1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /04/24 14:50:37 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.3 Sätze über Geraden in der Ebene Wir beschäftigen uns gerade mit dem Schwerpunkt eines Dreiecks, gegeben sind drei nicht kollineare Punkte a, b, c R 2, wir betrachten die Seitenmittelpunkte a = b + c 2, b = a + c 2, c = a + b 2 und der Schwerpunkt s ist dann der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden a, a, b, b, c, c des Dreiecks. Um den Schwerpunkt zu berechnen benötigen wir noch eine kleine Ergänzung zum Satz von Ceva. Satz 1.15 (Satz von Aubel) Seien a, b, c R 2 nicht kollinear und p a, b \{a, b}, q b, c \{b, c}, r c, a \{c, a} gegeben. Nehme weiter an das sich die drei Ecktransversalen p, c, q, a und r, b in einem Punkt s R 2 schneiden. Dann gilt (csp) = (cra) + (cqb). Beweis: Wäre s = c so hätten wir c r, b also auch r b, c und es folgte der Widerspruch r = c. Wäre s = p so hätten wir p q, a also q a, p = a, b und wir erhalten den Widerspruch q = b. Dies zeigt s c, p und damit ist das affine Teilungsverhältnis (csp) überhaupt definiert. Bezeichne λ, µ, ϱ die baryzentrischen Koordinaten von s bezüglich der affinen Basis a, b, c des R 2, also λ, µ, ϱ R, s = λa + µb + ϱc und λ + µ + ϱ = 1. Es gilt also existiert ein t R mit p p, c = c, s = c + R (s c) p = c + t(s c) = λta + µtb + (1 + t(ϱ 1))c und wegen p a, b folgt 1 + t(ϱ 1) = 0, d.h. ϱ 1 und t = 1 1 ϱ sowie p = λ 1 ϱ a + µ 1 ϱ b. 5-1

2 Analog folgen λ, µ 1 und q = µ 1 λ b + ϱ 1 λ c und r = λ 1 µ a + ϱ 1 µ c mit µ 1 λ + ϱ 1 λ = λ 1 µ + ϱ 1 µ = 1 da µ + ϱ = 1 λ und λ + ϱ = 1 µ gelten. Es folgen (cra) = λ ϱ und (cqb) = µ ϱ. Andererseits ist s = λa + µb + ϱc = (1 ϱ) ( λ 1 ϱ a + µ ) 1 ϱ b + ϱc = (1 ϱ)p + ϱc also haben wir (csp) = 1 ϱ ϱ = λ + µ ϱ = (cra) + (cqb). In den Bezeichnungen der obigen Diskussion gilt also (csc ) = (cb a) + (ca b) = 2 also gibt es λ, µ R mit λ + µ = 1, s = λc + µc und µ/λ = 2, d.h. µ = 2λ. Es folgt 1 = λ + µ = 3λ also λ = 1/3, µ = 2/3 und s = 1 3 c c = a + b + c. 3 In anderen Worten hat der Schwerpunkt s unseres Dreiecks die baryzentrischen Koordinaten 1/3, 1/3, 1/3. Zum Abschluß unserer Überlegungen zum affinen Teilungsverhältnis wollen wir auch noch eine erste Form des Strahlensatzes herleiten. 5-2

3 c h g b l c h b a Satz 1.16 (Strahlensatz für affine Teilungsverhältnisse) Seien h, h R 2 zwei verschiedene Geraden die sich in einem Punkt a schneiden. Weiter seien b, c h\{a} und b, c h \{a} mit b c und b c. Schließlich seien l := b, b und g := c, c die Verbindungsgeraden von b und b beziehungsweise von c und c. Dann ist genau dann l g wenn (abc) = (ab c ) gilt. Beweis: Da a, b, c beziehungsweise a, b, c kollinear und paarweise verschieden sind gibt es λ, λ R\{0, 1} mit b = (1 λ)a + λc und b = (1 λ )a + λ c. Dann haben wir (abc) = (ab c ) λ 1 λ = λ 1 λ λ = λ, es ist also zu zeigen das genau dann λ = λ ist wenn l g gilt. Nun sind R(l) = R(b b) und R(g) = R(c c) also ist l g b b, c c sind linear abhängig [b b, c c] = 0. Andererseits haben wir [b b, c c] = [(λ λ )a + λ c λc, c c] = [(λ λ )a + λ (c c) (λ λ )c, c c] = (λ λ )[a c, c c] = (λ λ )[c, a, c ] und da a, c, c wegen h h nicht kollineear sind ist nach Lemma 9 auch [c, a, c ] 0, wir haben also genau dann l g wenn λ λ = 0 ist. 5-3

4 1.4 Anordnungseigenschaften Wir haben unsere Aussagen alle über den reellen Zahlen formuliert da wir wie schon eingangs erwähnt in dieser Vorlesung an der normalen Zeichenebene und dem normalen Raum interessiert sind. Wirklich benutzt wurde dies allerdings nicht, die meisten unserer Überlegungen ändern sich nicht wenn R durch einen anderen Körper K ersetzt wird. Ausnahmen sind zum einen der Begriff des Streckenmittelpunkts, dieser benötigt die Voraussetzung 2 0 also char K 2, und zum anderen unsere Begründung das die Seitenhalbierenden in einem Dreieck nicht paarweise parallel sind, hier haben wir 3 0 also char K 3 verwendet. Tatsächlich sind die Seitenhalbierenden in Dreiecken im Fall char K = 3 immer paarweise parallel. In diesem Abschnitt werden wir dagegen wirklich benutzen das wir uns über den reellen Zahlen befinden. c H b g a a In der normalen Zeichenebene sollte eigentlich offensichtlich sein das Seitenhalbierende in einem Dreieck nicht parallel sein können. Das obige Bild legt dies zwar sehr nahe ist aber natürlich kein echter Beweis dieser Tatsache. Glücklicherweise ist es leicht möglich ausgehend vom obigen Bild einen echten Beweis zu konstuieren, und wir wollen hier einmal versuchen das Bild entsprechend auszuformulieren. Gegeben sind drei nicht kollineare Punkte a, b, c R 2 und ihre jeweiligen Seitenmittelpunkte a := (b + c)/2, b := (a + c)/2, c := (a + b)/2. Wir wollen einsehen das die beiden Seitenhalbierenden g := a, a und h := b, b nicht parallel sind. Da a, b, c nicht kollinear sind ist zumindest g h, wir müssen also nur einsehen das g h ist. Die Seitenhalbierende g zerlegt die Ebene in zwei offene Halbebenen H, H. Wäre c g so müsste a a, c b, c = {c} sein, es ist also c / g. Durch eventuelle Umbenennung können wir c H annehmen. Da b zwischen a und c liegt ist dann auch b H also H h. Andererseits liegt der Schnittpunkt a von g und b, c zwischen b und c, also liegen b und c auf verschiedenen Seiten von g und damit muss b H sein. Also ist auch H h. Damit trifft die Gerade h beide durch g gegebene offene Halbebenen und muss somit auch g schneiden. Die Geraden g und h können also nicht parallel sein. 5-4 H h b

5 Solche Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und auch Kreisen spielen in der eukldischen Geometrie eine entscheidende Rolle, in den bei Euklid angegebenen Axiomen werden sie allerdings nur am Rande explizit erwähnt. Zur Erinnerung wollen wir die bei Euklid angegebenen Axiome noch einmal auflisten: 1. Zwischen je zwei Punkten kann eine Strecke gezogen werden. 2. Jede gerade Linie kann unbegrenzt verlängert werden. 3. Zu jedem Mittelpunkt kann der Kreis mit diesem Mittelpunkt durch einen gegebenen Punkt gezogen werden. 4. Je zwei rechte Winkel sind kongruent. Ein rechter Winkel ist dabei einer der zu seinen Nebenwinkeln kongruent ist, wobei statt kongruent oft von gleich gesprochen wird, dies ist aber unnötig verwirrend. 5. Schneiden zwei Strecken eine Gerade in zwei gegenüberliegenden Winkeln die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so treffen sich diese Strecken bei Verlängerung ins Unendliche in einem Punkt der auf der Seite der Geraden liegt in der die beiden gegenüberliegenden Winkel sind die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Das fünfte Axiom ist dabei das sogenannte Parallelenaxiom, nur hier wird explizit von den Seiten eine Gerade gesprochen. Wirklich verwendet wird dann allerdings wesentlich mehr, die allererste Proposition bei Euklid ist die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks auf einer gegebenen Strecke, ist die Strecke etwa die Strecke zwischen den Punkten A und B, so werden um A ein Kreis durch B und um B ein Kreis durch A gezogen und die dritte Ecke des gesuchten Dreiecks entsteht als ein Schnittpunkt dieser beiden Kreise. Streng genommen wird in den Axiomen allerdings nirgends gefordert das es überhaupt einen solchen Schnittpunkt gibt. Dieses Problem wird bereits in antiken Kommentaren zu den Elementen diskutiert, als eine echte Lücke wird es allerdings nicht aufgefasst, die fünf Axiome werden nicht wirklich als vollständige Liste von Grundeigenschaften der euklidischen Geomtrie aufgefasst. Eine wirklich vollständige Axiomatik der euklidischen Geomtrie wurde um 1900 von Hilbert angegeben, in diesem Axiomensystem ist einer der Grundbegriffe eine dreistellige Relation des Dazwischenliegens auf der Punktmenge die diverse Eigenschaften haben soll. Diese Axiome betreffen Eigenschaften von Punkten und Geraden, zur Konstruktion gleichseitiger Dreiecke wird noch mehr benötigt, Hilbert verwendet hierzu seine sogenannten Stetigkeitsaxiome. Die Axiome über Punkte, Geraden und die Zwischenrelation werden durch die ebene affine Geometrie über angeordneten Körpern, oder auch Schiefkörpern, realisiert, die Stetigkeitsaxiome verlangen dann für diesen angeordneten Körper das Vollständigkeitsaxiom des ersten Semesters, dass also der Körper als angeordneter Körper isomorph zu den reellen Zahlen ist. Wir wollen hier keinen axiomatischen Zugang zur Zwischenrelation verwenden, sondern wieder alles analytisch im Rahmen der affinen Geometrie über den reellen Zahlen 5-5

6 behandeln, dann ist es auch nicht nötig sich auf den ebenen Fall zu beschränken. Sind d N mit d 1 und a, b R d so definieren wir das Intervall zwischen a und b oder die Strecke zwischen a und b als [a, b] := {(1 t)a + tb t [0, 1]}. Unsere Notation [a, b] für die Verbindungsstrecke zweier Punkte a, b überschneidet sich zwar mit dem [ ]-Symbol des vorigen Abschnitts, dies ist aber unkritisch. Nun können wir verschiedene Arten von Zwischenbegriffen einführen. Definition 1.8 (Zwischenbegriffe) Seien d N mit d 1. Wir sagen das ein Punkt p R d zwischen zwei Punkten a, b R d liegt wenn p [a, b] ist. Ist l R d eine Gerade und p l so sagen wir das zwei Punkte a, b l auf verschiedenen Seiten von p liegen wenn p a, b ist und p zwischen a und b liegt. Andernfalls sagen wir das a und b auf derselben Seite von p liegen. Weiter sagen wir das a und b auf verschiedenen Seiten einer Hyperebene H R d liegen wenn a, b / H sind und es einen Punkt p H zwischen a und b gibt, andernfalls liegen a und b auf derselben Seite von H. Sei d N mit d 1. Seien l R d eine Gerade und p l. Eine Teilmenge s l heißt eine Seite von p in l wenn je zwei Punkte a, b s auf derselben Seite von p in l liegen und s mit dieser Eigenschaft maximal ist. Äquivalent ist das es einen Punkt q l\{p} gibt so, dass s = {a l q und a liegen auf derselben Seite von p} gilt beziehungsweise das es u R d \{0} mit s = p + R 0 u und l = p + Ru gibt. Wir nennen die Menge s auch einen Strahl mit Startpunkt p. Analog sind die Seiten einer Hyperebene H R d definiert. Man nennt eine Teilmenge des R d einen Halbraum wenn er eine Seite einer Hyperebene des R d ist. Man kann die beiden Seiten einer Hyperebene auch direkt hinschreiben. Dabei schreiben wir für a, b R d für das Standardskalarprodukt im R d. a b := a 1 b a d b p Lemma 1.17 (Die Seiten einer Hyperebene) Seien d N mit d 1 und H R d eine Hyperebene. Dann existieren u R d mit u 0 und c R mit H = {x R d : u x = c}. Weiter sind die beiden Seiten von H. H + := {x R d : u x c} und H := {x R d : u x c} Beweis: Dies ist Aufgabe (10). 5-6

7 Wir können also jeden Halbraum H im R d in der Form H = {x R d : u x c} für geeignete u R d \{0}, c R schreiben. Die Durchschnitte von Halbräumen sind die abgeschlossenen konvexen Mengen und wir wiederholen erst einmal die entsprechende Definition, diese kennen sie wahrscheinlich noch aus der Analysis II. Definition 1.9 (Konvexe Teilmengen des R d ) Seien d N und C R d eine Teilmenge des R d. Die Menge C heißt konvex wenn für alle a, b C stets auch [a, b] C gilt. Der Konvexitätsbegriff wurde von Archimedes eingeführt, er entstammt also bereits der Antike. Allerdings hat Archimedes eine ganz andere Definition verwendet, im wesentlichen nennt er eine abgeschlossene Menge A R d konvex wenn es für jeden Randpunkt p A eine Hyperebene H R d mit p H gibt so, dass A ganz auf einer Seite von H liegt, es soll also A H + für einen Halbraum H + mit Rand H gelten. Wir wollen derartigen Hyperebenen einmal einen Namen geben. Definition 1.10 (Stützhyperebenen) Seien A R d eine Teilmenge und p A. Eine Stützhyperebene von A in p ist eine Hyperebene H R d mit p H so, dass es eine Seite S von H mit C S gibt. Eine abgeschlossene Menge A R d ist dann tatsächlich genau dann konvex wenn es für jeden Randpunkt p A eine Stützhyperebene von A in p gibt. Tatsächlich ist A dann der Durchschnitt all der durch diese Stützhyperebenen gegebenen Halbräume, die abgeschlossenen konvexen Mengen im R d sind also auch genau die Durchschnitte von Halbräumen. Da wir in diesem Abschnitt schon genug bewiesen haben und ein vollständiger Beweis auch einige Vorbereitungen erforderte wollen wir hier auf einen solchen verzichten. Beachte das die Stützhyperbene durch einen gegebenen Randpunkt im Allgemeinen nicht eindeutig ist, dies hängt mit der Frage zusammen ob der Rand von A in p einen Tangentialraum besitzt, also in einem geeigneten Sinne in p differenzierbar ist. Ist beispielsweise A ein Quadrat in der Ebene so sind beide durch eine Ecke p von A laufenden Kanten von A Stützhyperebenen von A in p und auch all die an A vorbeilaufenden Geraden durch p sind Stützhyperebenen. Betrachten wir dagegen einen Kreis B in der Ebene so hat dieser in jedem Randpunkt p eine eindeutige Stützhyperebene, nämlich gerade die Tangente an B in p. Wir wollen noch einen weiteren, etwas spezielleren Begriff einführen, die sogenannten Seiten einer konvexen Mengen. Während jede nichtleere, abgeschlossene konvexe Menge im R d Stützhyperebenen besitzt, kommen Seiten nur bei speziellen konvexen Mengen vor, beispielsweise wird ein Kreis keine Seiten haben, ein Quadrat hat dagegen die vier berandenden Kanten, beziehungsweise genauer die von ihnen erzeugten Geraden, als Seiten. Eine bequeme Definition des Seitenbegriffs ist es diese als spezielle Stützhyperebenen einzuführen. Definition 1.11 (Seiten konvexer Mengen) Sei C R d eine abgeschlossene konvexe Menge. Eine Stützhyperebene H von C heißt dann eine Seite von C wenn C H in H nicht leeres Inneres hat. 5-7

8 Während man Seiten für beliebige abgeschlossene konvexe Mengen definieren kann, sind sie vor allen für besonders eckige Mengen von Interesse, besonders gut funktioniert der Begriff für Mengen die als konvexe Hülle endlich vieler Punkte gegeben sind, die sogenannten konvexen Polyeder. 5-8