, u] = λu 1 + µv 1 u 1 λu 2 + µv 2 u 1 = µ[v, u] = µ[u, v] und analog [b, v] = [s, v] = λ[u, v], wir haben also λ = [b, v] [u, v] und µ = [a, u] [u, v]. Wir hatten bereits ein rechnerisches Kriterium zum Test dreier Punkte auf Kollinearität hergeleitet und nun können wir auch ein entsprechendes Kriterium zum Test dreier Geraden auf einen gemeinsamen Schnittpunkt erhalten. Lemma 1.7 (Lemma von den drei Geraden) Seien a, b, c R 2 und u, v, w R 2 \{0} und betrachte die drei Geraden l := a + Ru, 2-5

6 g := b + Rv und h := c + Rw. Dann sind die drei Geraden l, g, h genau dann kopunktal, gehen also alle durch einen Punkt, oder paarweise parallel wenn gilt. [c, w] [u, v] + [a, u] [v, w] + [b, v] [w, u] = 0 Beweis: Wir unterscheiden zwei verschiedene Fälle. Fall 1. Zunächst seien die drei Geraden l, g, h paarweise parallel, wir haben also Ru = Rv = Rw. Dann sind auch [u, v] = [v, w] = [w, u] = 0 und es gilt sofort [c, w] [u, v] + [a, u] [v, w] + [b, v] [w, u] = 0. Fall 2. Nun seien l, g, h nicht paarweise parallel. Da unsere Behauptung invariant unter zyklischen Vertauschungen von l, g, h ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit l g annehmen. Nach Lemma 6 ist s := [b, v] [a, u] u [u, v] [u, v] v der Schnittpunkt von l und g und genau dann ist s h wenn [s, w] = [c, w] gilt. Da l, g, h genau dann kopunktal sind wenn s h gilt, sind die drei Geraden l, g, h also genau dann kopunktal wenn [s, w] = [c, w] ist. Weiter ist die Determinante eine lineare Funktion ihrer Spalten und wir erhalten [s, w] = [ ] [b, v] [a, u] u [u, v] [u, v] v, w = also ist genau dann [s, w] = [c, w] wenn [b, v] [u, w] [a, u] [v, w] [u, v] [b, v] [w, u] + [a, u] [v, w] = [u, v] [c, w] [u, v] = ([b, v] [w, u] + [a, u] [v, w]) gilt. Letzteres ist gleichwertig zu [c, w] [u, v] + [a, u] [v, w] + [b, v] [w, u] =