$Id: det.tex,v /01/13 14:27:14 hk Exp $ $Id: vektor.tex,v /01/16 12:23:17 hk Exp $
|
|
- Julia Bösch
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 $Id: dettex,v 26 27//3 4:27:4 hk Exp $ $Id: vektortex,v 3 27//6 2:23:7 hk Exp $ 8 Determinanten 83 Laplace Entwicklung In der letzten Sitzung haben wir die Cramersche Regel für die inverse Matrix hergeleitet, dass also die Inverse einen invertierbaren n n-matrix als A = det A gegeben ist, wobei  die zu A adjunkte Matrix ist Kombinieren wir die Cramersche Regel für inverse Matrizen mit dem Lösungssatz 7Satz 5 für reguläre lineare Gleichungssysteme, so ergibt sich die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme Korollar 84 (Cramersche Regel für reguläre lineare Gleichungssysteme) Gegeben sei ein reguläres lineares Gleichungssystem a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a n x + a n2 x a nn x n = b n über K {R, C}, dh Ax = b mit einer invertierbaren Koeffizientenmatrix A K n n Für i n sei A i die n n Matrix, die aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte von A durch die rechte Seite b entsteht Dann ist die Lösung von Ax = b durch gegeben x i = det Ai det A ( i n) Beweis: Nach 7Satz 5 und Korollar 2 ist die Lösung von Ax = b durch x = A b = det AÂb gegeben Für i n ist der i-te Eintrag von Âb gleich â ij b j = j= ( ) i+j b j det A ji, j= 2-
2 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 und letztere Summe ist nach dem Entwicklungssatz Satz gerade gleich der Determinante det A i Als ein Beispiel zur Cramerschen Regel wollen wir einmal das lineare Gleichungssystem x y + 2z = 2y 3z = x + 2y + z = lösen Die Koeffizientenmatrix A dieses linearen Gleichungssystem ist gerade die bereits oben als Beispiel verwendete Matrix A = von der wir bereits det A = 7 nachgerechnet haben Die rechte Seite ist b = und dies müssen wir der Reihe nach als erste, zweite, dritte Spalte von A einsetzen, um die Lösung mit der Cramerschen Regel zu erhalten Es ergibt sich damit die Lösung x = 7 y = 7 z = , = ( ) = 7 (8 + ) = 9 7, = 3 7 = 6 7, = 2 7 = 4 7 Obwohl die Cramerschen Regeln sowohl für die inverse Matrix als auch für reguläre lineare Gleichungssysteme zunächst nach einer guten Rechenmethode aussehen, da sie eben so schön direkte und explizite Formeln sind, sind sie fürs praktische Rechnen meist eher ungeeignet Es ist eine relativ große Zahl von Determinanten zu berechnen, und da ist es fast immer schneller unseren Gauß-Algorithmus sowohl zum Lösen linearer Gleichungssysteme als auch zur Berechnung der inversen Matrix heranzuziehen Der einzige Fall in dem die Cramerschen Regeln manchmal brauchbar sind ist n = 3, aber selbst hier fährt man mit der Gaußschen Elimination fast immer besser 2-2
3 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 9 Vektorräume Wir kommen jetzt zum wohl abstraktesten Kapitel dieses ganzen Semesters, der Theorie der sogenannten Vektorräume Normalerweise ist ein Vektor etwas das eine Länge und eine Richtung hat, und man unterscheidet zwischen Dingen wie Orts- und Richtungsvektoren Im mathematischen Sprachgebrauch wird das Wort Vektor allerdings in einem etwas anderen Sinne verwendet Konzepte wie Orts- und Richtungsvektoren kommen überhaupt nicht explizit vor und unter einem Vektor versteht man ein Element eines sogenannten Vektorraums Ein Vektor kann dann alles mögliche sein, etwa ein Vektor im üblichen Sinne, eine Folge, eine Funktion oder etwas noch ganz anderes Was Vektor gerade konkret bedeutet hängt immer am Kontext des behandelten Vektorraums Wir werden Vektorräume sowohl mit reellen als auch mit komplexen Skalaren betrachten, und in diesem ganzen Kapitel bezeichne K {R, C} entweder die reellen oder die komplexen Zahlen Ein allgemeiner Vektorraum ist ein recht abstrakter Begriff, der nun eingeführt werden soll 9 Der Vektorraumbegriff Wie gerade eben angekündigt hat das Wort Vektor in der linearen Algebra keinen ontologischen Status, es ist ein wesentlicher Punkt das gerade nicht festgelegt wird was ein Vektor denn zu sein hat Ein Vektorraum wird durch die Dinge definiert die man mit Vektoren machen kann, man kann zwei Vektoren addieren und erhält einen neuen Vektor und man kann einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren und erhält wieder einen Vektor Metrische Konzepte wie beispielsweise die Länge eines Vektors oder der Winkel zwischen zwei Vektoren werden nicht in den allgemeinen Begriff eines Vektorraums aufgenommen, in einem allgemeinen Vektorraum ist es sinnlos von der Länge eines Vektors zu sprechen da solch ein Begriff auf dieser Ebene gar nicht definiert wird Genau wie wir in für die reellen Zahlen einen Satz von Grundrechenregeln gefordert haben, sollen auch die Addition und die Multiplikation mit Skalaren in einem Vektorraum gewissen Grundregeln genügen die wir in der Definition eines Vektorraums alle auflisten Es gibt allerdings einen wesentlichen Unterschied zur Situation des, während die Axiome der reellen Zahlen selbige vollständig festlegten gibt es viele wesentlich verschiedene Beispiele von Vektorräumen, mit der Vektorraumdefinition wird also eine ganze Klasse mathematischer Objekte eingeführt Definition 9 (Die Vektorraumaxiome) Ein Vektorraum über K besteht aus einer Menge V, deren Elemente Vektoren genannt werden, und zwei Abbildungen und + : V V V ; (x, y) x + y : K V V ; (λ, x) λx, die die folgenden Vektorraumaxiome erfüllen: 2-3
4 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 (A) Das Assoziativgesetz der Addition: Für alle x, y, z V gilt (x + y) + z = x + (y + z) (A2) Das Kommutativgesetz der Addition: Für alle x, y V gilt x + y = y + x (A3) Existenz des Nullvektors: Es gibt ein Element V mit + x = x für alle x V (A4) Existenz additiver Inverser: Für jedes x V existiert ein Vektor x V mit ( x) + x = (S) Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle λ, µ K und alle x V gilt λ (µ x) = (λµ) x (S2) Multiplikation mit Eins: Für jedes x V gilt x = x (S3) Distributivgesetz für Vektoren: Für alle λ K und alle x, y V gilt λ (x + y) = λ x + λ y (S4) Distributivgesetz für Skalare: Für alle λ, µ K, x V gilt (λ + µ) x = λ x + µ x Beachte das die vier additiven Axiome (A), (A2), (A3), (A4) mit den vier additiven Körperaxiomen aus übereinstimmen Daher gelten auch die Folgerungen aus diesen, wir wissen also das die Null des Vektorraums eindeutig festgelegt ist, das die additive Inverse x jedes Vektors x V eindeutig bestimmt ist und das (x+y) = ( x)+( y) für alle x, y V gilt Außerdem können wir damit auch wieder die Subtraktion x y := x + ( y) für Vektoren x, y V definieren Schließlich folgen mit den multiplikativen Axiomen (S) bis (S4) auch x = ( ) x und λ x = (λ = x = ) für alle x V, λ K Dies kann man ähnlich wie die entsprechenden Aussagen für die multiplikativen Körperaxiome zeigen, und soll hier nicht vorgeführt werden Es ist übrigens tatsächlich nötig x = x zu fordern, andernfalls wäre es möglich das λ x = für alle Vektoren x V und alle λ K gilt In allgemeinen Vektorräumen läßt sich also wie gewohnt rechnen Wir wollen jetzt einige Beispiele von Vektorräumen durchgehen In der Vorlesung hatten wir dabei auf den expliziten Nachweis der Vektorraumaxiome verzichtet, hier wollen wir aber ruhig etwas ausführlicher sein 2-4
5 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 Das Urbeispiel eines Vektorraums ist der Vektorraum K n der n-tupel von Zahlen aus K, also R n oder C n Die Addition derartiger n-tupel und die Multiplikation mit Skalaren hatten wir in 7 eingeführt, und dort hatten wir auch bereits die Gültigkeit der verschiedenen Vektorraumaxiome festgehalten 2 Ein sehr ähnliches Beispiel eines Vektorraums ist die Menge a a n K m n := a,, a mn K a m a mn aller m n Matrizen über K, erneut mit der in 7 eingeführten Addition und Multiplikation mit Skalaren Auch hier hatten wir den Nachweis der Vektorraumaxiome bereits in 7 erbracht In Wahrheit kann man diesen Vektorraum natürlich auch als den K nm auffassen, indem wir einfach die m n Matrixeinträge hintereinander in einer Zeile hinschreiben 3 Ein anderer wichtiger Typ von Vektorräumen sind Funktionsräume, also Mengen deren Elemente Funktionen sind Ist M eine beliebige Menge, so betrachten wir die Menge K M := {f f : M K ist eine Abbildung} aller Abbildungen von M nach K Die Elemente von K M können wir addieren, sind f, g K M, so sind f und g Abbildungen von M nach K, und wir definieren die Summe f + g dieser Abbildungen durch f + g : M K; x f(x) + g(x) Ebenso können wir für eine Funktion f K M und eine Zahl λ K eine neue Funktion λ f : M K durch λ f : M K; x λf(x) definieren Wir wollen jetzt nachweisen das V = K M mit dieser Addition und Multiplikation tatsächlich ein Vektorraum über K ist Hierzu seien f, g, h K M und λ, µ K gegeben Für jedes x M gelten dann und ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x), (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) sowie für die multiplikativen Aussagen (λ (µ f))(x) = λ (µ f)(x) = λ (µ f(x)) = (λµ) f(x) = ((λµ) f)(x) 2-5
6 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 und ( f)(x) = f(x) = f(x) sowie (λ (f + g))(x) = λ (f + g)(x) = λ (f(x) + g(x)) = λ f(x) + λ g(x) und schließlich ((λ + µ) f)(x) = (λ + µ) f(x) = λ f(x) + µ f(x) = (λf)(x) + (λg)(x) = (λf + λg)(x) = (λf)(x) + (µf)(x) = (λf + µf)(x), dh es sind (f + g) + h = f + (g + h), f + g = g + f, λ (µ f) = (λµ) f, f = f, λ (f + g) = λ f + λ g und (λ + µ) f = λ f + µ f Damit haben wir die Axiome (A), (A2), (S), (S2), (S3) und (S4) nachgewiesen Kommen wir zum Axiom (A3) Hier müssen wir eine Nullfunktion als die Null des Vektorraums K M definieren, und wir verwenden die Funktion : M K; x die jedes x M auf den Skalar abbildet Beachte das hier das Symbol auf ein und derselben Zeile in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet wird, dies ist zwar etwas ungenau stellt sich aber als bequem heraus und wird daher üblicherweise so gemacht Mit dieser Null ist das Axiom (A3) in K M erfüllt, denn ist f K M so gilt für jedes x M stets ( + f)(x) = (x) + f(x) = + f(x) = f(x), dh es ist + f = f Es verbleibt das Axiom (A4), sei also ein f K M gegeben Dann definieren wir das additive Inverse f K M durch Für jedes x M ist dann f : M K; x f(x) (( f) + f)(x) = ( f)(x) + f(x) = ( f(x)) + f(x) = = (x), dh es gilt ( f) + f = und alles ist bewiesen 4 Ist im vorigen Beispiel M = N, so wird K N = {(a n ) n N a n K für alle n N} beispielsweise zum Vektorraum aller Folgen in K 2-6
7 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 5 Sind V, V 2 zwei Vektorräume über K so können wir auf dem cartesischen Produkt V := V V 2 durch (x, y) + (x, y ) := (x + x, y + y ) für alle x, x V, y, y V 2 eine Addition definieren und durch λ (x, y) := (λx, λy) für alle λ K, x V, y V 2 wird auch eine Multiplikation mit Skalaren erklärt Mit diesen Verknüpfungen wird V = V V 2 zu einem Vektorraum über K genannt das Produkt oder das direkte Produkt der beiden Vektorräume V und V 2 Um dies einzusehen, müssen wir auch hier die acht Axiome eines Vektorraums nachweisen Seien also x, x, x V, y, y, y V 2 und λ, µ K gegeben Dann haben wir und ( (x, y) + (x, y ) ) + (x, y ) = (x + x, y + y ) + (x, y ) = ((x + x ) + x, (y + y ) + y ) = (x + (x + x ), y + (y + y )) = (x, y) + (x + x, y + y ) = (x, y) + ( (x, y ) + (x, y ) ) (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) = (x + x, y + y) = (x, y ) + (x, y) sowie für die multiplikativen Aussagen λ (µ (x, y) ) = λ (µx, µy) = (λ(µx), λ(µy)) = ((λµ)x, (λµ)y) = (λµ) (x, y) und sowie (x, y) = ( x, y) = (x, y) λ ((x, y) + (x, y ) ) = λ (x + x, y + y ) = (λ(x + x ), λ(y + y )) und schließlich = (λx + λx, λy + λy ) = (λx, λy) + (λx, λy ) = λ (x, y) + λ (x, y ) (λ + µ) (x, y) = ((λ + µ)x, (λ + µ)y) = (λx + µx, λy + µy) = (λx, λy) + (µx, µy) = λ (x, y) + µ (x, y) Damit sind alle Vektorraumaxiome bis auf (A3) und (A4) nachgewiesen Das Nullelement in V = V V 2 definieren wir als := (, ), wobei hier alle drei Nullen etwas unterschiedliches bedeuten, und haben dann für alle x V, y V 2 stets + (x, y) = (, ) + (x, y) = ( + x, + y) = (x, y), 2-7
8 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 dh (A3) gilt Für (A4) geben wir uns letztlich x V, y V 2 vor und setzen (x, y) := ( x, y) Dies ist dann tatsächlich das additive Inverse zu (x, y) denn es gilt ( (x, y)) + (x, y) = ( x, y) + (x, y) = (( x) + x, ( y) + y) = (, ) = Betrachten wir etwa ganz konkret den Fall K = M = R, so ist V := R R die Menge aller reellen Funktionen f : R R Zum Beispiel sind dann die Sinusfunktion sin, der Cosinus cos, die Exponentialfunktion exp Elemente des Vektorraums V, und wir können Ausdrücke wie f := sin + 2 cos 2 exp hinschreiben Dies ist dann die Funktion f : R R; x sin x + 2 cos x 2e x Hieran sieht man insbesondere, dass das Wort Vektor hier wirklich nur eine Rollenbeschreibung der Elemente x V und keine intrinsische Eigenschaft dieser Elemente ist In unserem Vektorraum V = R R ist die Sinusfunktion sin selbst ein Vektor Ebenso sprechen wir im Zusammenhang mit Vektorräumen oft von Skalaren statt von Zahlen, auch dies ist nur eine Rollenbezeichnung, Skalare sind einfach Zahlen, das andere Wort wird nur verwendet um anzudeuten, dass wir sie an Vektoren heranzumultiplizieren gedenken Ein weiteres Beispiel eines Vektorraums ergibt sich aus den linearen Gleichungssystemen Angenommen wir haben ein homogenes lineares Gleichungssystem a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = a m x + a m2 x a mn x n = ( ) über K Dann können wir die Menge x V := K n x,, x n ist eine Lösung von ( ) x n aller Lösungen des Gleichungssystems betrachten Nach 7Satz 3(a) sind Summen und Vielfache von Elementen aus V wieder Elemente aus V und somit haben wir eine auf V definierte Addition und eine auf V definierte Multiplikation mit Skalaren Dass diese die Vektorraumaxiome erfüllen, V also ein Vektorraum ist, folgt im wesentlichen daraus das der umgebende K n ein Vektorraum ist Die Axiome (A), (A2), (S), (S2), (S3) und (S4) fordern die Gültigkeit gewisser Formeln für alle Elemente von V, und 2-8
9 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 sind damit automatisch wahr da sie sogar für alle Elemente der größeren Menge K n gelten Die verbleibenden Axiome (A3) und (A4) sind ein klein wenig komplizierter, da sie eine Existenzforderung enthalten Für Axiom (A3) brauchen wir eine Null in V Wir haben eine Null im K n, wir müssen also nur noch wissen das diese in V liegt Dies ist glücklicherweise klar da die Null des K n gerade die triviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) ist Das letzte Axiom (A4) ist die Existenz additiver Inverser, und genau wie für die Null reicht es zu sehen, dass für jedes x V auch das in K n gebildete x in V liegt Dies ist wegen x = ( ) x klar Damit ist auch die Lösungsmenge V ein Beispiel eines Vektorraums 92 Untervektorräume und Erzeugendensysteme Wir hatten gesehen, dass die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in n Unbekannten einen Vektorraum bildet Der Nachweis der acht Vektorraumaxiome ergab sich dabei im wesentlichen daraus, das diese alle im größeren Vektorraum K n gelten Die verwendeten Eigenschaften homogener linearer Gleichungssysteme waren zum einen das Summen und Vielfache von Lösungen wieder Lösungen sind und zum anderen das der Nullvektor des K n eine Lösung ist Diese Eigenschaften führen uns auf den Begriff eines sogenannten Untervektorraums Definition 92 (Untervektorräume eines Vektorraums) Sei V ein Vektorraum Eine Teilmenge U V heißt ein Untervektorraum von V, geschrieben als U V, wenn sie die folgenden drei Bedingungen erfüllt: (U) Es ist U (U2) Für alle x, y U ist auch x + y U (U3) Für alle x U und alle λ K ist auch λx U Anstelle von Untervektorraum werden wir oft auch das kürzere Synonym Teilraum verwenden Manchmal werden für die beiden Bedingungen (U2) und (U3) auch die Sprechweisen U ist abgeschlossen unter der Addition beziehungsweise U ist abgeschlossen unter der Multiplikation mit Skalaren verwendet Anstelle von (U) kann man auch die bei Gültigkeit von (U3) äquivalente Bedingung U verwenden, gibt es nämlich überhaupt ein x U so ist nach (U3) auch = x U Da U aber eigentlich so gut wie immer bewiesen wird indem U gezeigt wird, kann man dies auch gleich als die Bedingung verwenden Genau wie wir eingesehen haben, dass die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems einen Vektorraum bildet, ist auch jeder Untervektorraum eines Vektorraums V selbst ein Vektorraum, die Existenz additiver Inverser (A4) folgt dabei über x = ( ) x für jedes x V aus (U3) Ein Beispiel eines Untervektorraums sind natürlich die Lösungsmengen homogener linearer Gleichungssysteme in n Variablen als Untervektorräume des K n Als ein etwas 2-9
10 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 komplizierteres Beispiel betrachten wir den Vektorraum K N aller Folgen in K Dieser enthält die Menge C := { (a n ) n N K N (a n ) n N ist konvergent }, aller konvergenten Folgen und wir behaupten, dass C ein Untervektorraum von K N ist Dass C gilt, ist dabei klar, konstante Folgen sind ja insbesondere konvergent Die beiden anderen Bedingungen (U2), (U3) besagen, dass Summen und Vielfache von konvergenten Folgen wieder konvergent sind, und dies ist gerade 4Satz 6(a,b) Also ist C ein Untervektorraum von K N, und somit selbst ein Vektorraum Die für uns wichtigste Klasse von Untervektorräumen wird durch das Bilden des sogenannten Aufspanns gegebener Vektoren in einem Vektorraum V definiert Um dieses Konzept einzuführen benötigen wir die sogenannten Linearkombinationen von Vektoren in einem Vektorraum Definition 93 (Linearkombinationen) Sei V ein Vektorraum über K Sind v,, v n V, so heißt ein weiterer Vektor v V eine Linearkombination von v,, v n, wenn es Skalare λ,, λ n K mit v = λ v + + λ n v n = λ k v k gibt Die Menge aller Linearkombinationen von v,, v n heißt das Erzeugnis, oder auch der Aufspann, von v,, v n, geschrieben als { } v,, v n = span(v,, v n ) := λ k v k λ,, λ n K Für Vektoren v,, v n im Spaltenvektorraum K m ist es uns leicht möglich zu entscheiden, ob ein weiterer Vektor v eine Linearkombination der v,, v n ist Schreiben wir hierzu v := a a m so ist für alle x,, x n K stets x a a m + x 2 a 2 a m2, v 2 := a 2 a m2 k= k=,, v n := + + x n a n a mn = a n a mn, a x + + a n x n a m x + + a mn x n also x v + + x n v n = A x x n, 2-
11 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 wobei a a n A :=, a m a mn die Matrix ist, deren Spalten gerade die Vektoren v,, v n sind Damit ist ein Vektor v K m genau dann eine Linearkombination der Vektoren v,, v n wenn das lineare Gleichungssystem Ax = v eine Lösung hat Insbesondere können wir dies mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren effektiv entscheiden Wir schauen uns dies einmal am Beispiel der drei Vektoren v = 2, v 2 =, v 3 = im R 4 an und berechnen ihren Aufspann Wir müssen alle b R 4 bestimmen für die x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 = b lösbar ist und rechnen b b b 3 b 4 3 b 4 b + b b 3 2b 3 b 4 b 3 b 4 b + b 2 3 b 3 + 3b 2 + b 3 b 4 b 3 b 4 b + b 2 3 b 3 + 3b 2 + b b 4 + b 3 + 3b 2 Die vierte Zeile liefert uns die Lösbarkeitsbedingung und damit ist b v, v 2, v 3 = b 2 b 3 R4 3b 2 + b 3 + b 4 = b 4 Ein weiteres solches Beispiel ist Aufgabe (38), diese können wir auch so interpretieren das der Aufspann der vier Vektoren 4 5 v = 7, v 2 = 2, v 3 = 3 8, v 4 = im R 4 berechnet wird Die rechnerische Bestimmung des Aufspanns von Vektoren im K m stellt uns also vor keine neuen Probleme Wir stellen jetzt die Grundeigenschaften von Untervektorräumen zusammen 2-
12 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 Lemma 9 (Grundeigenschaften von Untervektorräumen) Sei V ein Vektorraum über K Dann gelten: (a) Die Mengen V und {} sind Untervektorräume von V, genannt die beiden trivialen Untervektorräume (b) Sind U ein Untervektorraum von V und W ein Untervektorraum von U, so ist W auch ein Untervektorraum von V (c) Sind U, W zwei Untervektorräume von V, so ist auch der Durchschnitt U V ein Untervektorraum von V (d) Sind U, W zwei Untervektorräume von V, so ist auch die Summe ein Untervektorraum von V U + W := {x + y x U, y W } V (e) Sind v,, v n V, so ist der Aufspann v,, v n der kleinste Untervektorraum von V der v,, v n enthält Beweis: Die ersten drei Aussagen (a,b,c) sind alle klar (d) Wir kommen daher zum Beweis von (d) Zunächst ist = + U + W Sind u, u U + W, so gibt es x, x U und y, y W mit u = x + y und u = x + y, also ist auch u + u = (x + x ) + (y + y ) U + W Weiter haben wir für jedes λ K dann auch λ u = λ (x + y) = λ x + λ y U + W Damit ist auch U + W ein Untervektorraum von V und (d) ist bewiesen (e) Schreibe U := v,, v n Zunächst ist = n i= v i U Sind x, y U, so existieren λ,, λ n, µ,, µ n K mit x = n i= λ iv i und y = n i= µ iv i Damit ist auch x + y = λ i v i + µ i v i = (λ i + µ i )v i U i= Außerdem ist für jedes λ K λ x = i= i= (λλ i )v i U i= Damit ist U ein Unterraum von K Für jedes i n gilt dabei v i = n j= δ ijv j U, es ist also v,, v n U Ist umgekehrt W V ein Teilraum von V mit v,, v n W, so gilt für alle λ,, λ n K auch n i= λ iv i W, dh jede Linearkombination von v,, v n liegt wieder in W Damit ist U W Das im letzten Beweisteil verwendete Kronecker-Symbol ist dabei als {, α = β, δ αβ :=, α β 2-2
13 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 definiert Der Begriff des Aufspanns von Vektoren führt uns im nächsten Schritt zu den sogenannten Erzeugendensystemen eines Vektorraums Definition 94 (Erzeugendensysteme eines Vektorraums) Sei V ein Vektorraum über K Sind v,, v n V, so heißen v,, v n ein Erzeugendensystem von V wenn V = v,, v n ist, wenn also jeder Vektor v V Linearkombination von v,, v n ist Auf einen Randfall wollen wir noch gesondert hinweisen, nämlich den Fall n = Erinnern wir uns an die Konvention leere Summen als Null zu interpretieren, so haben n = viele Vektoren in V den Nullvektor als einzige Linearkombination und ihr Aufspann ist damit der triviale Untervektorraum = {} Insbesondere hat der triviale Vektorraum V = {} ein aus Null Vektoren bestehendes Erzeugendensystem Wir wollen nun noch einige wichtige Grundbeispiele von Erzeugendensystemen besprechen Das erste Beispiel ist dabei besonders trivial, aber wichtig Für beliebige Vektoren v,, v n V in einem Vektorraum V ist v,, v n ein Erzeugendensystem des Aufspanns v,, v n 2 Der K n besitzt ein besonders einfaches Erzeugendensystem bestehend aus den Vektoren e :=, e 2 :=,, e n :=, denn jeder Vektor x K n ist ja eine Linearkombination x x 2 x = = x + x x n x n = x k e k Im dreidimensionalen reellen Fall V = R 3, schreibt man gelegentlich i, j, k für die drei Vektoren e, e 2, e 3 3 Analog bilden die Basismatrizen e ij := (δ ik δ jl ) k m, l n für i m, j n ein Erzeugendensystem des Matrixraums K m n Das vorige Beispiel läßt sich als ein Spezialfall dieses Beispiels interpretieren, schreiben wir K n = K n so wird e k = e n k für jedes k n 4 Angenommen wir haben einen Vektorraum V mit Erzeugendensystem v,, v n und einen weiteren Vektorraum W mit dem Erzeugendensystem w,, w m Im direkten Produkt V W definieren wir dann die n + m Vektoren v i := (v i, ) für i n und w j := (, w j ) für j m 2-3 k=
14 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 und behaupten das v,, v n, w,, w m ein Erzeugendensystem von V W ist Ist nämlich x V W, so ist x = (v, w) mit v V, w W und es gibt Skalare λ,, λ n K mit v = n i= λ iv i sowie µ,, µ m K mit w = m j= w j Damit ist dann auch ( m ) m λ i v i + µ j w j = λ i v i, µ j w j = (v, w) = x i= j= i= und wir haben x als eine Linearkombination der betrachteten Vektoren dargestellt 5 Ein weiteres Beispiel von Erzeugendensystemen kennen wir auch bereits aus unserer Diskussion linearer Gleichungssysteme aus 6 Angenommen wir haben ein homogenes lineares Gleichungssystem j= a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = a m x + a m2 x a mn x n = ( ) und betrachten die Menge V seiner Lösungen Wie bereits bemerkt ist V ein Teilraum des K n, also selbst ein Vektorraum Wenden wir nun das Gaußsche Eliminationsverfahren auf das lineare Gleichungssystem ( ) an, so erhalten wir ein äquivalentes lineares Gleichungssystem x i + c,i +x i c i2 x i2 + + c ir x ir + = x i2 + + c 2ir x ir + = x ir + =, in Stufenform, dessen untere m r nur aus Nullen bestehende Zeilen hier fortgelassen werden, dh r ist die Anzahl der nach Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens verbleibenden nicht trivialen Zeilen Wir haben hier die Variante des Eliminationsverfahrens verwendet, die den führenden Eintrag jeder verbleibenden Zeile durch Multiplikation mit einer Konstanten auf Eins bringt Jede dieser r Zeilen legt eine der Unbekannten fest, dh die Werte von x i,, x ir werden festgelegt während die anderen Unbekannten frei bleiben Dabei haben wir x ir = c r,ir+x ir+ c rn x n, x ir = c r,ir +x ir + c r,ir x ir c r,ir+x ir+ c r,n x n = c r,ir +x ir + (c r,ir+ c r,ir c r,ir+)x ir+ (c r,n c r,ir c rn )x n 2-4
15 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 und so weiter Benennen wir die frei bleibenden Unbekannten in t,, t n r um, so können wir die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) damit in der Form x = t + t t n r schreiben Damit wird der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) von diesen n r Vektoren erzeugt Der Lösungsraum V hat also ein aus n r Vektoren bestehendes Erzeugendensystem Dies sollte an einem kleinen Beispiel klarer werden Wir betrachten das folgende homogene lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x,, x 6 x + 2x 4 x 5 = 3x 4 + x 6 = Die Unbekannten x 2, x 3 kommen hier gar nicht vor, aber das ist gewollt Dieses Gleichungssystem ist bereits in Stufenform, wobei die Unbekannten x und x 4 festgelegt sind, während x 2, x 3, x 5 und x 6 frei bleiben Wir haben x 4 = 3 x 6 und x = x 5 2x 4 = x x 6, benennen wir also die freien Unbekannten x 2, x 3, x 5, x 6 in t, t 2, t 3, t 4 um, so wird der Lösungsraum dieses homogenen linearen Gleichungssystems zu t t 4 t t 2 3 t 4 t 3 t 4 t, t 2, t 3, t 4 R = t + t 2 + t 3 + t t, t 2, t 3, t 4 R 2-5
16 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 Ein Erzeugendensystem des Lösungsraums besteht hier also aus den vier Vektoren 2 3 u =, u 2 =, u 3 =, u 4 = 3 Die spezielle Gestalt dieses Erzeugendensystems wird später noch einmal wichtig werden, jeder der Vektoren hat oben einige weitgehend beliebige Einträge, dann folgt eine und der untere Teil des Vektors besteht nur aus Nullen Gehen wir die Vektoren dabei von links nach rechts durch, so wird der untere aus Nullen bestehende Teil immer kleiner Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir noch die Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen festhalten Lemma 92 (Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen) Sei V ein Vektorraum über K (a) Sind v,, v n, w,, w m V, so ist v,, v n, w,, w m = v,, v n + w,, w m (b) Sind v,, v n ein Erzeugendensystem von V und w,, w m V mit v i w,, w m für alle i n, so ist auch w,, w m ein Erzeugendensystem von V Beweis: (a) Es ist v,, v n + w,, w m { } { m } = λ i v i λ,, λ n K + µ i w i µ,, µ m K i= { = λ i v i + i= (b) Nach Lemma (e) gilt m j= i= µ j w j λ,, λ n K, µ,, µ m K } V = v,, v n w,, w m V, = v,, v n, w,, w m also ist auch V = w,, w m, dh w,, w m ist ein Erzeugendensystem von V Aussage (b) des Lemmas ist oft nützlich um bei gegebenen Vektoren nachzuweisen, dass sie ein Erzeugendensystem bilden Anstatt einzusehen, dass man jeden anderen Vektor als Linearkombination dieser Vektoren schreiben kann, reicht es dies für die Vektoren eines bereits bekannten Erzeugendensystems zu tun 2-6
17 Mathematik für Physiker I, WS 26/27 Montag 6 93 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimension Haben wir ein Erzeugendensystem v,, v n des Vektorraums V, so können wir jeden Vektor v V als eine Linearkombination v = λ v + + λ n v n schreiben, aber leider ist diese Darstellung im Allgemeinen nicht eindeutig Betrachten wir zum Beispiel einmal im R 2 die drei Vektoren ( ) ( ) ( ) v =, v 2 = und v 3 = 2 Wegen e = (/2)(v + v 2 ) und e 2 = v 3 v sind v, v 2, v 3 nach Lemma 2(b) ein Erzeugendensystem des R 2 In diesem Erzeugendensystem können wir andere Vektoren auf mehrere verschiedene Arten als Linearkombinationen schreiben, zum Beispiel ist e 2 = v 3 v = 2 v 2 v 2 Von besonderem Interesse sind nun natürlich diejenigen Erzeugendensysteme für die die Darstellung anderer Vektoren als Linearkombination eindeutig ist Die hierfür zuständige Bedingung ist die sogenannte lineare Unabhängigkeit Definition 95 (Lineare Unabhängigkeit) Sei V ein Vektorraum Dann heißen die Vektoren v,, v n V linear unabhängig, wenn für alle Skalare λ,, λ n K aus λ v + +λ n v n = bereits λ = = λ n = folgt Andernfalls nennt man v,, v n linear abhängig Die Vektoren v, v 2, v 3 des obigen Beispiels sind dann nicht linear unabhängig, da ja etwa 3 2 v 2 v 2 v 3 = gilt Beachte das die lineare Unabhängigkeit auch die Eindeutigkeit der Koeffizienten in einer Linearkombination bedeutet, sind nämlich λ,, λ n, µ,, µ n K mit so folgt auch λ v + + λ n v n = µ v + + µ n v n (λ µ )v + + (λ n µ n )v n =, und damit ist λ k µ k =, also λ k = µ k, für alle k =,, n 2-7
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrLineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich
Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Mehr4. Vektorräume und Gleichungssysteme
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrBeispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A
133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Mehr7 Vektorräume und Körperweiterungen
$Id: vektor.tex,v 1.3 2009/05/25 15:03:47 hk Exp $ 7 Vektorräume und Körperweiterungen Wir sind gerade bei der Besprechung derjenigen Grundeigenschaften des Tensorprodukts, die mit vergleichsweise wenig
MehrAufgaben zu Kapitel 15
Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 014/015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 7 Abgabetermin: Freitag, 05.1.014, 11 Uhr Aufgabe 7.1 (Vektorräume
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrLineare Gleichungssysteme
Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 6 Vektorräume Die Addition von zwei Pfeilen a und b, ein typisches Beispiel für Vektoren. Der zentrale
MehrKurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok
Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrIn diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)
34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)
MehrII. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme
52 II Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme 10 Matrizen und Vektoren 52 11 Der Gaußsche Algorithmus 58 12 Basen, Dimension und Rang 62 13 Reguläre Matrizen 66 14 Determinanten 69 15 Skalarprodukte
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 9 Basiswechsel Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge
Mehr( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
MehrLineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A.
Lineare Hülle Def A sei eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums (V,+, ) Die lineare Hülle von A (Bezeichung: span(a)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Elemente aus A { k } span(a) := λ i v
Mehr1 Modulare Arithmetik
$Id: modul.tex,v 1.10 2012/04/12 12:24:19 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.2 Euklidischer Algorithmus Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a und b
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrProf. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1
Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
MehrDie Dimension eines Vektorraumes
Die Dimension eines Vektorraumes Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS / Blatt 6 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag Wir verwenden das Unterraumkriterium,
Mehr9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
Mehr2.2 Kern und Bild; Basiswechsel
22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare
Mehr1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa
Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr1 Modulare Arithmetik
$Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrA2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
Mehr4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
MehrLösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)
Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9
MehrAnhang A. Etwas affine Geometrie. A.1 Die affine Hülle
Anhang A Etwas affine Geometrie In diesem Anhang stellen wir die wichtigsten Grundbegriffe aus der affinen Geometrie zusammen, soweit sie eben für uns von Nutzen sind. Für weiterführende Ergebnisse sei
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.
Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
MehrKapitel 17. Determinanten
Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrMatrizen und Determinanten
Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 2 Beispiele für Gruppen Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrKap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v
Kap 1: VEKTORRÄUME Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung ϕ : I X, i ϕ(i) = x i, wobei die Menge I in diesem Zusammenhang auch Indexmenge genannt wird. Man schreibt vereinfacht
MehrOutline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie
Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrLineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m
Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein
MehrBesteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a)
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
MehrKapitel 2: Mathematische Grundlagen
[ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
Mehr$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $
$Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrWerner Universität Münster SS 11. Mathematik für Physiker II (Kurzskript)
Werner Universität Münster SS 11 Mathematik für Physiker II (Kurzskript) Nachdem im letzten Semester Mengen mit sehr viel verschiedener Struktur (Addition, Multiplikation, den Vergleichsoperationen größer,
MehrQuadratische Matrizen
Quadratische Matrizen (n n)-matrizen heißen quadratische Die entsprechenden linearen Abbildungen sind laut Definition Endomorphismen des R n (weil f A : R n R n ) Das Produkt von (n n)- Matrizen ist auch
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrLineare Gleichungssysteme
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 28. November 2011 Definition Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anhang
MehrAffine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version)
Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Def. Affiner Raum der Dimension n über Körper K ist nach Definition K n. Bemerkung. Man könnte Theorie von affinen Raumen auch axiomatisch aufbauen mit
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter
MehrKapitel III. Aufbau des Zahlensystems
Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden.
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrLineare Gleichungssysteme
Poelchau-Oberschule Berlin A. Mentzendorff September 2007 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Das Lösungsverfahren von Gauß 4 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle 6 4
Mehr3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
Mehr1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Mehr1 Mengen und Abbildungen
1 MENGEN UND ABBILDUNGEN 1 1 Mengen und Abbildungen Wir starten mit einigen einführenden Definitionen und Ergebnissen aus der Theorie der Mengen und Abbildungen, die nicht nur Grundlage der Linearen Algebra
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
MehrKapitel III. Lineare Abbildungen
Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun
Mehr