Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele

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1 Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,, 0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte man auch (zumindest zu Beginn) sorgfältig darauf achten, dass die binären Verknüpfungen in V und K sowie die entsprechenden neutralen Elemente verschieden sind. Wir nehmen an, dass es noch eine weitere binäre Verknüpfung gibt, und zwar zwischen Elementen aus V und K so, dass das Ergebnis wieder ein Element aus V ist. Die Verknüpfung ist also eine Abbildung : V K V (v, λ) v λ Die Menge V wird zu einem K-Vektorraum, wenn die so genannte Skalarmultiplikation folgende Eigenschaften hat: [S1] v 1 = v v V. [S2] v (λ 1 λ 2 ) = (v λ 1 ) λ 2 v V, λ 1, λ 2 K. [S3] (v 1 v 2 ) λ = (v 1 λ) (v 2 λ) v 1, v 2 V, λ K. [S4] v (λ 1 +λ 2 ) = (v λ 1 ) + (v λ 2 ) v V, λ 1, λ 2 K. Die Elemente aus V heißen Vektoren, die Elemente aus K Skalare. Wir werden Skalare meistens mit griechischen Buchstaben bezeichnen, Vektoren mit lateinischen Buchstaben. Beachten Sie, dass wir die Skalare von rechts an die Vektoren multiplizieren. 44

2 Beispiel (1.) Der in dieser Vorlesung wohl wichtigste Vektorraum ist x 1 K n x 2 = {. : x 1,..., x n K} x n die Menge aller n-tupel von Elementen aus K. Nun ist das zunächst nur eine Menge, auf der keine Verknüpfung definiert ist. Das kann aber leicht nachgeholt werden: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 2. y 2 := x 2 + y 2 x n sowie. y n. x n + y n x 1 x 1 λ x 2. λ := x 2 λ. x n x n λ Man muss jetzt nachrechnen, dass die Menge K n mit diesen Verknüpfungen wirklich zu einem Vektorraum wird. Das ist sehr einfach! (2.) Die Menge K (m,n) der m n-matrizen ist ebenfalls ein K-Vektorraum: Die Addition von Matrizen wurde bereits erklärt, die Skalarmultiplikation ist α 1,1 α 1,n α 1,1 λ α 1,n λ.... λ =.... α m,1 α m,n α m,1 λ α m,n λ Als Vektorraum betrachtet sind K mn und K (m,n) fast identisch. Das werden wir später präzisieren. (3.) Wir bezeichnen mit m K[x] := { c i x i : c i K, m N} i=0 die Menge aller Polynome über K. Beachten Sie, dass m hier nicht fest gewählt ist. Ist f = m i c i x i, so heißt max{i : c i 0} der Grad des Polynoms f. Das Nullpolynom (alle c i = 0) hat demnach keinen Grad; manchmal sagt man, das Nullpolynom habe den Grad. Zwei Polynome m i=0 c ix i und n i=0 d ix i heißen gleich, wenn sie denselben Grad gr haben und c i = d i für alle i gr gilt. 45

3 Wir können K[x] zu einem K-Vektorraum machen: sowie m c i x i i=0 n m d i x i = (c i + d i )x i i=0 m c i x i λ = i=0 i=0 m (c i λ)x i. Bemerkung zur Addition: Wenn wir m i=0 c ix i und n i=0 d ix i mit n < m addieren wollen, so setzen wir einfach c i = 0 für m i > n. Als K-Vektorraum können wir K[x] auch wie folgt erklären: Dieser Vektorraum besteht aus allen Tupeln (c 0, c 1, c 2,...) wobei c i 0 für nur endlich viele i gilt (alle abbrechenden Folgen). Wir haben also keine echten Folgen mit unendlich vielen Einträgen 0. Sie können aber auch den Vektorraum aller nicht abbrechenden Folgen i=0 (c 0, c 1, c 2,...) definieren. Dieser Vektorraum wird mit K[[x]] bezeichnet, eine intuitive Notation dafür wäre etwa K[[x]] = { c i x i : c i K} i=0 Hier muss man aber aufpassen: Wir haben nur eine formale Summe f = i=0 c ix i und wir setzen für x nichts ein, d.h. wir werten f nicht an irgendeiner Stelle x aus. Das können wir ja auch nicht, denn unendliche Summen gibt es bei uns in der linearen Algebra nicht! Das geht nur in der Analysis, wo man Begriffe wie Konvergenz kennt. Wenn wir uns aber auf Polynome, d.h. K[x] beschränken, so können wir sehr wohl für x etwas einsetzen, nämlich z.b. irgendwelche Elemente aus K. So können wir aus jedem Polynom auch eine Abbildung K K machen. Polynome sind aber nicht dieselben Objekte wie solche Polynomabbildungen, weil zu verschiedenen Polynomen dieselben Abbildungen gehören können: Beispiel Das Polynom f = x 2 + x F 2 [x] liefert bei Einsetzung der Elemente aus F 2 stets den Wert 0, aber f ist nicht das Nullpolynom. 4. Sei S eine beliebige Menge. Die Menge Abb(S; K) = {f : f ist Abbildung S K} ist ein K-Vektorraum. Die Addition auf Abb(S; K) ist f g : S K s f(s) + g(s) 46

4 und die Skalarmultiplikation f λ : S K s f(s) λ Lemma In einem K-Vektorraum gilt für alle v V : 1. v 0 = 0 2. v 1 = v 3. v λ = 0 v = 0 oder λ = 0 4. v ( 1) = v Wir wollen in diesem Kapitel abschließend noch den Begriff der Linearkombination definieren: Definition Sei V ein K-Vektorraum, und sei S V. Dann heißt ein Vektor v eine Linearkombination von Vektoren aus S, wenn es v 1,..., v n S und Skalare λ 1,... λ n gibt mit v = n v i λ i. i=1 3.2 Unterräume Definition Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U V heißt ein Unterraum von V, falls gilt: [UV1] U { }. [UV2] Für alle v, w U gilt v + w U. [UV3] Für alle v U und λ K gilt v λ U. [UV2] bedeutet Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, [UV3] ist die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation. Bezeichnung U V. Lemma Ein Unterraum ist ein Vektorraum. 47

5 Beweis Weil die Addition und Skalarmultiplikation aus V vererbt (induziert) ist, gelten sicherlich die notwendigen Assoziativ- und Distributivgesetze. Ferner ist durch die induzierte Verknüpfung eine binäre Verknüpfung auf U erklärt, genauer: : U U U und : U K U Zu zeigen ist, dass das additiv Inverse u von u U auch in U liegt, und dass 0 U gilt. Nun ist u = u ( 1), also u U wegen [UV3]. Ebenso gilt 0 = u 0, also 0 U. Beispiel (1.) {bzero} und V sind (triviale) Unterräume von V. (2.) K[x] K[[x]]. (3.) Sei V = R 3. Wir betrachten die folgenden Teilmengen W von V (dabei ist x = x 1 ): x 2 x 3 (1.) W := {x : x 1 + x 2 x 3 = 0} (2.) W := {x : x 1 + x 2 x 3 = 1} (3.) W := {x : x 1 + 3x 2 = 0, x 2 5x 3 = 0} (4.) W := {x : x 3 1 x2 2 = 0} (5.) W := {x : x 1 x 2 0} Man rechnet nach, dass nur die Beispiele (1) und (3) Unterräume sind. Die wichtigste Klasse von Unterräumen sind die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme: Beispiel Sei A K (m,n). Dann ist W = {x K n : Ax = 0 ein Unterraum von K n. Der Schnitt von beliebigen Unterräumen ist wieder ein Unterraum. Die Vereinigung von Unterräumen ist im allgemeinen kein Unterraum: Satz Sei W i, i I, eine Familie von Unterräumen von V. Dann ist W := i I ein Unterraum von V. Beweis Klar ist 0 W, also W { }. Zu [UV2]: Ist u, v W, so gilt nach Definition von W sogar u, v W i für alle i I, und damit u + v W i für alle i I, somit u + v W. Man zeigt uλ W für u W genauso. 48

6 Es sei auf folgendes hingewiesen: Die hier gemachte Behauptung ist stärker als die Behauptung U 1 U 2 ist Unterraum für zwei Unterräume U 1 und U 2. Aus der Behauptung könnten wir nämlich nicht folgern, dass der Schnitt über beliebige Familien von Unterräumen wieder ein Unterraum ist. Die Frage ist, ob denn in der Praxis solche Schnitte vorkommen. Ja, sie kommen sehr wohl vor: Definition Sei S V. Dann heißt S := T der von S erzeugte Unterraum. S T V Der hier definierte Unterraum heißt auch das Erzeugnis von S. Das es wirklich ein Unterraum ist, folgt aus Satz Es ist der kleinste S umfassende Unterraum! Es gibt eine andere Möglichkeit, das Erzeugnis von S zu beschreiben: Satz Ist S V eine nicht-leere Teilmenge von V, so besteht S aus allen Linearkombinationen von S. Beweis (Skizze) Man überlegt sich zunächst, dass alle Linearkombinationen von S in S liegen müssen. Dann zeigt man, dass die Menge aller Linearkombinationen einen Vektorraum bilden, der natürlich S umfaßt. Damit ist die Menge der Linearkombinationen von S der kleinset S umfassende Unterraum. Sind W 1,..., W k Unterräume von V, so nennt man den von k i=1 W i erzeugten Unterraum die Summe W 1 + W W k. Man kann zeigen: Satz Sind W i Unterräume von V, i = 1,... k, so gilt W W k = {w 1 + w w k : w i W i }. Beweis Wie Beweis von Satz Definition Sei U ein Unterraum von V. Dann heissen die Nebenklassen U + x := {u + x : u V } affine Unterräume. Wir wollen auch die leere Menge als einen affinen Unterraum bezeichnen. Satz Sei A K (m,n). Dann ist W = {x K n : Ax = b ein affiner Unterraum U +v von K n. Dabei ist U der Lösungsraum des homogenen Systems Ax = 0, und v ist eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems W = {x K n : Ax = b. 49

7 Dieser Satz bedeutet: Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems ist die Lösung des homogenen Systems plus einer (beliebigen) speziellen Lösung des inhomogenen Systems. Lemma Zwei affine Unterräume U + x und U + y sind gleich oder disjunkt. Beweis Angenommen v (U + x) (U + y), z.b. v = u + x = u + y. Ferner sei u + x ein beliebiger Vektor in U + x. Dann u + x = u + u u + y, also u + x U + y. Die affinen Unterräume U + x bilden eine Zerlegung von V. Wir haben gelernt, dass zu dieser Zerlegung eine Äquivalenzrelation gehört. Diese Äquivalenzrelation kann man wie folgt angeben: Satz Ist U ein Unterraum von V, so ist die Relation auf V mit u v u v U eine Äquivalenzrelation auf V. Die Äquivalenzklassen sind die affinen Unterräume U + x. Beweis Es genügt zu zeigen: u v U u, v U + x für ein x V. Sei also u v U. Dann u, v U + v, was zu zeigen war. Die Umkehrung ist klar. Bemerkung Das hier beschriebene Vorgehen funktioniert in beliebigen abelschen Gruppen mit beliebigen Untergruppen. Die Menge der Nebenklassen von U bezeichnet man als V/U (V modulo U). Man kann V/U zu einem Vektorraum machen, den man den Faktorraum nennt: Satz Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Dann ist V/U ein K-Vektorraum, wenn die Addition und die Skalarmultiplikation wie folgt definiert wird: Addition: (U + x) + (U + y) := U + (x + y) für alle x, y V Skalarmultiplikation: (U + x) λ := U + xλ für alle x V, λ K. Beweis Machen Sie sich klar, dass man nur die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zeigen muss. Die Rechenregeln gelten, weil die Regeln schon für V gelten. 3.3 Basis, lineare (Un)abhängigkeit, Dimension Das Material dieses Kapitels gehört zu den Herzstücken einer jeden LAAG Vorlesung und ist extrem beliebter Prüfungsstoff (in praktisch jeder mündlichen Prüfung wird danach gefragt). 50

8 Definition Sei S V. Dann heißt S linear abhängig, falls es Vektoren v 1,..., v n S und Skalare λ i K gibt mit v 1 λ v n λ n = 0, wobei nicht alle λ i gleich 0 sind. Andernfalls heißt S linear unabhängig. Bemerkung (1.) Teilmengen linear unabhängiger Mengen sind linear unabhängig. (2.) Ist S linear abhängig und S T, so ist auch T linear abhängig. (3.) Eine Menge S ist genau dann linear unabhängig, wenn alle endlichen Teilmengen linear unabhängig sind. Definition Eine Teilmenge S V mit S = V heißt Erzeugendensystem von V. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Ein Erzeugendensystem S heißt minimal, wenn S \ {v} für alle v S kein Erzeugendensystem mehr ist. Wir nennen eine Menge S eine maximal linear unabhängige Menge, wenn S {v} linear abhängig ist für alle v / S. Hat ein Vektorraum eine endliche Basis, so heißt er endlichdimensional. Satz Sei S = {v i : i I} V eine Teilmenge des Vektorraums V. Dann sind die folgenden Bedingungen gleichwertig: 1. S ist ein minimales Erzeugendensystem. 2. S ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. 3. S ist eine maximal linear unabhängige Menge. 4. S ist eine Basis. 5. Jeder Vektor v V hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von S, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Skalare λ i mit v = i I v iλ i, wobei nur endlich viele λ i 0 sein dürfen (andernfalls ist die Summe gar nicht erklärt!). Beweis siehe Vorlesung. Bemerkung (1.) Ist S linear unabhängig, so ist S eine Basis von S. (2.) Die kanonische Basis von K n besteht aus den Vektoren {e 1,..., e n }, wobei e i = γ 1. γ n 51

9 ist mit γ j = 0 für i j und γ i = 1. Korollar Jeder Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem hat eine endliche Basis, ist also endlichdimensional. Wie sieht es mit Vektorräumen aus, die nicht endlich erzeugt sind. Man könnte versuchen, von einem großen Erzeugendensystem, nämlich V, nach und nach Elemente wegzunehmen, so dass man eine nicht mehr verkleinerbare Menge erhält. Dass das in unserem Fall gut geht, kann man mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweisen. Wir wollen hier darauf nicht eingehen, sondern nur festhalten: Satz Jeder VR hat eine Basis. Wir wollen nun zeigen, dass die Mächtigkeiten zweier Basen in endlich erzeugten VR en gleich sind. Satz Sei V ein VR mit Erzeugendensystem S = {v 1,..., v m }. Ist T eine linear unabhängige Teilmenge von V, so gilt T m. Beweis Sei T = {w 1,..., w n } eine n-elementige Teilmenge von V mit n > m. Wir wollen zeigen, dass diese Menge dann linear abhängig sein muss. Weil S ein Erzeugendensystem ist, gibt es α i,j, i = 1,..., m und j = 1,... n so, dass Ferner gilt w j = m α i,j v i. i=1 n w j x j = j=1 = n m α i,j x j v i j=1 i=1 m n ( α i,j x j )v i. i=1 j=1 Wegen m < n gibt es Skalare λ j mit n α i,j λ j = 0 j=1 (Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten, m < n, siehe Satz 2.8.1), wobei nicht alle λ j gleich 0 sind. Damit haben wir gezeigt, dass {w 1,..., w n } linear abhängig ist. Korollar In endlichdimensionalen Vektorräumen sind je zwei Basen gleichmächtig. 52

10 Definition Die Mächtigkeit der Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes heißt die Dimension des Vektorraumes. Bezeichnung: dim(v ). Wir wollen uns jetzt mit den Dimensionen von Unterräumen beschäftigen. Dazu notieren wir noch einmal explizit folgendes Lemma, das wir schon im Beweis von Satz implizit benutzt haben: Lemma Sei S V eine linear unabhängige Teilmenge von V. Ist v / S, so ist auch S {v} linear unabhängig. Beweis Angenommen, S {v} ist linear abhängig. Dann gibt es v i S {v} und Skalare λ i, i = 1,... n so, dass nicht alle λ i gleich 0 sind, und n i=1 v i = 0. Dann muss offenbar v {v 1,..., v n } gelten, z.b. v 1 = v, da andernfalls S linear abhängig wäre. Ferner ist aus demselben Grund λ 1 0. Also gilt n λ j v 1 = v j λ 1 und v S, ein Widerspruch. Wir halten als Korollar fest: j=2 Korollar Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Ist U V, so gilt dim(u) dim(v ). Korollar Jede nichtleere Menge S linear unabhängiger Vektoren in einem endlichdimensionalen Vektorraum V kann zu einer Basis ergänzt werden, d.h. es gibt T V so, dass S T eine Basis ist. Satz Seien W 1 und W 2 Unterräume eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Dann gilt die folgende Dimensionsformel: dim(w 1 ) + dim(w 2 ) = dim(w 1 W 2 ) + dim(w 1 + W 2 ). Beweis siehe Vorlesung. 3.4 Eine kurze Einführung in die affine Geometrie Definition Sei V ein Vektorraum, und seien v 1,..., v n heißt eine Linearkombination n n v = v i λ i mit λ i = 1 i=1 i=1 V. Dann 53

11 eine affine Kombination der v i. Eine Menge S V heißt affin unabhängig, wenn sich kein Vektor v aus S als Affinkombination von Vektoren in S \ {v} schreiben lässt. Andernfalls heißt S affin abhängig. Das folgende Lemma zeigt, dass linear unabhängige Mengen auch affin unabhängig sind. Die Umkehrung gilt aber i.a. nicht: Lemma Sei S V eine Teilmenge des Vektorraums V. Dann ist S genau dann affin unabhängig, wenn es keine Linearkombination n i=1 v iλ i = 0 mit n i=1 λ i = 0, v 1,... v n S gibt. Beweis Ist S affin abhängig, dann gibt es w S mit w = n 1 i=1 v iλ i, n 1 i=1 λ i = 1, v i S. Setze v n := w und λ n = 1, dann haben wir eine Linearkombination n i=1 v iλ i = 0 mit n i=0 λ i = 0, v 1,... v n S gefunden. Wenn es umgekehrt eine solche Linearkombination gibt mit (obda) λ n 0, dann können wir nach v n auflösen: n 1 v n = λ i v i λ n i=1 Wegen n 1 i=1 λ i = λ n ist v n eine affine Kombination der v i, i = 1,..., v n 1, also ist S affin abhängig. ( ( 1 2 Beispiel Die Vektoren und sind sicherlich linear abhängig, sie 1) 2) sind aber affin unabhängig. Wir wollen affine Unterräume nun etwas anders definieren als in (wobei sich natürlich herausstellt, dass beide Definitionen gleichwertig sind). Definition Ist S V, so heißt S a := {v V : v ist affine Kombination von Vektoren in S} die affine Hülle von S. Eine Teilmenge U V mit U a = U ist ein affiner Unterraum. Es gilt, was man natürlich erwartet, dass die affine Hülle einer Menge S ein affiner Unterraum ist: Lemma S a ist affiner Unterraum. Beweis Sei v = n i=1 v iλ i, n i=1 λ i = 1, eine Affinkombination von Vektoren v i S a. Dann ist jedes v i eine Affinkombination v i = m j=1 s jµ i,j, m j=1 µ i,j = 1. Weil n m i=1 j=1 λ iµ i,j = 1, ist auch v eine Affinkombination von Vektoren aus S. 54

12 Der nächste Satz zeigt den Zusammenhang zwischen affinen und linearen Unterräumen. In diesem Satz benutzen wir die Definition Es ist dann gerade die Aussage dieses Satzes, dass die beiden Definitionen und gleichwertig sind. Satz Ist E ein affiner Unterraum und v E, dann ist E v ein linearer Unterraum. Ist umgekehrt U ein beliebiger linearer Unterraum, dann ist U + v ein affiner Unterraum. Beweis Beachte dass E v { }, weil v E. Wir müssen zeigen, dass zu je zwei Vektoren w 1, w 2 E v auch w 1 +w 2 E v gilt sowie w 1 λ E für λ K. Sei dazu w 1 = e 1 v und w 2 = e 2 v. Dann ist w 1 +w 2 = (e 1 +e 2 v) v (E v), weil e 1 + e 2 v eine Affinkombination von Vektoren in E ist, also in E liegt. Weiterhin ist w 1 λ = (e 1 λ (λ 1 1)v) v, also ebenfalls in E v. Die Umgekehrte Richtung geht ähnlich: Sei w i = u i + v, i = 1,..., n, eine Menge von Vektoren aus U + v. Dann ist n i=1 w iλ i = ( n i=1 u iλ i ) + v (U + v), falls n i=1 λ i = 1. Also ist jede Affinkombination von Vektoren aus U + v wieder in U + v, d.h. U + v ist ein affiner Unterraum. Wir wollen uns nun überlegen, wie der Schnitt von zwei affinen Unterräumen aussieht. Man kann sich schnell, wie im Fall linearer Unterräume, überlegen, dass der Schnitt beliebiger affiner Unterräume wieder ein affiner Unterraum ist. Wir wollen nun aber den Schnitt konkret ausrechnen. Dazu beginnen wir mit einer (fast) Trivialität: Lemma Es gilt U + v U + v für zwei lineare Unterräume U und U genau dann wenn U U und v v U. Beweis U + v U + v bedeutet U U + v v, also insbesondere ist v v U (weil 0 U). Damit ist aber U + v v ein linearer Unterraum, U + v v = U. Man kann auch leicht entscheiden, ob sich zwei affine Unterräume schneiden: Lemma Die beiden affinen Unterräume U + v und U + v sind genau dann disjunkt wenn v v / U + U. Beweis Übung oder Vorlesung. Satz Seien U, U zwei lineare Unterräume, v, v V. Dann ist E = (U + v) (U + v ) ein affiner Unterraum. Ist E { }, dann ist W + w, wobei W = U U und w ein beliebiger Vektor in E ist. Sind E 1 und E 2 affine Unterräume, so bezeichnen wir die affine Hülle E 1 E 2 a mit E 1 E 2. Wir können diesen Unterraum, ähnlich wie den Schnitt, auch konkret angeben: 55

13 Satz Seien U, U zwei lineare Unterräume, v, v V. Dann gilt E := (U + v) (U + v ) = v + (U + U + v v ). Beweis Weil v E, so wissen wir dass wir E als L + v für einen geeigneten linearen Unterraum L schreiben können. Ferner ist E der kleinste affine Unterraum, der U + v und U + v enthält. Nun muss sowohl U als auch U in L liegen. Ferner muss auch v v in L liegen, weil v + v v eine Affinkombination von v und v ist, also in E liegt. Wir können nun auch, vergleichbar zu Satz , eine Dimensionsformel für Schnitt und Erzeugnis zweier affiner Unterräume angeben. Allerdings sind diese Formeln abhängig davon, ob sich die beiden affinen Unterräume schneiden oder nicht: Satz Es seien E 1 = U 1 + v 1 und E 2 = U 2 + v 2 zwei affine Unterräume eines endlichdimensionalen Vektorraumes V. Wenn E 1 E 2 { }, dann gilt andernfalls erhalten wir dim(e 1 ) + dim(e 2 ) = dim(e 1 E 2 ) + dim(e 1 E 2 ), dim(e 1 ) + dim(e 2 ) = dim(e 1 E 2 ) + dim(u 1 U 2 ) 1 Beweis Das folgt unmittelbar aus der Dimensionsformel in Satz und der Folgerung aus Lemma , dass nämlich { dim(u 1 + U 2 ) wenn E 1 und E 2 nicht disjunkt sind dim(e 1 E 2 ) = 1 + dim(u 1 + U 2 ) wenn E 1 und E 2 disjunkt sind. Beispiel Machen Sie sich diese Dimensionsformel am R 3 klar: Zwei parallele Geraden, die sich nicht schneiden, erzeugen einen 2-dimensionalen affinen Unterraum (Ebene). Zwei nicht parallele, aber disjunkte Geraden (windschief!) erzeugen den ganzen R 3. In dem Fall gilt nämlich in der Dimensionsforml dim(u 1 U 2 ) = 0. Zwei parallele Geraden, die sich schneiden (also gleich sind!), erzeugen einen eindimensionalen Unterraum, zwei sich schneidende, nicht parallele Geraden, erzeugen einen zweidimensionalen Unterraum. Wir wollen noch kurz bei der affinen Geometrie verweilen. Sei V = K n. Dann bezeichnen wir die Menge V zusammen mit den sämtlichen affinen Unterräumen die affine Geometrie AG(V ). Die 0-dimensionalen Unterräume nennen wir Punkte, die 1-dimensionalen Geraden, und die 2-dimensionalen Unterräume heißen Ebenen. Ferner nennen wir (n 1)-dimensionale Unterräume Hyperebenen. Wir nennen zwei Unterräume U + v und U + v parallel, wenn U U oder U U gilt. Ferner heißt ein Unterraum E inzident mit E falls E E gilt. 56

14 Unterräume von AG(V ) haben gewisse kombinatorische Eigenschaften, so geht z.b. durch je zwei Punkte genau eine Gerade. Man kann sich fragen, ob diese kombinatorischen Eigenschaften die affine Geometrie bereits charakterisieren, oder ob es noch andere Modelle als AG(V ) gibt, deren Unterräume dieselben kombinatorischen Eigenschaften wie AG(V ) haben. Wir wollen dies am Beispiel der affinen Ebenen illustrieren: Definition Sei V eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen wollen. Ferner sei B P(V ) eine Menge von Punktmengen, die wir Geraden nennen. Zwei Geraden heißen parallel wenn sie gleich oder disjunkt sind. Wir nennen dann (V, B) eine affine Ebene, falls gilt: [AE1] [AE2] [AE3] Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade L mit p 1, p 2 L. Zu jedem Punkt p und jeder Geraden L gibt es genau eine Gerade L mit p L und L parallel zu L. Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen. Satz AG(K 2 ) ist eine affine Ebene, wobei die Punkte die Elemente aus K 2 sind, und die Geraden sind die eindimensionalen affinen Unterräume. Beachten Sie bitte, dass es auch affine Ebenen gibt, die über endlichen Körpern erklärt sind. Beispiel Wir definieren auf der Punktmenge R 2 eine Menge B von Geraden wie folgt: wobei B := {L m,a : m R, a R} {L a : a R} ( ) ( ) x x L m,a := { : x 0} { mx + a 2mx + a : x > 0} (statt 2 als Abknickparameter kann man jede beliebige Zahl 0 wählen) und ( a L a := { : y R} y) Man rechnet nach, dass so eine affine Ebene erklärt ist. Das ( ) Axiom [AE3] x1 ist klar. Für [AE1] ist nur der (interessante) Fall p 1 = mit x y 1 0 ( ) 1 x2 und p 2 = mit x y 2 > 0 interessant. Wir müssen also m, a so finden, dass 2 p 1, p 2 L m,a gilt. Das bedeutet aber y 1 = mx 1 + a und y 2 = 2mx 2 + a. Dieses Gleichungssystem können wir nach m und a auflösen. 57

15 ( ) x1 Noch zu [AE2]: Sei p 1 = ein Punkt und L y m1,a 1 eine Gerade. Wir suchen 1 eine Gerade L m,a durch p 1 und parallel zu L m1,a 1. Nun sind aber L m,a und L m,b genau dann parallel wenn m = m (wie man leicht nachrechnen kann). Wir wählen a also so, dass p 1 L m1,a gilt. Nun stellt sich die Frage, ob wir auf diese Art eine neue affine Ebene konstruiert haben, oder ob wir nur die bekannte affine Ebene R 2 in neuem Gewand wiederentdeckt haben. Die oben konstruierte Ebene (Moulton-Ebene) ist aber in der Tat neu. In der klassischen Ebene AG(R 2 ) gilt nämlich der folgende Schließungssatz: Satz (Desargues) Seien L 1, L 2, L 3 drei verschiedene Geraden in AG(R 2 ), die sich in einem Punkt z treffen. Ferner seien u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3 sechs verschiedene Punkte z mit u i, v i L i. Wenn dann die Geraden u 1 u 2 und v 1 v 2 parallel sind und die Geraden u 1 u 3 und v 1 v 3 sind auch parallel, dann müssen auch die Geraden u 2 u 3 und v 2 v 3 parallel sein. Beweis Sei obda z = 0, die drei Geraden L i sind also eindimensionale lineare Unterräume. Sei v 1 = λu 1 und v 2 = µu 2. Wegen der Parallelität der Geraden u 1 u 2 und v 1 v 2 gilt u 1 u 2 = λu 1 µu 2. Das geht für λ = µ, ist aber falsch für µ λ (sonst wäre (λ µ)u 2 u 1 u 2, und damit würden u 1 und u 2 denselben Unterraum erzeugen, was sie aber nicht tun). Genauso zeigt man v 3 = λu 3. Dann gilt u 2 u 3 = v 2 v 3 = λ(u 2 u 3 ). Man kann nun zeigen, dass in der Moulton-Ebene der Satz von Desargues nicht gilt. Wir haben also in der Tat eine andere Ebene gefunden. 3.5 Rang einer Matrix Die folgende Frage ist bislang offen geblieben: Wenn A und B zeilenreduziert und zeilenäquivalent sind, müssen dann A und B gleich viele Zeilen 0 haben? Dazu bezeichnen wir den Unterraum von K n, der von den Zeilen einer Matrix A K (m,n) erzeugt wird, den Zeilenraum von A. Achtung: Wir interpretieren Vektoren hier als Zeilenvektoren, nicht, wie sonts, als Spaltenvektoren. Satz Zeilenäquivalente Matrizen haben denselben Zeilenraum. Ist R in zeilenreduzierter Normalform, so bilden die Zeilen von R eine Basis des Zeilenraums von R. Beweis Nach Konstruktion sind die Zeilen einer Matrix in zeilenreduzierter Normalform linear unabhängig, bilden also eine Basis. Korollar Sind A und B zwei zeilenäquivalente Matrizen in zeilenreduzierter Normalform, so haben sie gleich viele Zeilen 0. 58

16 Definition Sei A eine Matrix, die äquivalent zu einer Matrix R in zeilenreduzierter Form ist. Die Anzahl der Zeilen 0 in R heißt der Rang von A. Korollar Ist A K (m,n), so ist der Vektorraum U der Lösungen von Ax = b ein Unterraum von K n der Dimension n Rang(A). Beweis Sei R in zeilenreduzierter Normalform und äquivalent zu A. Die Pivotelemente seien an den Positionen (i, j i ), i = 1,..., r. Setze J = {1,..., n} \ {j 1,..., j r }. Das Gleichungssystem sieht also jetzt wie folgt aus: x j1 + j J γ 1,j x j = 0 x j2 + j J γ 2,j x j = =... x jr + j J γ r,j x j = 0 Die x i mit i J können beliebig gewählt werden; die x i mit i / J sind dadurch eindeutig bestimmt. Also sind die n r Vektoren, die wir erhalten, wenn wir genau ein x i0 = 1 setzen (i 0 J) und die anderen x i = 0 mit i J \ {i 0 }, eine Basis des Lösungsraums. Wir wollen jetzt zeigen, dass A zu genau einer Matrix R in zeilenreduzierter Normalform äquivalent ist. Das rechtfertigt den Begriff Normalform. Satz Eine Matrix A K (m,n) ist zu genau einer Matrix R in zeilenreduzierter Form zeilenäquivalent. Beweis Die Zeilen 0 von R seien v 1,..., v r, die Pivotelemente treten an den Stellen (i, j i ), i = 1,..., r, auf. Sei b = (β 1,..., β n ) ein Vektor im Zeilenraum von A. Es gilt r b = v i β ji. i=1 Das zeigt, dass der erste Eintrag 0 in b an einer Stelle j 1,... j r auftritt. Deshalb sind die j i eindeutig bestimmt. Im Zeilenraum von R gibt es genau einen Vektor mit β ji0 = 1 und β ji = 0 für i = i 0. Dieser Vektor muss die Zeile i 0 von R sein, also ist R eindeutig bestimmt. Korollar Matrizen mit gleichen Zeilenräumen sind zeilenäquivalent. 59

17 Beweis Seien A und B zwei Matrizen, die zu den Matrizen R und S in Normalform zeilenäquivalent sind. Weil R und S identische Zeilenräume haben, müssen sie (siehe Beweis oben) identische Normalformen haben, also R = S. 3.6 Koordinaten Wir haben bislang die Vektorräume koordinatenfrei behandelt. Wir wollen nun zeigen, wie man einen Vektorraum der Dimension n mittels einer geordneten Basis B = b 1,..., b n ) koordinatisieren kann. Ist v V, so wissen wir, dass es eindeutig bestimmte Skalare λ 1,..., λ n gibt mit n v = v i λ i. i=1 Wir nennen die λ i die Koordinaten von v bzgl. der Basis B. Bezeichnung: λ 1 λ 2 [v] B =. λ n Ist B = (e 1,... e n ) die kanonische Basis bestehend aus den Einheitsvektoren, so gilt [ x 1. x n ] B = x 1. x n Aber eine andere geordnete Basis ist z.b. C = ( 1 1, 2 0, 3 1 ) Dann ist mit [ 2 2 ] C = λ 1 λ 2 1 λ 3 λ 1 + 2λ 2 + 3λ 3 = 2 λ 1 + λ 3 = 2 λ 2 + 2λ 3 = 1 Wir lösen dieses Gleichungssystem und erhalten λ 3 = 1, λ 2 = 1,, λ 1 = 1. 60

18 Seien B und C zwei geordnete Basen B = (b 1,..., b n ) C = (c 1,..., c n ) eines n-dimensionalen Vektorraums. Wir definieren die Matrix M B C = (α i,j ) in K (n,n), wobei die α i,j so definiert sind, dass gilt. α 1,i.. α n,i = [b i ] C Satz Beweis Sei also Dann ist Nun gilt. Wir erhalten M B C [v] B = [v] C. [v] B = λ 1. λ n n b i λ i = v. i=1 λi α 1,i M B C [v] B =. λi α n,i v = i c j α j,i = b i j b i λ i = i,j c j α j,i λ i. Der Koeffizient von c j ist also i λ iα j,i, was zu zeigen war. Beispiel Sei B = ( 0 1, 2 3, 1 1 )

19 und C = ( 1 1, 0 1, 1 1 ) Man rechnet nach (Lösung eines linearen Gleichungssystems!) [ 0 1 ] C = 6 [ 2 3 ] C = 0 [ 1 1 ] C = Die Transformationsmatrix ist also M B C Wir überprüfen dies an einem Beispiel: Sei v = 3 2, dann ist 15 2 [v] B = 1 1 Der Koordinatenvektor [v] C bzgl. der Basis C ist also M B C [v] B = Die Korrektheit diese Ergebnisses kann man leicht nachrechnen. Korollar M B C M C B = I. Beweis Es gilt M B C [v] C = [v] B und M C B [v] B = [v] C. Also gilt M B C MC B [v] B = [v] B, also muss M B C MC B = I gelten. Korollar Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, und sei P eine Matrix in K (n,n). Ist B = (b 1,..., b n ) eine geordnete Basis von V, so gibt es genau eine Basis C mit [v] C = P [v] B für alle v V. 62

20 Beweis Zur Existenz: Wir suchen eine Basis C = (c 1,..., c n ) mit c j α j,i = b i. (3.1) In dem Fall ist C ein Erzeugendensystem, und P[b i ] B = [b i ] C. Sei dazu P 1 = (β i,j ) die Inverse von P. Dann gilt { 1 wenn k = i β k,j α j,i = 0 sonst j Wir setzen c j = k b kβ k,j. Einsetzen in (3.1) liefert was zu zeigen war. c j α j,i = j j j b k β k,j α j,i = k k b k β k,j α j,i = b i, j Zur Eindeutigkeit: Die i-te Spalte von P 1 muss [c i ] B sein. 3.7 Zusammenfassung Sie haben in diesem Abschnitt die wichtige Definition des Vektorraumes gelernt und Beispiele gesehen. Sie wissen, was linear abhängig und unabhängig bedeutet. Der Begriff der Basis wurde eingeführt. Wir konnten zeigen, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis hat. Das gilt auch für nicht endlich erzeugte Vektorräume, der Beweis erfordert aber tieferliegende Hilfsmittel. Sie sollen in der Lage sein, Beispiele von endlich- und von unendlichdimensionalen Vektorräumen anzugeben. Affine und lineare Unterräume wurden erklärt. Sie sollten wissen, dass solche Unterräume als Lösungsmengen (inhomogener) Gleichungssysteme auftreten. Das Kapitel über affine (Un)abhängigkeit und die affinen Dimensionsformeln wird in der Vorlesung Lineare Optimierung wichtig. Der Exkurs über affine Ebenen und die Moulton-Ebene ist nicht so wichtig. Der Dimensionsbegriff hat es ermöglicht zu zeigen, dass jede Matrix zu genau einer Matrix in zeilenreduzierter Form äquivalent ist. Es wurde eine wichtige Dimensionsformel für die Dimension der Summe zweier Unterräume vorgestellt. 63

21 Sie wissen, wie man einen n-dimensionalen Vektorraum mit Hilfe einer geordneten Basis koordinatisiert. Basiswechsel bedeutet Multiplikation des Koordinatenvektors mit einer geeigneten invertierbaren Matrix. Einige Probleme bleiben offen: Ist jeder Unterraum Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems? Wenn ja, gibt es sicherlich verschiedene lineare Gleichungssysteme. Wie unterscheiden sie sich? Wenn man sich den Prozess des Koordinatisierens anschaut, hat man das Gefühl, das es nur einen n-dimensionalen Vektorraum über K gibt, nämlich den Vektorraum K n der n-tupel. Kann man das präzisieren? Diese beiden Fragen werden durch die Ergebnisse in den nächsten beiden Kapiteln beantwortet. 64