Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

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1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E

2 -E

3 Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g (x) im Intervall I stetig. Die Anfangswertaufgabe f ( y ) dy = g (x ) dx, y ( x 0) = y 0, x0 I x, y0 I y ist in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0 eindeutig lösbar f ( y) dy = g ( x) dx + C Die Integrationskonstante C soll soll so gewählt werden, dass die Anfangsbedingung erfüllt wird. -

4 Trennung der Variablen Eine Differenzialgleichung. Ordnung vom Typ f ( y) dy = g (x) dx lässt sich schrittweise wie folgt lösen: Trennung der beiden Variablen. Integration auf beiden Seiten der Gleichung. Auflösung der in Form einer impliziten Gleichung vom Typ F ( y) = G (x) vorliegenden allgemeinen Lösung nach der Variablen y (falls überhaupt möglich). -

5 Trennung der Variablen: Beispiel xy' y =0 Schritt : Trennung der Variablen x y ' + y = 0, x dy + y = 0, dx dy dx = y x Schritt : Integration -3 dy dx =, y x ln y = ln x + ln C = ln ln y = ln Schritt 3: Die Gleichung nach y aufzulösen y = C x C x C x

6 Trennung der Variablen: Aufgaben Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen. Ordnung: Aufgabe : y ' = x +, Aufgabe : y ' = 0.5 (3 y ), Aufgabe 3: y ' = y 5, Aufgabe 4: y ' = y sin x y (0) =, Aufgabe 5: y ( ) = y (0) = ) y (0) =, y (0) = y ' = y cos x, y 3 (0) = ) y (π) = 4, ) y (π / ) = Aufgabe 6: ( x ) y ' = y, ) y (0) = 3, Aufgabe 7: ( x ) y ' = y, y () = 7 Aufgabe 8: ( x ) y ' = y, Aufgabe 9: ( x ) y ' = y, -A, ) y () = y (0) = ) y (3) = y (0) = 3

7 Trennung der Variablen: Aufgaben Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen. Ordnung: -A Aufgabe 0: ( x ) y ' = y, Aufgabe : x y + ( x + ) y ' = 0, Aufgabe : x y + ( x + ) y ' = 0, Aufgabe 3: x y + ( x + ) y ' = 0, Aufgabe 4: x y + (x + ) y ' = 0, Aufgabe 5: y '= x e y, Aufgabe 6: y ' = x e y, Aufgabe 7: y '= x e y y (0) = 5 ) y (0) =, ) y (0) =, ) y (0) =, ) y (0) =, ) y (0) =,, ) y ( ) = 3 ) y () = ) y () = ) y () = ) y (0) = y (0) = 3 ) y (0) =, ) y (0) =

8 Trennung der Variablen: Lösung y ' = x +, dy = x+ dx x y (x) = + x+c Spezielle Lösung: y ( ) =, -a C =, x y (x ) = + x

9 Trennung der Variablen: Lösung Abb. L-: Integralkurven der DGL y' = x +. Die blaue Kurve entspricht der speziellen Lösung der Gleichung mit C = -, die dunkelrote Kurve C = und die rote Kurve C = -b

10 Trennung der Variablen: Lösung Abb. L-: Richtungsfeld der DGL y' = x +. Die blaue Kurve entspricht f (x) = x²/ + x, der speziellen Lösung der Gleichung mit y ( ) = Spezielle Lösung: -c y ( ) =, C =, x f (x ) = + x

11 Trennung der Variablen: Lösung y C= C= C=3 C=0 C= 3 C= C= x Abb. L-: Integralkurven der DGL y' = (3 - y)/. Die blaue Kurve mit C = - entspricht der speziellen Lösung der Gleichung mit y (0) = y ' = y ln -a y 3 C x = dy = y 3 dx y 3 = C e x ln y 3 = x ln C y =3 C e x

12 Trennung der Variablen: Lösung Abb. L-: Richtungsfeld der DGL y' = (3 - y)/. Die blaue Kurve entspricht y = f (x), der speziellen Lösung der Gleichung mit y (0) = x f x = 3 e -b

13 Abb. L-3: Integralkurven der DGL y' = (3 - y)/ -c

14 Trennung der Variablen: Lösung 3 y ' = y 5, ) y (0) =, ) y () = y = Cex + 5 Spezielle Lösungen: ) y (0) =, ) y () =, -3 y ( x) = 5 3 e x y(x) = 5 7 e x

15 Trennung der Variablen: Lösung 4 cc dy = y sin x, dx y ' = y sin x, = cos x + C, y y= dy = sin x dx y cos x C y= cos x C Spezielle Lösungen: ) y (0) =, ) y (0) =, 3 ) y 3 (0) =, -4a = =, cos 0 C C = =, cos 0 C C = =, cos 0 C 3 C3 C = 0, y ( x) = C =, C3 = 3, cos x y ( x) = cos x + y3 ( x ) = cos x 3/

16 -4b Abb. L4-: Integralkurven der DGL y' = y² sin x. Die mit Farbe gezeichneten Kurven entsprechen folgenden Werten der Integrationskonstante C: -, 0,.5

17 -4c Abb. L4-: Integralkurven der DGL y' = y² sin x. Die mit Farbe gezeichneten Kurven entsprechen folgenden Werten der Integrationskonstante C: -3, -.5, -.3,.3,.5

18 Trennung der Variablen: Lösung 5 y ' = y cos x, ) y (π) = 4, ) y (π / ) = y = C e sin x Spezielle Lösungen: ) y (π) = 4, ) y (π / ) =, -5 y ( x) = 4 e sin x y ( x) = e sin x = sin x e e

19 Trennung der Variablen: Lösung 6 ( x ) y ' = y, ) y (0) = 3, ) y (3) = y = C ( x ) Spezielle Lösungen: ) y (0) = 3, ) y (3) =, -6 y ( x ) = 3 ( x ) y (x ) = (x )

20 Trennung der Variablen: Lösung 7 ( x ) y ' = y, y () = 7 y ( x) = C x Spezielle Lösung: y () = 7, -7 y ( x) = 7 x

21 Trennung der Variablen: Lösungen 8, 9-8 Aufgabe 8: ( x ) y ' = y, y ( x ) = C ( x ) Spezielle Lösung: y (0) =, y (0) = y (x) = Aufgabe 9: ( x ) y ' = y, y ( x ) = C ( x ) Spezielle Lösung: y (0) = 3, x 4 y (0) = 3 y (x ) = 3 6 x

22 Trennung der Variablen: Lösung 0 ( x ) y ' = y, y (0) = 5 ( x ) y ' = y, x = x x ln y = ln -9a dy dx = y x x x + + ln C, y=c x x+ y=5 x x+ x x+ y=c Spezielle Lösung: y (0) = 5,

23 Trennung der Variablen: Lösung 0 Abb. L0: Integralkurven der DGL (x² - ) y' = y -9b

24 Trennung der Variablen: Lösung x y + ( x + ) y ' = 0, dy x dx =, y x+ ) y (0) =, ln y = x + ln x + + ln C ln y = x + ln C (x + ), ln y = x C (x + ) y = e x, C ( x + ) y = C (x + ) e x y ( x ) = C ( x + ) e x Spezielle Lösung: ) y (0) =, ) y ( ) = 3, -0 ) y ( ) = 3 y ( x) = ( x + ) e x y (x ) = 3 ( x + ) e x

25 Trennung der Variablen: Lösung x y + ( x + ) y ' = 0, - ) y (0) =, ) y () = y ( x ) = C ( x + ) e x Spezielle Lösung: ) y (0) =, y ( x ) = ( x + ) e x ) y () =, y(x) = ( x + ) e x 4

26 Trennung der Variablen: Lösung 3 x y + ( x + ) y ' = 0, ) y (0) =, y ( x ) = C ( x + ) e x Spezielle Lösung: ) y (0) =, ) y () =, - ) y () = ( x + ) e x 4 y ( x) = ( x + ) e x 9 y ( x ) =

27 Trennung der Variablen: Lösung 4 x y + (x + ) y ' = 0, -3 ) y (0) =, ) y () = C + x ln x + y= Spezielle Lösung: ) y (0) =, y= + x ln x + ) y () =, y= ln + x ln x +

28 Trennung der Variablen: Lösung 5 y '= x e y, e y ) y (0) =, dy = x dx, ( x y = ln +C e y ) y (0) = x = +C, ln (e ( x ) = ln +C ) Spezielle Lösung: ( x y ( x) = ln +C ) y (0) =, ) y (0) =, -4 y ) ) ( x y (x ) = ln + e ) y ( x) = ln ( e x + ) + + ln

29 Trennung der Variablen: Lösungen 6, 7 Aufgabe 6: y ' = x e y, x3 y ( x) = ln +C 3 y (0) = 3, Aufgabe 7: y '= x e Spezielle Lösung: -5 ( Spezielle Lösung: y (0) = 3 ) ( x3 y ( x) = ln + e3 3 y ) y (0) =,, ( y ( x) = ln C x e ) ) ) y (0) = ( ( ) ) y (0) =, x y (x ) = ln e ) y (0) =, x y ( x) = ln e 3 )

30 -6

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