1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /04/13 14:48:29 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.1 Affine Geometrie im R d Wir hatten einen affinen Teilraum A des R d als eine Teilmenge der Form A = a + U definiert, wobei a R d ein Punkt und U R d ein Untervektorraum des R d sind. Zusätzlich ist auch die leere Menge A = ein affiner Teilraum des R d. Bisher haben wir uns hauptsächlich mit einem fixierten affinen Teilraum beschäftigt, nun wollen wir auch einige Relationen betrachten die zwischen zwei affinen Teilräumen bestehen können. Wir beginnen dies mit einer Definition. Definition 1.4 (Parallele und windschiefe affine Teilräume) Sei d N und seien A, B R d zwei affine Teilräume des R d. Dann heißen A und B parallel, in Zeichen A B, wenn A = B = gilt oder wenn A, B sind und R(A) = R(B) gilt. Weiter heißen A und B windschief wenn A = oder B = gilt oder wenn A, B, A B = und R(A) R(B) = 0 gelten. Aus der linearen Algebra kennen wir die Dimensionsformel für Untervektorräume, sind U, V R d zwei Untervektorräume so gilt dim U + dim V = dim(u V ) + dim(u + V ), und eine ähnliche Formel gilt für affine Teilräume, allerdings nicht für alle möglichen Kombinationen zweier solcher. Satz 1.4 (Affine Dimensionsformel) Seien d N und A, B R d zwei affine Teilräume des R d. Es gelte A B oder A, B seien windschief. Dann gilt dim A + dim B = dim(a B) + dim(ab). Beweis: Wir unterscheiden die möglichen Fälle. Fall 1. Zunächst sei A B. Nach Lemma 3.(a,c) sind dann R(A B) = R(A) R(B) und R(AB) = R(A) + R(B), also ist auch dim(a B) + dim(ab) = dim(r(a) R(B)) + dim(r(a) + R(B)) = dim R(A) + dim R(B) = dim A + dim B. 2-1

2 Fall 2. Nun sei A =. Dann ist AB = B und A B =, also haben wir dim(a B) + dim(ab) = dim B 1 = dim A + dim B. Analog ergibt sich dies auch wenn B = ist. Fall 3. Im verbleibenden Fall sind A, B, A B = und R(A) R(B) = 0. Wähle a A und b B. Nach Lemma 3.(c) sind dann R(AB) = R(A) + R(B) + R (b a) und b a / R(A) + R(B) also haben wir dim(ab) = dim R(AB) = dim(r(a) + R(B)) + 1 und somit auch = dim R(A) + dim R(B) + 1 = dim A + dim B + 1 dim(a B) + dim(ab) = dim(ab) 1 = dim A + dim B. Damit ist der Satz vollständig bewiesen. Die Dimensionsformel zusammen mit dem Parallelitätsgebriff erlauben es nun die meisten der Aussagen über Konfigurationen affiner Teilräume ohne größe Rechnungen zu begründen. Zur Vorbereitung benötigen wir hierzu nur ein kleines Lemma über die Grundeigenschaften des Parallelitätsbegriffs. Lemma 1.5 (Parallele affine Teilräume) Seien d N und 0 n < d. Bezeichne T n := {A R d A ist ein affiner Teilraum des R d mit dim A = n} die Menge aller n-dimensionalen affinen Teilräume des R d. Dann gelten: (a) Die Parallelitätsrelation ist eine Äquivalenzrelation auf T n. (b) Sind A, B T n mit A B und A B so ist A = B. (c) Sind A T n und p R d so existiert genau ein B T n mit A B und p B. (d) Sind A, B T n mit A B so ist genau dann A B wenn dim(ab) = n + 1 und A B = gelten. (e) Ist n = d 1 und sind A, B T n so ist genau dann A B wenn A = B oder A B = gilt. Beweis: (a) Dies ist klar da die Kernrelation der Richtungsabbildung ist. (b) Wählen wir ein a A B so ergibt Lemma 1.(b) auch A = a+r(a) = a+r(b) = B. 2-2

3 (c) Die Eindeutigkeitsaussage gilt nach (a,b). Zum Nachweis der Existenzaussage setzen wir B := p + R(A) T n und haben p B und A B. (d) = Nach (c) ist A B =. Wähle nun a A und b B. Nach Lemma 3.(c) gelten dann R(AB) = R(A) + R (b a) und b a / R(A) also ist dim(ab) = dim R(AB) = dim R(A) + 1 = dim A + 1 = n + 1. = Wähle wieder a A und b B und nach Lemma 3.(c) gilt dann R(AB) = R(A) + R(B) + R (b a) mit b a / R(A) + R(B). Damit ist dim(r(a) + R(B)) = dim R(AB) 1 = dim(ab) 1 = n und es folgt R(A) = R(A) + R(B) = R(B), es ist also A B. (e) = Klar nach (d). = Ist A = B so ist auch A B, wir können also A B und A B = annehmen. Wegen B ist A AB also haben wir nach Lemma 2 auch dim(ab) > dim A = d 1 und damit muss AB = R d und dim(ab) = d = n + 1 sein. Nach (d) ist damit auch A B. Wie schon zu Beginn dieses Kapitels angemerkt geht es uns in diesem Abschnitt um die Einbettung der Elementargeometrie in den Stoff der Grundvorlesungen und wir wollen insbesondere einige der anschaulich evidenten Tatsachen wirklich begründen, sie also auf Grundtatsachen zurückführen. Wie wir nun sehen werden ist uns dies mit der Dimensionsformel und dem eben bewiesenen Lemma über parallele affine Teilräume tatsächlich gelungen. Beginnen wir mit dem ebenen Fall d = 2. Der einzige interessante Typ affiner Teilräume sind dann die Geraden. Auf der Menge T 1 aller Geraden im R 2 ist die Parallelität eine Äquivalenzrelation und zu jeder Geraden g R 2 und jedem Punkt p R 2 gibt es genau eine zu g parallele Gerade durch p. Die Geraden im R 2 sind gerade die Hyperebenen im R 2, unser Lemma sagt also weiter das je zwei Geraden l, g im R 2 entweder parallel sind oder es gilt l g und l g. Im nicht parallelen Fall ergibt Lemma 2 zunächst l g also auch l g l und 0 dim(l g) < dim l = 1, es ist also dim(l g) = 0 und l g ist ein Punkt. Je zwei Geraden im R 2 sind also entweder parallel oder sie haben einen eindeutigen Schnittpunkt. Im dreidimensionalen Fall d = 3 sind Geraden und Ebenen von Interesse. Wir beginnen mit den Ebenen, diese sind auch die Hyperebenen im R 3. Sind e, f R 3 zwei Ebenen, so ist nach unserem Lemma entweder e f oder e f und e f. Im nicht parallelen Fall ergibt sich wieder mit Lemma 2 zunächst e f und somit f ef also ist 2 = dim f < dim(ef) und wir haben dim(ef) = 3. Nach der Dimensionsformel ist damit dim(e f) = = 1, je zwei Ebenen sind also entweder parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden. Bei Geraden ist die Lage etwas komplizierter. Seien also zwei verschiedene Geraden l, g R 3 mit l g gegeben. Dann liegt genau einer der folgenden Fälle vor: 1. Ist l g, also R(l) = R(g), so ist nach dem Lemma l g = und dim(lg) = 2, also liegen beide Geraden in der Ebene e = lg. 2. Ist l g so erhalten wir mit Lemma 2 zunächst l g also auch l g l und dim(l g) < dim l = 1, d.h. dim(l g) = 0 und l, g haben einen eindeutigen 2-3

4 Schnittpunkt p. Nach der Dimensionsformel ist dim(lg) = dim l +dim g dim(l g) = 2, d.h. e := fg ist eine Ebene. Explizit haben wir e = p + R(l) + R(g). 3. Im dritten Fall ist l g = aber l g. Dann ist R(l) R(g) also R(l) R(g) = 0 und l, g sind windschief. Nach der Dimensionsformel ist dann dim(lg) = 3, also lg = R 3. Zusammenfassend sind zwei verschiedene Geraden im Raum R 3 damit entweder windschief oder sie liegen in einer Ebene und sind in dieser entweder disjunkt und damit parallel, oder sie schneiden sich in einem eindeutigen Schnittpunkt. Es verbleibt zu klären wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Seien also eine Gerade l R 3 und eine Ebene e R 3 gegeben. Dann ist entweder R(l) R(e) oder R(l) R(e) = 0. Im Fall R(l) R(e) haben wir dann weiter entweder l e = oder es gibt einen Punkt p l e und dann haben wir l = p + R(l) p + R(e) = e. Ist dagegen R(l) R(e) = 0 so kann nicht l e = sein, denn dann wären l und e windschief und die Dimensionsformel ergäbe dim(le) = 4, also ist l e und da aus l e auch R(l) R(e) folgte ist l e also le = R 3 nach Lemma 2 und die Dimensionsformel gibt dim(l e) = 0, d.h. e und l haben einen eindeutigen Schnittpunkt. 1.2 Affine Basen und baryzentrische Koordinaten In diesem Abschnitt wollen wir einen für affine Fragestellungen angepassten Basenbegriff einführen, der entsprechende Begriff der linearen Algebra ist dabei nicht geeignet da der Nullpunkt dort eine ausgezeichnete Rolle spielt die ihm geometrisch nicht zusteht. Wir beginnen mit einer Beschreibung des affinen Erzeugnis endlich vieler Punkte. Lemma 1.6 (Affines Erzeugnis endlich vieler Punkte) Seien d, n N sowie p 0,..., p n R d und bezeichne A := p 0,..., p n das affine Erzeugnis dieser Punkte. Dann ist R(A) = R (p 1 p 0 ) + + R (p n p 0 ) und { n } n A = p 0 + R (p 1 p 0 ) + + R (p n p 0 ) = λ i p i λ 0,..., λ n R, λ i = 1. i=0 i=0 Beweis: Bezeichne U den Untervektorraum U := R (p 1 p 0 ) + + R (p n p 0 ) des R d. Für jedes 1 i n ist dann p i = p 0 + (p i p 0 ) p 0 + U, also ist p 0 + U ein affiner Teilraum des R d mit p 0,..., p n p 0 + U, d.h. A p 0 + U. Umgekehrt gilt für jedes 1 i n wegen p 0, p i A nach Lemma 1 auch p 0 + R(A) = A = p i + R(A) also p i p 0 R(A), es ist also U R(A) und somit auch p 0 + U p 0 + R(A) = A. Damit haben wir A = p 0 + U eingesehen. Sind weiter λ 1,..., λ n R so haben wir auch λ 0 := 1 n i=1 λ i R mit n i=0 λ i = 1 und n n λ i p i = p 0 + λ i (p i p 0 ). i=0 2-4 i=1

5 Dies Formel ergibt die zweite Beschreibung des affinen Teilraums A. Dass hier dem ersten Punkt p 0 eine Sonderrolle zugewiesen wird dient nur einer bequemen Notation, man kann die Punkte p 0,..., p n beliebig umsortieren ohne den von ihnen erzeugten affine Teilraum zu ändern und insbesondere kann anstelle von p 0 auch jeder andere dieser Punkte als Aufpunkt verwendet werden, für die Richtung von A ergibt sich dann eine entsprechende Formel. Analog zur Situation in der linearen Algebra sind die Koeffizienten λ 0,..., λ n zur Darstellung der Punkte von A im allgemeinen nicht eindeutig festgelegt. Dies ist genau dann der Fall wenn die Punkte p 0,..., p n im Sinne der folgenden Definition affin unabhängig sind. Definition 1.5 (Affine Unabhängigkeit und affine Basen) Sei d N. Wir nennen ein Tupel p 0,..., p n R d von Punkten im R d affin unabhängig, wenn für alle λ 0,..., λ n R mit n i=0 λ i = 0 und n i=0 λ ip i = 0 stets λ 0 = = λ n = 0 gilt. Weiter heißt das Tupel p 0,..., p n eine affine Basis eines affinen Teilraums A des R d wenn p 0,..., p n affin unabhängig mit affinen Erzeugnis p 0,..., p n = A sind. Analog zur linearen Unabhängigkeit bedeutet die affine Unabhängigkeit gegebener Punkte das keiner von ihnen im affinen Erzeugnis der anderen liegt. Satz 1.7 (Grundeigenschaften der affinen Unabhängigkeit) Seien d, n N und p 0,..., p n R d. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Punkte p 0,..., p n sind affin unabhängig. (b) Die Vektoren p 1 p 0,..., p n p 0 sind linear unabhängig. (c) Sind λ 0,..., λ n, µ 0,..., µ n R mit n i=0 λ i = n i=0 µ i = 1 und n i=0 λ ip i = n i=0 µ ip i, so ist auch λ i = µ i für jedes 0 i n. (d) Für jedes 0 i n gilt p i / p 0,..., p i,..., p n. (e) Für jedes 1 i n ist p i / p 0,..., p i 1. Beweis: Dies ist Aufgabe (2). Das in Teil (d) ist dabei das sogenannte Auslassungsymbol, dieses bedeutet das der überdachte Teil fortgelassen wird, etwas ausführlicher ist also p 0,..., p i,..., p n = p 0,..., p i 1, p i+1,..., p n. Zwei Folgerungen aus diesem Satz sind für uns wichtig. Zunächst ist wie schon in der linearen Algebra die Anzahl der Punkte in einer affinen Basis eines affinen Teilraums durch die Dimension dieses Teilraums festgelegt. Korollar 1.8 (Affine Basen und die affine Dimension) Seien d N, A R d ein affiner Teilraum des R d und p 0,..., p n eine affine Basis von A. Dann gilt dim A = n. 2-5

6 Beweis: Nach Lemma 6 ist R(A) = R (p 1 p 0 ) + + R (p n p 0 ) und nach Satz 7 ist p 1 p 0,..., p n p 0 sogar eine Basis der Richtung R(A). Damit ist dim A = dim R(A) = n. Als zweite Konsequenz unseres Satzes erhalten wir eine Koordinatenbeschreibung der Punkte eines affinen Teilraums bezüglich einer fixierten affinen Basis des Teilraums. Definition 1.6 (Baryzentrische Koordinaten) Seine d N und A R d ein affiner Teilraum mit einer affinen Basis p 0,..., p n. Für jeden Punkt p A gibt es dann ein eindeutig bestimmtes Tupel λ 0,..., λ n R mit n i=0 λ i = 1 und p = n i=0 λ ip i und wir nennen λ 0,..., λ n die baryzentrischen Koordinaten von p bezüglich der affinen Basis p 0,..., p n. Zumeist ist die betrachtete affine Basis im gerade betrachteten Kontext gegeben und man spricht einfach von baryzentrischen Koordinaten, unterdrückt also den Zusatz bezüglich der affinen Basis p 0,..., p n. Die baryzentrischen Koordinaten wurden 1827 von August Möbius eingeführt. Die Namensgebung beruht auf der Analogie zum Schwerpunkt eines mechanischen Systems aus n + 1 Punktmassen, denken wir uns an jedem der Punkte p i für 0 i n eine Punktmasse m i > 0 so, dass das aus diesen Punktmassen gebildete mechanische System die Gesamtmasse m m n = 1 hat, so ist n i=0 m ip i gerade der Schwerpunkt dieses Systems. Ein besonders wichtiger Fall liegt in der Ebene d = 2 vor. Eine affine Basis des R 2 besteht dann aus drei Punkten A, B, C und das diese drei eine affine Basis bilden bedeutet nach dem Satz B / A = {A} und C / A, B. Dabei ist A, B gerade der die beiden Punkte A, B enthaltende affine Teilraum, wegen A B ist dieser eindimensional, also eine Gerade, d.h. A, B ist die Verbindungsgerade von A und B. Also bilden A, B, C genau dann eine affine Basis des R 2 wenn sie nicht kollinear sind, also nicht auf einer Geraden liegen. In anderen Worten wird eine affine Basis des R 2 von den Ecken eines Dreiecks gebildet, und die baryzentrischen Koordinaten bezüglich A, B, C stellen sich als günstig zur Untersuchung dieses Dreiecks heraus, daher werden die baryzentrischen Koordinaten in dieser Situation manchmal auch Dreieckskoordinaten genannt. 1.3 Sätze über Geraden in der Ebene In diesem Abschnitt wollen wir uns auf den ebenen Fall d = 2 konzentrieren. Zunächst gibt uns unsere obige Überlegung eine rechnerisch bequeme Kennzeichung kollinearer Punkte. Lemma 1.9 (Charakterisierung kollinearer Punktetripel) Seien a, b, c R 2 drei Punkte. Dann sind a, b, c genau dann kollinear wenn a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = 0 2-6

7 gilt. Beweis: Die drei Punkte a, b, c sind genau dann kollinear wenn a, b, c R 2 nicht affin unabhängig sind wenn es also eine nicht triviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0, a 1 λ 1 + b 1 λ 2 + c 1 λ 3 = 0, a 2 λ 1 + b 2 λ 2 + c 2 λ 3 = 0 gibt. Letzteres bedeutet aber gerade das die Determinante der Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems verschwindet. Als abkürzende Schreibweise definieren wir für je drei Punkte a, b, c R 2 [a, b, c] := a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 und können die Bedingung des Lemmas in der Forn [a, b, c] = 0 aussprechen. Hieraus ergibt sich eine weitere Formel für die Verbindungsgerade zweier Punkte der Ebene, sind a, b R 2 mit a b so liegt ein weiter Punkt x R 2 genau dann auf der Verbindungsgeraden g von a und b wenn a, b, x kollinear sind, nach dem Lemma ist die Gerade g damit als g = {x R 2 [a, b, x] = 0} gegeben. Wollen wir eine entsprechende Darstellung einer ebenen Geraden in Aufpunkt- Richtung Form herleiten, so ist eine weitere kleine Schreibweise hilfreich. Für a, b R 2 setzen wir [a, b] := a 1 b 1 a 2 b 2. Hiermit erhalten wir dann Formeln für in Aufpunkt Richtung Form gegebene Geraden. Lemma 1.10 (Ebene Geraden in Aufpunkt Richtung Form) Sind a R 2 und u R 2 \{0} so ist g := a + Ru = {x R 2 [x, u] = [a, u]}. Sind auch b R 2 und v R 2 \{0} und ist die Gerade h := b + Rv nicht parallel zu g, so ist der Schnittpunkt s von g und h gegeben als s = [b, v] [a, u] u [u, v] [u, v] v. 2-7

8 Beweis: Die Gerade g ist die Verbindungsgerade von a und a + u und für jedes x R 2 haben wir [a, a + u, x] = a 1 a 1 + u 1 x 1 a 2 a 2 + u 2 x 2 = a 1 u 1 x 1 a 2 u 2 x 2 = u 1 x 1 u 2 x 2 + a 1 u 1 a 2 u 2 = [a, u] [x, u], es gilt also g = {x R 2 [a, a + u, x] = 0} = {x R 2 [a, u] = [x, u]}. Wir kommen zur zweiten Aussage. Da g h gilt ist Ru Rv, d.h. u, v sind im R 2 linear unabhängig und somit eine Basis des R 2. Insbesondere ist also überhaupt [u, v] 0. Weiter gibt es λ, µ R mit s = λu + µv. Wegen s g ist damit [a, u] = [s, u] = λu 1 + µv 1 u 1 λu 2 + µv 2 u 1 = µ[v, u] = µ[u, v] und analog [b, v] = [s, v] = λ[u, v], wir haben also λ = [b, v] [u, v] und µ = [a, u] [u, v]. 2-8