TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen mit Matrizen Matrixmultiplikation Matrix transponieren Matrix invertieren x2 Matrix invertieren x3 Matrix invertieren mit Simultanverfahren Grundlagen Linearkombination und aufgespannter Raum Basis und Dimension Affine Teilräume

3 1 Rechnen mit Matrizen 1 Rechnen mit Matrizen 1.1 Matrixmultiplikation A und B sind zwei wohldefinierte 2x2 Matrizen mit den Elementen a i j und b i j i,j 1,2,3. Die Multiplikation von Matrizen folgt dem Prinzip Zeile mal Spalte. a11 a A B 12 b11 b 12 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b Matrix transponieren (1) Man transponiert eine Matrix in dem man sie an der Hauptdiagonalen spiegelt. T A T a11 a 12 a11 a 21 a 21 a 22 a 12 a 22 (2) 1.3 Matrix invertieren Eine Matrix A ist nur invertierbar, wenn det(a) 0. Mit der Einheitsmatrix E gilt für die invertierte Matrix von A : A A 1 E (3) x2 Matrix invertieren Eine sehr schnelle Methode für das invertieren einer 2x2 Matrix ist möglich in 3 Schritten: Spiegeln an der Nebendiagonale Vertauschen der Vorzeichen der Nebendiagonale Division mit der Determinante 1 A 1 1 a11 a 12 a22 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 (4) 2

4 x3 Matrix invertieren mit Simultanverfahren Mit dem Gaußverfahren wird die Matrix A zur Einheitsmatrix diagonalisiert, während simultan die Einheitsmatrix 1 die Rechenschritte übernimmt und sich so zur invertieren Matrix A 1 wandelt. (A 1) (1 A 1 ) (5) Beispiel Invertieren einer 3x3 Matrix I I I, I I I I I + I I I İ 2 I I, 5 I I 2 I I I I + 2 I I I/5, I I/( 5), I I I/ Es folgt also, dass: A (6) Grundlagen Definition Es sei K ein Körper und V eine Menge mit einer inneren Verknüpfung + : V V V und einer äußeren Verknüpfung : K V V. V heißt ein K-Vektorraum, wenn gilt: 1. (V,+) ist eine abelsche Gruppe 2. Die Multiplikation mit Skalaren ist auf folgende Weise mit (V,+) verträglich (a) (α + β) v α v + β v α, β K, v V. (b) (αβ) v α (β v) α, β K, v V. (c) α (v + w) α v + α w α K, v, w V. (d) 1 v v v V. Satz (Rechenregeln): Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gilt: 1. 0 v 0 v V. 2. α 0 0 α K. 3. α v 0 α 0 v 0 α K, v V. 4. ( α) v α v α ( v) α K, v V. Definition (Untervektorraum): Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U V. Die Menge U heißt Untervektorraum, falls gilt: 3

5 1. U 2. u 1, u 2 U u 1 + u 2 U 3. u U, α K αu U Damit ist U (mit den gleichen Verknüpfungen wie in V) ebenfalls ein Vektorraum. Ebenso liefert der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume eines Vektorraumes einen Unterraum. Graphik 1 hingegen zeigt, dass die Vereinigung von Vektorräumen im Allgemeinen kein Vektorraum ist: Abbildung 1: Vereinigung von Vektorräumen 2.2 Linearkombination und aufgespannter Raum Definition Es seien K ein Körper und v 1,..., v n V endlich viele Vektoren eines K-Vektorraumes V und W V eine nichtleere Teilmenge von V. Jeder Vektor v n i1 c i v i mit c i K heißt Linearkombination von v 1,..., v n. Ein Vektor v heißt Linearkombination der Menge M, wenn er Linearkombination von endlich vielen Vektoren v 1,..., v n M ist. Satz Es sei M V eine nichtleere Teilmenge von V und M* die Menge aller Linearkombinationen von M. Dann gilt span(m) M. M ist also Erzeugendensystem und gleichzeitig der kleinste M umfassende Teilraum von M*. 2.3 Basis und Dimension Definition Es seien K ein Körper und V ein beliebiger K-Vektorraum. Vektoren v 1,..., v n V heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur die sogenannte triviale Linearkombination 0 0 v v n zulässt, d.h. wenn aus 0 n i1 c i v i mit c i K zwingend c 1 c 2 c n 0 folgt. Gibt es dagegen auch nichttriviale Linearkombinationen der 0, so heißen v 1,, v n linear abhängig. Eine Teilmenge M V heißt linear unabhängig, wenn je endlich viele verschiedene Vektoren aus M linear unabhängig sind, sonst linear abhängig. Definition (Basis): Es seien K ein Körper und V ein beliebiger K-Vektorraum. Eine Teilmenge B eines K-Vektorraums V heißt Basis von V, wenn gilt (1) span(b) V, 4

6 (2) B ist linear unabhängig. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. ist ein minimales Erzeugendensystem. ist eine maximale linear unabhängige Menge. ist ein Erzeugendensystem, das eine eindeutige Darstellung erlaubt (gilt nur für VR ungleich dem Nullraum). Satz (Basissatz): Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Definition (Dimension): Es seien K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit einer Basis B {b 1,..., b n }. Dann heißt dim(v ) : B n die Dimension von V. Ist insbesondere V endlichdimensional und B {b 1,..., b n } eine Basis von V, so kann man jedes v V darstellen in der Form n v v i b i mit v 1,..., v n K. Insofern ist i1 die Koordinatendarstellung von v bezüglich B. v 1 v /B :. K v n Mit dem Dimensionsbegriff kann man nun den bisher schwammig eingeführten Rang einer Matrix besser verstehen: das Gauß-Verfahren kann man als Übergang von dem ursprünglich gegebenen Erzeugendensystem des Zeilenraumes Z(A) zu einer Basis des Zeilenraumes interpretieren, denn die Zeilenstufenform am Ende des Umformungsprozesses ist ein minimales Erzeugendensystem und somit eine Basis. Daher gilt: Definition Es seien K ein Körper und A K m n. Der Rang der Matrix A, i.z. Rang(A), ist Rang(A) : dim(z(a)). Gleichzeitig entspricht die Dimension des Zeilenraumes der Dimension des Spaltenraumes, dim(z(a)) dim(s(a)). 2.4 Affine Teilräume Definition Eine Teilmenge X eines K-Vektorraumes V heißt affiner Unterraum oder Teilraum, falls es ein v V und einen Untervektorraum W V gibt, so dass X v + W : {u V w W : u v + w} Definition Es sei K ein Körper. Ein affiner Teilraum X der Dimension 1 (2; n 1; 0) eines K-Vektorraumes V heißt Gerade (Ebene; Hyperebene; Punkt). 5