2.8 Kurvenscharen, Orthogonaltrajektorien und Einhüllende. Bei den trennbaren Dgln fanden wir die Lösung in impliziter Gestalt:

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1 2.8 Kurvenscharen, Orthogonaltrajektorien und Einhüllende Erinnerung: Bei den trennbaren Dgln fanden wir die Lösung in impliziter Gestalt: h(x, y, c) = 0. Für jedes feste c R war das die Gleichung einer Lösungskurve der Dgl. In Beispielen für Dgln 1. O. enthielt die Lösung oft eine Integrationskonstante c (auch in anderer Bezeichnung). Umkehrung? Differentialgleichung einer Kurvenschar Geg.: Kurvenschar F (x, y, c) = 0. (Für jedes feste c R, eventuell auch nur für jedes feste c aus einem bestimmten Intervall, sei das die Gleichung einer Kurve.) Ges.: Dgl, die die geg. Kurvenschar als Schar von Lösungskurven hat. Ein erstes Beispiel: F (x, y, c) := x 2 + y 2 c 2 = 0 mit c > 0. 1

2 Welche Kurvenschar? Kreise um O(0, 0) mit Radius c Dgl dieser Kurvenschar? Versuch: Ableiten der Gleichung F (x, y, c) = 0 nach x: 2x + 2yy = 0 (Nachdifferenzieren nach der Kettenregel!) Fertig. Das ist die Dgl dieser Kurvenschar. Wir haben für diese Aussage nicht überprüft, ob wirklich genau die Scharkurven Lösungen der Dgl sind, oder ob es weitere Lösungen der Dgl gibt! Aber sicher ist: Jede Kurve der Schar genügt der Differentialgleichung. Ein weiteres Beispiel: F (x, y, c) = y(x 1) + cx = 0 (1). Ableiten nach x liefert: (2) c = y (1 x) y; y (x 1) + y + c = 0 (2). 2

3 einsetzen in (1) liefert 0 = y(x 1) + y (1 x)x yx = y + y (1 x)x oder y (x 2 x) + y = 0. Fertig. Ein allgemeines Verfahren? Dazu brauchen wir die folgende Ergänzung: Die Kettenregel für eine Funktion von mehreren Veränderlichen, die alle von derselben Veränderlichen abhängen: Sei F eine Funktion der n Veränderlichen x 1, x 2,..., x n, und seien x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t),..., x n = x n (t) Funktionen einund derselben Variablen t. Mit F xi (i = 1, 2,..., n) bezeichnen wir die i-te partielle Ableitung von F. Sie entsteht aus F, indem man so ableitet als wären alle x k mit k {1, 2,..., n}, k i konstant und x i die einzige unabhängige Variable. Dann ist d dt F (x 1(t), x 2 (t),..., x n (t)) = F x1 (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 1 (t)+ F x2 (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 2 (t)+ 3

4 Speziell:... + F xn (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x n (t) = n F xi (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x i (t). i=1 d dx F (u(x), v(x)) = F u(u(x), v(x)) u(x) + F v (u(x), v(x)) v(x). Ein allgemeines Verfahren zur Ermittlung der Differentialgleichung einer Kurvenschar: Geg.: Kurvenschar F (x, y, c) = 0 (1) Ges.: Dgl der Kurvenschar (1) Vorgehen: Ableiten von (1) nach x liefert mit Kettenregel (für Funktionen mit mehreren Veränderlichen): F x (x, y, c) + F y (x, y, c) y = 0 (2) Aus dem Gleichungssystem (1), (2) eliminieren wir c. Das liefert die Dgl der Kurvenschar (1). (Wenn das überhaupt geht.) (In einem einfachen Fall: c aus einer Gleichung ausrechnen und in die andere Gleichung einsetzen.) 4

5 2.8.2 Orthogonaltrajektorien einer Kurvenschar Wozu ist die Dgl einer Kurvenschar gut? Man sieht an Ihr vielleicht, dass die Kurvenschar sich nicht ändert bei Verschiebung in x-richtung oder bei Verschiebung in y-richtung. Manchmal sucht man zu einer Kurvenschar die Orthogonaltrajektorien. Das sind die Kurven, die alle Kurven der gegebenen Schar orthogonal schneiden. Skizzen! Aus der Dgl der Kurvenschar bekommt man die Dgl der Schar der Orthogonaltrajektorien sehr einfach. Mitteilung: Zu einer Geraden mit der Steigung m orthogonal ist jede Gerade mit der Steigung 1 m. Daraus folgt: Zu einer Kurve mit der Steigung y orthogonal ist (in einem Punkt (x, y) der Kurve) jede Kurve mit der Steigung 1 y 5

6 (durch denselben Punkt (x, y) der Kurve!). Daraus folgt: Zu allen Kurven der Schar mit der Differentialgleichung F (x, y, y ) = 0 orthogonal sind die Kurven der Schar mit der Differentialgleichung Wieder unser F (x, y, 1 y ) = 0. Beispiel: F (x, y, c) = y(x 1) + cx = 0. Dgl der Kurvenschar (vorhin ermittelt): y (x 2 x) + y = 0. Dgl der Schar der Orthogonaltrajektorien: Das ist eine trennbare Dgl. 1 y (x2 x) + y = 0. yy = x 2 x 2yy = 2x 2 2x 6

7 y 2 = 2 3 x3 x 2 + d. Das ist die Gleichung der Schar der Orthogonaltrajektorien. Fertig Einhüllende einer Kurvenschar Geg.: Kurvenschar k c : F (x, y, c) = 0 (1) Ges.: Einhüllende e der Kurvenschar (1), d.h. Kurve, die jede Scharkurven von (1) in einem Punkt berührt, so das sie auch in jedem Punkt von einer der Scharkurven berührt wird. (Falls es überhaupt so eine Kurve gibt.) Heuristisches Vorgehen: Wir bezeichnen den (darf man das sagen?) Berührpunkt von e mit der Scharkurve k c mit (x(c), y(c)). Wir tun so, als hingen x und y stetig differenzierbar von c ab. Dann gilt für alle c: Ableitung nach c liefert: F (x(c), y(c), c) = 0. 7

8 F x (x(c), y(c), c)ẋ(c) + F y (x(c), y(c), c)ẏ(c)+ F c (x(c), y(c), c) = 0. (2) Dabei hat die Tangente t e von e in (x(c), y(c)) die Richtung (ẋ(c), ẏ(c)) und die Steigung ẏ(c) ẋ(c). (Zumindest im allgemeinen.) (Außer für ẋ(c) = 0.) Skizze! Weitere Überlegung für die Tangente von k c (festes c): Ableitung von (1) nach x liefert: F x (x, y, c) + F y (x, y, c)y = 0. Da t e Tangente von k c im Punkt (x(c), y(c)) ist, ist also y = ẏ(c) ẋ(c), F x (x(c), y(c), c)ẋ(c) + F y (x(c), y(c), c)ẏ(c) = 0. (3) 8

9 Aus (2) und (3) folgt für die Berührpunkte von k c mit t e : F c (x, y, c) = 0. (4) Zusammenfassung: Ermittlung der Einhüllenden e der Kurvenschar (1): Geg.: Kurvenschar k c : F (x, y, c) = 0 (1) Ges.: Einhüllende e der Kurvenschar (1) Vorgehen: Leite die Gleichung der Kurvenschar nach c ab und eliminiere den Scharparameter c aus (1) und F c (x, y, c) = 0 (4). Das liefert eine Gleichung der Einhüllenden, im allgemeinen in impliziter Form: Alternatives Vorgehen: G(x, y) = 0. Löse das Gleichungssystem (1), (4) auf in der Gestalt: x = x(c), y = y(c). Das liefert eine Parameterdarstellung der Einhüllenden. 9