Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung)

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1 Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung) 0. Definition, Einschränkung Definition: Sei die Funktion mit Gleichung = f() n-mal differenzierbar. Gilt F(,,,,, (n) ) = 0 (für alle ), so erfüllt =f() die Differentialgleichung (DGL) F = 0 n-ter Ordnung. Beispiele: ) + 3 sin() ( ) = 0 DGL. Ordnung a) = b) = k DGL. Ordnung 3) = g = konstant DGL. Ordnung 4) N(t) = - k N(t) DGL. Ordnung Wir betrachten zuerst Differentialgleichungen. Ordnung und gehen davon aus, dass die Gleichung F(,, ) = 0 nach aufgelöst werden kann, d.h. es gilt = g(,).. Trennung (Separation) der Variablen Gegeben sei eine DGL der Form = g(,) = z() n() Dann gilt: = d = z(), also n() d = z() d d n() Die Variablen und wurden also getrennt (separiert). Integriert man beide Seiten, so erhält man die Lösung der DGL (Beweis später mit dem Integral einer Verketteten Funktion). Beispiel : = g(,) = - (also z() = -, n() = ) d d d = - d d = - d = - + C Allgemeine Lösung der DGL lautet also : + = C (= C ) für C>0 : Schar der Kreise mit Mittelpunkt M(0/0) Richtungsfeld und Isoklinenschar Geometrische Deutung der DGL = g(,) an Hand von Beispiel : Bei = g(,) lässt sich jedem Punkt ( ) ein Winkel zuordnen, so dass gilt: = g(,) = tan ( gibt ja Tangentensteigung in ( ) an) Eine Lösung der DGL = g(,) ist also eine Kurve, die in jedem ihrer Punkte die vorgeschriebene Tangentensteigung hat. (B.Berchtold)

2 Beispiel : = g(,) = -, Definitionsbereich = -Ebene ohne -Achse Man betrachtet := k = konstant (zur Bestimmung der sog. Isoklinen) k=-: - = -, für Punkte auf g -: = ist also =- k=: - =, für Punkte auf g : = - ist also = k=0: - = 0, für Punkte auf g 0: = 0 (-Achse) ist also =0 k 0: - = k, für Punkte auf g k: = - k ist also =k Die DGL = - wird also rch ein Richtungsfeld veranschaulicht. Gleichung der Isoklinenschar lautet = - k für k 0, bzw. =0 für k=0. Die Isoklinenschar ist also hier eine Geradenschar. Gibt man eine bestimmte Anfangsbedingung P( 0 0 ) vor, so ergibt sich eine Lösungskurve der DGL, z.b. für 0 =0, 0 =: Man bestimmt nun die Konstante C in der allgemeinen Lösung: 0 + = C, also C=. Diejenige Lösungskurve der DGL, die rch den Punkt P(0 ) geht, hat also die Gleichung + = (Einheitskreis mit M(0 0)). (B.Berchtold)

3 Lösung einer DGL mit TI 89 bzw TI Voage Beispiel : = g(,) = - k Befehl zur allgemeinen Lösung: desolve( =-/,,) Nach Drücken der Eingabetaste wird die Lösungsgleichung = angezeigt. Dabei steht (oder, 3 usw.) für die Konstante C. Befehl zur speziellen Lösung mit Anfangsbedingung: desolve( =-/ and (0)=,,) Drücken der Eingabetaste erzeugt die Lösungsgleichung = Darstellung des Richtungsfeldes mit TI 89 bzw. TI Voage (für Beispiel ) Mode: DIFF EQUATIONS Y=Editor: (t) = -t/ GraphFormats (in Graph-Menu mit F erreichbar) : Aes=on, Labels=Off, SolutMethod = RK (für RungeKutta), Fields=SLPFLD Gibt man zusätzlich i= (t0=0 vordefiniert) ein, so wird auch die dazugehörige Kurve gezeichnet. Will man z.b. zwei Lösungskurven plotten lassen, so gibt man i={.5} ein. Für unser Beispiel empfiehlt sich i={ -}, denn so wird der Vollkreis und nicht nur der obere Halbkreis gezeichnet. (B.Berchtold) 3

4 Beispiel : = k (k \ {0} ) a) Lösungsgesamtheit dieser DGL? b) Gleichung derjenigen Kurve, die rch den Punkt P(0 a) geht? a) Bereits früher wurde bewiesen, dass die Lösungsgesamtheit dieser DGL die Funktionen mit Gleichung = f() = C e k (mit C ) ist. Die Lösung erfolgt nun rch Separation der Variablen: d d = k, also d d = k d = k d k + C ln = k + C, also = e k C = C e (mit C = e + ) k k Für >0 gilt daher = C e, für >0 gilt = - C e Für die Funktion = 0 ist die DGL auch erfüllt. Zusammengefasst: Die Lösungsgesamtheit der DGL = k ist = f() = C e k (C ) b) P(0 a) Graph G f Einsetzung der Koordinaten von P in Gleichung der Lösungsgesamtheit bestimmt die Konstante C: a = C e 0 = C Die Gleichung der gesuchten Kurve heisst also = f() = a k e Beispiel 3: Bestimme die Lösungsgesamtheit der DGL d + = - + d d = - d + + d = - d = C + + ' + = 0 (Separation der Variablen geglückt) = C (Verzicht der Auflösung der Gleichung nach ) Bestätigung des Resultates rch Ableiten: ( ) ( ) 0 (B.Berchtold) 4

5 Beispiel 4: Bestimme die Lösungsgesamtheit der DGL = + Diese DGL ist nicht mehr separierbar. Es muss eine neue Methode verwendet werden: Substitution u:= + (u ist also eine Funktion von ) Dann ist u = + Also gilt u = + u Dies ist eine separierbare DGL für u d = + u + u = d d u ln + u = + C C + u = e C = C e (C = e + ) u = C e - (C ) Resubstitution: + = C e - Also lautet die Lösungsgesamtheit der ursprünglichen DGL = C e Beispiel 5: Bestimme die Lösungsgesamtheit der DGL = (3 + + ) Substitution u:= u = 3 + = 3 + u = 3 + 4u d = 3 + 4u 3 + 4u = d d 3 4u 4 ln 3 + 4u = + C 4 4C 4C 3 + 4u = e 4 = C e (C = e + ) u = C 3 e (C 3 ) 4 Resubstitution: 3 + 4(3 + + ) = C 3 e = C 3 e - 7 Also lautet die Lösungsgesamtheit der ursprünglichen DGL = C e (C ) 8 Kontrolle rch Einsetzen in gegebener DGL: Linke Seite: = 4C e 4-3 Rechte Seite: 6 + 4(C e ) + = 4C e (B.Berchtold) 5

6 Verallgemeinerung: Jede DGL der Form = g(a + b + c) kann mit Hilfe der Substitution u := a + b + c auf eine separierbare DGL in u und geführt werden: = a + b = a + b g(u) d = d a bg(u) d a bg(u) Daraus entsteht eine Funktion u in Abhängigkeit von und mit der Resubstitution dann die Lösungsgesamtheit = f() der ursprünglichen DGL. Aufgabe: Bestimme die Differentialgleichung aller Kurven, die jede Hperbel der Schar = a (a ) rechtwinklig schneiden. Von welcher Art ist die zweite Kurvenschar? Lösung: Für die gegebene Schar gilt: f() = a, also f () = - a. Sei = g() die Gleichung der gesuchten Schar. Im Schnittpunkt S( ) gilt: a Steigung m der gegeben Schar ist -, Steigung m der gesuchten Schar a ist g ()=. Da m m = -, so gilt: - = - und a =. Also lautet die Differentialgleichung für die gesuchten Kurven: = = (Sie muss unabhängig von a sein, denn die gesuchte Kurve muss jede Hperbel der gegebenen Schar schneiden!) Die Gleichung ihre Lösungsgesamtheit lautet = C (selber!) Dies sind Hperbeln für C 0 und zwei Geraden für C = 0. [Lösung der DGL = : d d =, also d = d, daher = + C, also = C = C ] (B.Berchtold) 6

7 . Lineare Differentialgleichungen Definition: Eine DGL. Ordnung heisst linear, wenn sie folgende Form hat: = f () + f () (*) = f () heisst die zu (*) gehörende homogene DGL. Ist f () 0, so ist (*) eine inhomogene DGL. Beispiele: Beispiel : = k f ()=k, f ()=0 Homogene: = k Beispiel 4: = + f ()=, f ()= Homogene: = Beispiel 5: = f ()=4, f ()=6 + Homogene: = 4 Beispiel 6: = + f ()=, f ()= Homogene: = Beispiel 7: = + sin f ()=, f ()=sin Homogene: = Beispiel 8: = - + e f ()=-, f ()= e Homogene: = - a) Lösung der homogenen linearen DGL = d d = f () d = f () d, also ln + lnc = ln C = f () d (C + ) f () d Lösungsgesamtheit der homogenen DGL: = Ce := C g() (C ) Beispiel 4: = hat Lösung = C e d = C e Beispiel 5: = 4 hat Lösung = C e 4d = C e 4 Beispiel 6: = hat Lösung = C e d = C e d Beispiel 7: = hat Lösung = C e = C e d Beispiel 8: = - hat Lösung = C e = C e b) Lösung der inhomogenen linearen DGL Erläuterung an Hand des Beispiels 4 : = + (*) Diese lineare DGL wurde (s. Seite 5) mit der Substitution u := + gelöst. Die Lösungsgesamtheit ist = C e Der Vergleich mit der Lösungsgesamtheit = C e der dazugehörigen homogenen DGL = zeigt: = C e + 0, wobei 0 = - (B.Berchtold) 7

8 Da 0 = -, so ist 0 = + (- ) = + 0, d.h. 0 ist selber eine Lösung der inhomogenen DGL (*). Tatsächlich gilt die Verallgemeinerung: Satz: Die Lösungsgesamtheit der inhomogenen DGL = f () + f () (*) erhält man, indem man zur Lösungsgesamtheit der dazugehörigen homogenen DGL = f () eine beliebige Lösung (partikuläre Lösung) 0 von (*) addiert. Beweis: = f () + f () (*), = f () (**) Sei 0 eine partikuläre Lösung von (*) a) Zu zeigen: Jede beliebige Lösung von (*) kann in der Form = + 0 mit Lösung von (**) geschrieben werden. In der Tat: = 0, also = 0 = f () + f () - (f () 0 + f ()) = f () ( 0 ), d.h. ist Lösung von (**). b) Zu zeigen: Ist eine beliebige Lösung von (**), so ist = + 0 eine Lösung von (*). In der Tat: = + 0 = f () + f () 0 + f () = f () ( + 0 ) + f () Beispiel 5: = (*) Die homogene DGL = 4 hat Lösungsgesamtheit = Ce 4 Partikuläre Lösung 0 =? Damit 4 und f () = 6 + verrechenbar sind, machen wir für 0 einen linearen Ansatz: 0 = m + q, m=?, q =? Einsetzen von 0 und 0 = m in (*): m = 4m + 4q + 6 +, also (4m + 6) + 4q m + 0 (für alle ) Daher muss 4m + 6 = 0, folglich m = -.5 und damit 4q = 0, folglich q = sein. Es ist 0 = Die Lösungsgesamtheit der DGL (*) ist also = C e Dies entspricht auch der früher (s. Seite 5) hergeleiteten Lösung. Beispiel 6: = + (*) Die homogene DGL = 4 hat Lösungsgesamtheit = C e Partikuläre Lösung 0 =? Damit und f () = verrechenbar sind, machen wir für 0 den Ansatz: 0 = k, k =? Einsetzen von 0 und 0 = 0 in (*): 0 = k + = (k + ) (für alle ), also muss k = - ein. Es ist 0 = -. Die Lösungsgesamtheit der DGL (*) ist also = C e - Beispiel 7: = + sin (*) Die homogene DGL = (B.Berchtold) 8 hat Lösung = C e Partikuläre Lösung 0 =? Schwierig! Allgemeines Verfahren?

9 Beispiel 8: = - + e (*) Die homogene DGL = - hat Lösungsgesamtheit = C e Partikuläre Lösung 0 =? Damit und e verrechenbar sind, machen wir den Ansatz 0 = k e 0 = k e = - k e + e, also k e = e (für alle ) Also ist k=, daher k = 0.5. Es ist 0 = 0.5 e Die Lösungsgesamtheit der DGL (*) ist also = C e e Beispiel 9: = + = + mit 0 (*) Homogen: d d = d also = d ln = ln + ln C = ln C Lösungsgesamtheit der homogenen DGL: = C Partikuläre Lösung 0 von (*): 0 =, denn 0 = = + Die Lösungsgesamtheit der DGL (*) ist also = C + = ( + C) Allgemeines Verfahren zum Finden der partikulären Lösung 0 (Variation der Konstanten) Manchmal ist es nicht einfach, eine partikuläre Lösung zu finden. Man versucht dann, die Konstante C in der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung zu variieren: Erläuterung an Hand des Beispiels 4 : = + (*), f () =, f () = Die dazugehörige homogene DGL = hat Lösungsgesamtheit = C g() = C e Ansatz für 0 : 0 = C() e Einsetzen von 0 und 0 in (*): 0 = C () e + C() e = C() e + Also ist = C () e und damit C () = = f () e g() Partielle Integration oder TI liefert C() = (- ) e 0 = C() e = - Die Lösungsgesamtheit von (*) ist also = C e - Tatsächlich gilt der Satz: = f () + f () (*), = f () (**) f () d Sei = C e = C g() die Lösungsgesamtheit der homogenen DGL (**) Eine Lösung 0 von (*) hat die Form 0 = C() g() (Variation der Konstanten) mit C() = f () d. g() (B.Berchtold) 9

10 Beweis: g() erfüllt die homogene DGL, also g () = g() f () 0 = C () g() + C() g () = f () g() g() + C() g() f () = f () 0 + f () Also erfüllt 0 die DGL (*) Natürlich wird das Verfahren der Variation der Konstanten zum Finden von 0 im Prinzip nur dann benützt, wenn es keinen einfacheren Ansatz gibt. Als Übung sollen nun aber doch unsere Beispiele mit diesem Verfahren betrachtet werden. Beispiel 6: = + (*) Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten (selber!) Zur Kontrolle: C() = - e Beispiel 7: = + sin (*) Der Ansatz 0 = C() e sind e führt auf das zu (!) schwierige Integral Beispiel 8: = - + e (*) Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten (selber!) Zur Kontrolle: C() = e d e d 0.5e Beispiel 9: = + Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten (selber!) Zur Kontrolle: C() = 3. Homogene Differentialgleichungen Definition: Eine DGL der Form = g( ) heisst homogene DGL Bemerkung: Der Begriff homogen hat mit dem früheren Begriff dazugehörige homogene DGL nichts zu tun! Lösung: Die Substitution u:= (Ohne Beweis) führt immer auf eine separierbare DGL in u und. Beispiel : = + Diese DGL ist auch linear mit f () = und f () =. Es könnte also das Lösungsverfahren von Kapitel angewendet werden (selber!) (B.Berchtold) 0

11 Substitution: u:= Also gilt = u und damit = u + u = u + = u + u und damit u = u + d u Integration liefert ln u + = ln + ln C =ln C u + = C mit C Resubstitution: = C -, also lautet die Lösungsgesamtheit der ursprünglichen DGL = C = (C ) Beispiel : = (für 0) Substitution: u:= Also gilt = u und damit = u + u = u u = u + u u Nach einigem Umformen ergibt sich d u u (u ) d u u ln u u = ln + ln C =ln C u u C u u C u u mit C C Resubstitution liefert C Die Lösungsgesamtheit der ursprünglichen DGL lautet also = C (B.Berchtold)

12 Beispiel 3: Gesucht sind alle Kurven, die sämtliche dazugehörigen Ortsvektoren unter dem gleichen Winkel 45 schneiden. (vergleiche dazu auch die Lösung des Käferproblems Die Aufgabe führt also auf eine homogene DGL. t: Tangente im Punkt P( ) der gesuchten Kurve. Neigungswinkel der Tangente t Es ist = tan = Steigung der Tangente t = + 45 tan tan45 ' tan( 45 ) tan tan45 Substitution: u:= Also gilt = u und damit = u + u = u u = u + u u Nach einigem Umformen erhält man d u u ln ln k ln k u u arctan u 0.5ln(u + ) = ln arctan u = ln ( k (u + ) 0.5 ) Resubstitution: arctan = ln ( k ( Verwendet man Polarkoordinaten (r = + ) 0.5 ) = ln ( k ( + ) 0.5 ) = ln ( k r) bzw. r = Ce Dies ist die Gleichung der logarithmischen Spirale., = arctan ), so gilt: 4. Eine spezielle Differentialgleichung. Ordnung Beispiel: g k (k +, g: Erdbeschleunigung = konstant) (t): Weg, (t);: Geschwindigkeit v(t), (t): Beschleunigung a(t) Anfangsbedingungen: (0) = 0, v(0) = 0, Die DGL kann mit Hilfe v auf eine lineare DGL in v zurückgeführt werden: v = -kv + g Separation der Variablen ist möglich: dv dt = -kv + g (B.Berchtold)

13 dv g v k = -k dt ln v - g k = -kt + C v - g k = C e -kt v(t) = g k + C e -kt Aus der Anfangsbedingung v(0) = 0 bestimmt man die Konstante C : v(0) = 0: g k + C e -k0 = g k + C = 0, also C = - g k v(t) = g k ( e-kt ) = d dt Also ist (t) = g -kt ( - e ) dt k = g k (t + kt k e ) + C Aus der Anfangsbedingung (0) = 0 bestimmt man die Konstante C : g g (0) = 0: + C = 0, also C = - k k Die Lösung der DGL mit den gegebenen Anfangsbedingungen lautet also: (t) = g k (t + -kt k e k ) Bemerkung: Die DGL v = -kv + g kann natürlich auch mit dem Ansatz für lineare DGL gelöst werden. Die Lösungsgesamtheit der dazugehörigen homogenen DGL v = -kv lautet v = C e -kt. Eine partikuläre Lösung v 0 erhält man rch den Ansatz v 0 (= v ) = konstant. Es gilt dann v 0 = 0 = -k v 0 + g, also v 0 = g k Die Lösungsgesamtheit der DGL v = -kv + g ist dann wie oben v(t) = g k + C e -kt (B.Berchtold) 3