Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07

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1 Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 2. Vorlesung Themen heute: Michael Karow 1. Explizite Differentialgleichungen 1.Ordnung 2. Geometrische Deutung: Richtungsfelder und Integralkurven 3. Anfangswertprobleme 4. Autonome und separable DGL 5. Existenz- und Eindeutigkeitsatz 6. Literaturhinweise

2 In der ersten Vorlesung wurden u.a. folgende DGL vorgestellt: DGL Lösungen y = 1 + y 2 y(x) = tan(x + c) y = p y/x y(x) = c x p y = a(x) y y(x) = c e A(x), A (x) = a(x) Alle diese DGL sind von der Gestalt: Ausführlicher geschrieben: y = f(x, y). y (x) = f(x, y(x)). Solche DGL heissen Explizite Differentialgleichungen 1. Ordnung

3 Geometrische Interpretation expliziter DGL 1. Ordnung y (x) = f(x, y(x)) Steigung der Kurve y( ) vorgegebene Steigung f am Punkt (x, y(x)) am Punkt (x, y(x)) y(x) Kurve y( ) mit Tangenten: y( ) x

4 Richtungsfelder (Steigungsfelder) Die Lösungen der DGL y = f(x, y) haben am Punkt (x, y) die Steigung f(x, y). Man kann sich daher eine DGL veranschaulichen, indem man die Steigungen an einigen Punkten (x, y) durch kleine Strecken markiert. Man erhält so ein Richtungsfeld. Beispiele: Richtungsfelder (blau) und DGL-Lösungen (rot) Richtungsfeld zu y =1+y 2 mit einigen Integralkurven y(x)=tan(x+c) 2 2 Richtungsfeld zu y =x(y+y 3 ) mit einigen Integralkurven y(x)=± (1+c e x2 ) 1/ y = 1 + y 2 y = x(y + y 3 )

5 Terminologie: Integrieren = Lösen einer Differentialgleichung Integralkurve= Graph einer Lösung einer DGL. Bemerkung: integrare (lat.)= zu einem Ganzen zusammenfügen. Dahinter steckt folgende Vorstellung: DGL in anderer Schreibweise dy = f(x, y), dy = f(x, y) dx ( ). dx Man hat also eine Beziehung zwischen den Differentialen dy und dx. Wenn man eine DGL löst, dann setzt man eine Kurve y(x) aus den Differentialen zusammen, wobei man die Beziehung ( ) beachtet. Wenn f nicht von y abhängt, dann hat man eine DGL der Form y = f(x). Lösungen bekommt man durch finden einer Stammfunktion, also durch Integrieren im Sinne von Analysis I. Isoklinen=Kurven gleicher Steigung im Richtungsfeld. Dies sind die Kurven f(x, y) = c.

6 Beispiel: Richtungsfelder (blau), Integralkurven (rot) und Isoklinen (grün) Richtungsfeld zu y =1+y 2 mit einigen Integralkurven y(x)=tan(x+c) 2 2 Richtungsfeld zu y =2y/x mit einigen Integralkurven y(x)=cx y = 1 + y 2 y = 2 y/x

7 Anfangswertprobleme (AWP) Wie die Beispiele zeigen, gibt es zu einer DGL y = f(x, y) eine ganze Schar von Lösungen. Um eine ganz bestimmte Lösung zu fixieren muss man an einer Stelle x 0 einen Wert y 0 vorgeben. Man spricht dann von einem Anfangswertproblem: y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Beispiel: Die DGL y = 2 y/x hat die Lösungen y(x) = c x 2, c R beliebig. Das Anfangswertproblem y = 2 y/x, y(1) = 5. hat die eindeutige Lösung y(x) = 5 x 2 (Anpassen des freien Parameters c an die Anfangsbedingung.)

8 Autonome Differentialgleichungen Eine gewöhnliche DGL heisst autonom, wenn die unabhängige Variable nicht explizit in der Gleichung vorkommt. Beispiele und Gegenbeispiele: 1. y = sin(y), ausführlicher y (x) = sin(y(x)). Die rechte Seite der DGL hängt nur von der gesuchten Funktion y ab. Die DGL ist autonom. 2. y = sin(y) + x 2, ausführlicher y (x) = sin(y(x)) + x 2. Die unabhängige Variable kommt explizit vor. nicht autonom. 3. ẍ = ω 2 x, ausführlicher ẍ(t) = ω 2 x(t). (DGL der ungedämpften freien Schwingung eines Federpendels) In der Gleichung kommt die unabhängige Variable t nicht explizit vor. Die DGL ist autonom. 4. ẍ = ω 2 x + f(t), f(t) nicht konstant. (DGL der erzwungenen Schwingung mit Anregung f(t)). Die DGL ist nicht autonom.

9 Eine besondere Eigenschaft autonomer DGL Für autonome DGL y = f(y) gilt: Wenn y(x) eine Lösung ist, dann ist für jedes c R auch die Funktion y c (x) := y(x + c) eine Lösung. Dies gilt sinngemäß auch für DGL höherer Ordnung. Beispiele: 1. y = 1 + y 2 hat die Lösungen y c (x) = tan(x + c). 2. y = a y hat die Lösungen y c (x) = e a(x+c) = e c }{{} c e ax = c e ax. 3. ẍ(t) = ω 2 x(t) hat die Lösungen x(t) = A cos(ω t), aber auch x φ (t) = A cos(ω t φ).

10 Separable Differentialgleichungen Noch einmal die Tabelle der bisher behandelten DGL 1. Ordnung: DGL Lösungen y = 1 + y 2 y(x) = tan(x + c) y = p y/x y(x) = c x p y = a(x) y y(x) = c e A(x), A (x) = a(x) Alle diese DGL sind vom Typ y = f(x, y). Sie sind aber auch von einem spezielleren Typ nämlich Solche DGL heissen y = f(x) g(y). DGL mit getrennten Variablen oder separable DGL.

11 Übersicht: Explizite DGL 1. Ordnung und Spezialfälle y = f(x, y) (explizite DGL 1. Odnung) Spezialfall y = f(x)g(y) (separable DGL) g 1 f 1 y = f(x) (y ist Stammfkt. von f) y = g(y) (autonome DGL 1. Ordnung)

12 Das Anfangswertproblem y (x) = f(x), y(x 0 ) = y 0 ( ) kann durch Integrieren im Sinne von Analysis I gelöst werden. Genauer: 1. Finde eine Stammfunktion F von f. 2. Setze y(x) = (y 0 F(x 0 )) + F(x). Man kann die Lösung von ( ) formal auch in der Form y(x) = y 0 + x x 0 f(ξ) dξ hinschreiben (wodurch allerdings so gut wie keine Information gewonnen wird). Erläuterungen dazu auf den nächsten Seiten.

13 Einschub: Stammfunktionen und Integrale Sei I R ein (endliches oder unendliches) Intervall, und sei f : I R eine stetige Funktion. Definition: Jede differenzierbare Funktion F : I R mit der Eigenschaft, dass F (x) = f(x) für alle x I, heisst Stammfunktion von f. Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung: (1) Zwei Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur um eine Konstante. (2) Zu jedem x 0 I gibt es eine Stammfunktion F von f mit der Eigenschaft F(x 0 ) = 0, nämlich F(x) := x x 0 f(ξ) dξ, x I.

14 Erläuterung zum Hauptsatz: Die Kernaussage des Hauptsatzes kann man in Worten so ausdrücken: Sei f : I R eine stetige Funktion und x 0 I. Dann ist die Funktion F, welche jedem x I den (vorzeichenbehafteten) Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [x 0, x] zuordnet, eine Stammfunktion von f. f F(x) x 0 x Dieselbe Aussage noch einmal in Formeln: f : I R stetig, F(x) = x x 0 f(ξ) dξ F (x) = f(x).

15 Zum Beweis des Hauptsatzes: (1) Seien F 1, F 2 Stammfunktionen von f. Dann gilt für die Differenz: (F 1 F 2 ) (x) = F 1 (x) F 2 (x) = f(x) f(x) = 0 x I (F 1 F 2 )(x) = konstant = c. (2) Sei F(x) = x x 0 f(ξ) dξ. Dann gilt für den Differenzenquotienten, F(x + h) F(x) = 1 ( x+h x ) f(ξ) dξ f(ξ) dξ = 1 x+h f(ξ) dξ. h h x 0 h Man hat für h > 0: x 0 min ξ [x,x+h] f(ξ) 1 h x+h x f(ξ) dx x max f(ξ) ξ [x,x+h] h 0 h 0 f(x) f(x) Der Fall h < 0 ist analog. f x 0 x x+h

16 Folgerung aus dem Hauptsatz: Berechnung von bestimmten Integralen (Flächeninhalten) mittels Stammfunktionen. Sei F : [a, b] R irgendeine Stammfunktion der stetigen Funktion f : [a, b] R. Dann ist b a f(x) dx = F(b) F(a). Beweis: Nach dem Hauptsatz ist F von der Form F(x) = x mit irgendeiner Konstanten c R. Es folgt: F(b) F(a) = ( b a a f(ξ) dξ + c ) f(ξ) dξ + c (0 + c) = b a f(ξ) dξ.

17 Anfangswertprobleme mit getrennten Variablen (separable AWP) Anfangswertprobleme mit getrennten Variablen sind von der Form y = f(x) g(y) y(x 0 ) = y 0, ( ) wobei f : I 1 R, g : I 2 R stetig, x 0 I 1, y 0 I 2 vorgegeben. Satz über AWP mit getrennten Variablen: (1) Wenn g(y 0 ) = 0, dann ist die konstante Funktion y(x) y 0, x I 1 eine Lösung des AWP ( ). Achtung: es kann weitere Lösungen geben. Siehe das Beispiel y = 2 y am Ende dieser Vorlesung. (2) Sei g(y 0 ) 0. Dann gibt es ein Intervall J um y 0, so dass g(y) 0 für alle y J. Sei G eine Stammfunktion von 1/g : J R und sei F eine Stammfunktion von f. Dann gibt es ein (maximales) Intervall I um x 0, so dass die Gleichung G(y) G(y 0 ) = F(x) F(x 0 ). für jedes x I eine eindeutige Lösung y = y(x) R hat. Die Funktion y : I R ist die eindeutige Lösung des AWP ( ).

18 Zum Beweis des Satzes über separable AWP Behauptung (1) ist klar. Beweisidee zu (2): Angenommen y : I R löst das AWP y (x) = f(x) g(y(x)), y(x 0 ) = y 0. Wenn g(y(x)) 0, dann ist Division durch g(y(x)) möglich: y (x) g(y(x)) = f(x), y(x 0) = y 0. Ersetze hierin x durch ξ (aus Notationsgründen) und integriere: x x 0 y (ξ) g(y(ξ)) dξ = x x 0 f(ξ) dξ, y(x 0 ) = y 0. Anwenden der Substitutionregel mit u = y(ξ), du = y (ξ) dξ, ergibt: Also ist y(x) y(x 0 ) 1 g(u) du = x x 0 f(ξ) dξ, y(x 0 ) = y 0. G(y(x)) G(y 0 ) = F(x) F(x 0 ), wobei G Stammfunktion von 1/g, und F Stammfunktion von f ist.

19 Beispiel 1 zu separablen AWP Aufgabe: Löse das AWP y = cos(x)(1 + y 2 ), y(7) = 4 ( ) Lösung: Eine Stammfunktion von cos(x) ist F(x) = sin(x). Eine Stammfunktion von 1/(1 + y 2 ) ist G(y) = arctan(y). Die Lösung y(x) des AWP ( ) erfüllt G(y) G(4) = F(x) F(7), also arctan(y) arctan(4) = sin(x) sin(7) arctan(y) = sin(x) sin(7) + arctan(4). ( Tangens anwenden) y = tan(sin(x) sin(7) + arctan(4))

20 Beispiel 2: Eine alte Klausuraufgabe Aufgabe: Löse das AWP (1 + x)y + y 2 7 = 0, y(0) = 2 7 Lösung: Gleichung umformen, y isolieren: y = x (7 y2 ). Eine Stammfunktion von 1/(1 + x) ist F(x) = 1/(1 + x) dx = ln 1 + x Berechnung von G(y) = 1/(7 y 2 ) dy mit Partialbruchzerlegung: 1 7 y = 1 2 ( 7 + y)( 7 y) = A y B = 1 7 y 2 7 G(y) = 1 ( 2 ln 7 + y ln ) 7 y 7 ( ) 7 + y 7 y = ln Die Lösung des AWP erfüllt G(y) G(2 7)=F(x) F(0), also ln 7 + y 1 7 y 2 7 ln =ln 1 + x ln Hieraus folgt: } {{ } =3 } {{ } =0 7 + y 7 y ln 7 + y = 2 7ln 1 + x + ln3 = ln(3 1 + x 2 7 ) 7 y Auflösen nach y für x < 1, y < 7 ergibt: y = 7 3(1 + x) (1 + x)

21 Wichtiger Spezialfall: Bei autonomen DGL, d.h. solchen vom Typ y = g(y) (keine Abhängigkeit von x) handelt es sich um eine separable DGL y = f(x) g(y), wobei f(x) 1. Eine Stammfunktion von f ist natürlich F(x) = x. Beispiel: Löse das AWP y = 1 + y 2, y(7) = 4 ( ) Lösung: Wegen y = 1 (1 + y 2 ) handelt es sich um eine separable DGL, wobei f(x) 1. Eine Stammfunktion von f ist F(x) = x. Eine Stammfunktion von 1/(1 + y 2 ) ist G(y) = arctan(y). Die Lösung von ( ) erfüllt G(y) G(4) = F(x) F(7), Also: arctan(y) arctan(4) = x 7 Aufösen nach y ergibt y = tan(x 7 + arctan(4)). Hinweis: Die DGL in den Hausaufgaben sind von obigem Typ.

22 Direkter Rechenweg für separable AWP DGL: y = f(x) g(y) lautet in anderer Schreibweise: Multiplizieren mit dx ergibt (Variablen trennen) (integrieren) dy dx = f(x) g(y). dy = f(x) g(y) dx dy g(y) dy g(y) = = f(x) dx f(x) dx + c Nun muss man die Integrale (Stammfunktionen) bestimmen, nach y auflösen, und die Integrationskonstante c an die Anfangsbedingung anpassen.

23 Beispiel zum direkten Rechenweg Aufgabe: Löse das AWP y = e y sin(x), y(2) = 5 ( ) Lösung: dy dx = ey sin(x) Stammfunktionen berechnen: dy = sin(x) dx ey dy e y = sin(x) dx + c. Nach y auflösen: e y = cos(x) + c ( ) e y = cos(x) + c e y = cos(x) c y = ln(cos(x) c) y = ln(cos(x) c) Konstante c berechnen (d.h. Anfangsbedingung in ( ) einsetzen): e 5 = cos(2) + c c = cos(2) e Einige Integralkurven zur DGL y = e y sin(x):

24 In der Literatur findet man zahlreiche Tricks um eine DGL von einem gegebenen Typ in eine DGL von einem anderen Typ umzuwandeln, für den man ein Lösungsverfahren kennt. Hier ein Beispiel. Beispiel für eine Substitution: Die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung Die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung lautet y = f ( y x) ( ). Sie lässt sich mit Hilfe der Substitution u = y/x auf eine separable DGL zurückführen. Nämlich so: u = y x u = y x y 1 x 2 = y x u x xu = y u = f(u) u u = 1 x (f(u) u) ( ) Um ( ) zu lösen, löst man erst die separable DGL ( ) und setzt dann y = xu.

25 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines AWP Gegeben sei ein AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Fragen: 1. Gibt es eine Lösung? 2. Ist die Lösung eindeutig? In den meisten praktischen Fällen ist die Antwort auf beide Fragen positiv. Genauere Auskunft geben die Existenz- und Eindeutigkeitssätze

26 Existenzsatz von Peano Gegeben sei ein offenes Gebiet G R 2 und eine stetige Funktion f : G R. Sei ausserdem (x 0, y 0 ) G. Dann existiert zu dem AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 mindestens eine Integralkurve, die nicht innerhalb von G endet. G y 0 x 0 Giuseppe Peano Wichtig: Selbst bei einem unendlich augedehnten Gebiet hat die Lösung eines AWP möglicherweise nur ein endliches Existenzintervall. Beispiel: y = 1 + y 2, y(0) = 0. Die Lösung, y(x) = tan(x), existiert nur im Intervall π/2 < x < π/2.

27 Gegenbeispiel zur Eindeutigkeit der Lösung eines AWP Das (autonome und somit auch separable) AWP y = 2 y, y(0) = 0 besitzt offensichtlich die Nullfunktion y(x) 0 als Lösung. Es gibt aber unendlich viele weitere Lösungen, nämlich die durch Fallunterscheidung definierten Funktionen y a (x) = 0 für x < a (x a) 2 für x a., a Lösungen des AWP (rot):

28 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Gegeben sei ein offenes Gebiet G R 2 und eine stetige Funktion f : G R, die folgende Bedingung erfüllt: Zu jedem ( x, ỹ) G gibt es eine Umgebung U G und eine Konstante L > 0, so dass für alle x, y 1, y 2 U gilt f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2. (Lipschitz Bedingung). Dann gibt es zum AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, (x 0, y 0 ) G genau eine (maximale) Integralkurve. Sie endet nicht innerhalb von G. Bemerkungen: 1. Die Lipschitzbedingung ist erfüllt, wenn f stetig partiell nach y differenzierbar ist. Eine lokale Lipschitzkonstante ist dann L = max (x,y) U ( f/ y)(x, y). 2. Der Satz gilt auch für Systeme von DGL. Man muss nur statt des Betrags die euklidische Norm nehmen. E. Picard ( ) E. Lindelöf ( )

29 Auf den folgenden Seiten finden sich Erläuterungen zum Existenzund Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Der volle Beweis des Satzes ist zu kompliziert, um ihn hier zu bringen. Er ist Standard-Stoff in den Lehrbüchern über DGL und in den DGL-Vorlesungen für Mathematiker. Ingenieure müssen sich (nur) folgendes merken: Wenn dann und dann die rechte Seite f der DGL y = f(x, y) stetig und stetig partiell nach y differenzierbar ist, existiert auf jedem hinreichend kleinen Teilgebiet U des Definitonsbereichs G von f eine Lipschitz-Konstante L, so dass f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 haben die zugehörigen AWPs alle eine eindeutige Lösung. Dies gilt auch, für Systeme von DGL, d.h. wenn f und y Vektoren sind. In diesem Fall muss man den Betrag in der Lipschitz-Bedingung als euklidische Länge eines Vektors interpretieren. Als Ableitungen sind dann die partiellen Ableitungen nach allen y-komponenten zu nehmen.

30 Zur Frage: Was besagt die Lipschitz-Ungleichung anschaulich? Die Lipschitz-Ungleichung f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 sagt etwas darüber aus, wie stark sich die Steigungen im Richtungsfeld ändern, wenn man sich in y-richtung bewegt: Die Differenz der Steigungen ist bei fesgehaltenem x nicht größer als das L-fache der Differenz der y-werte. Steigung f(x,y ) 2 y 2 y Differenz der y Werte y 1 Steigung f(x,y ) 1 x

31 Zur Frage: Wieso folgt die Existenz einer Lipschitz-Konstante L aus der stetigen partiellen Differenzierbarkeit der rechten Seite? Angenommen, die Menge U R 2 enthält die Punkte (x, y) mit y [y 1, y 2 ]. (Verbindungsstrecke von (x, y 1 ) und (x, y 2 )). Dies ist z.b. der Fall, wenn U ein Rechteck wie im Bild ist. U y 2 y Verbindungsstrecke y 1 x Dann hat man die Abschätzung f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = y2 y 1 f (x, y) dy y y 2 y 1 max y [y 1,y 2 ] f (x, y) y y 2 y 1 max f (x, y) (x,y) U y }{{} =:L Das Maximum, durch welches L definiert ist, existiert, wenn die partielle Ableitung stetig ist, und die Menge U beschränkt und abgeschlossen ist. (abgeschlossen bedeutet: alle Randpunkte gehören zur Menge).

32 Zur Frage: Wieso folgt die Eindeutigkeit der Lösung aus der Lipschitz-Bedingung? Sei y(x) eine Lösung des AWP y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. Schreibt man die DGL mit ξ statt x als Variable, dann hat man y (ξ) = f(ξ, y(ξ)). Integrieren von x 0 bis x ergibt y(x) y(x 0 ) = x x 0 f(ξ, y(ξ)) dξ. Umstellen ergibt wegen y(x 0 ) = x 0 die Integralgleichung y(x) = y 0 + f(ξ, y(ξ)) dξ. ( ) x 0 Angenommen, ỹ ist eine weitere Lösung desselben AWP. Dann gilt also ebenfalls ỹ(x) = y 0 + x x x 0 f(ξ, ỹ(ξ)) dξ Zieht man die Gleichungen ( ) und ( ) voneinander ab, dann bekommt man für x [x 0, x 1 ] wegen der Lipschitzbedingung die obere Abschätzung x x y(x) ỹ(x) = f(ξ, y(ξ)) f(ξ, ỹ(ξ)) f(ξ, y(ξ)) f(ξ, ỹ(ξ)) dξ x 0 x 0 x ( ) x 0 L y(ξ) ỹ(ξ) dξ x1 x 0 L y(ξ) ỹ(ξ) dξ L(x 1 x 0 ) max y(ξ) ỹ(ξ) ξ [x 0,x 1 ] }{{} =:M Die impliziert M L(x 1 x 0 ) M. Wenn nun x 1 so nah an x 0 ist, dass L(x 1 x 0 ) < 1, dann folgt M = 0. Also y(x) = ỹ(x) für x [x 0, x 1 ].

33 Zur Frage: Wieso folgt aus der Lipschitz-Bedingung die Existenz einer Lösung des AWP? Diese Frage lässt sich nur mit höherer Mathematik beantworten (Stichwort: Banachscher Fixpunktsatz). Grundlage des Beweises ist folgende Idee: Das AWP y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 hat dieselbe(n) Lösung(en) wie die Integralgleichung y(x) = y 0 + x x 0 f(ξ, y(ξ)) dξ Man definiert nun rekursiv eine Folge von Funktionen y 0 (x), y 1 (x), y 2 (x)... durch die Vorschrift y 0 (x) := y 0, y k+1 (x) := y 0 + f(ξ, y k (ξ)) dξ k = 1,2,3... x 0 Dann zeigt man, dass diese Funktionenfolge gegen eine Grenzfunktion y(x) konvergiert, falls f die Lipschitz-Bedingung erfüllt. Die Grenzfunktion ist Lösung des AWP. Dieses Verfahren, die Lösung anzunähern, heisst x Picardsches Iterationverfahren. Es wird in der VL an Beispielen demonstriert. Leider ist es zu rechenaufwendig, um praktisch brauchbar zu sein. Es gibt wesentlich bessere numerische Verfahren, um eine DGL näherungsweise (vom praktische Standpunkt aus sogar exakt) zu lösen. Siehe Numerik-VL.

34 Literaturhinweise: 1. Das Ferus-Skript auf der Isis-Seite und die Literaturhinweise darin. 2. Eine leicht verständliche Einführung mit vielen Anwendungsbeispielen ist Harro Heuser: Differentialgleichungen 3. Sehr anschaulich ist auch Jänich: Analysis für Physiker und Ingenieure 4. Zum Rechnenüben: Frank Ayres: Differentialgleichungen (aus der Schaum-Reihe) Peter Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 3 5. Höheres Niveau: z.b. Bücher von Wolfgang Walter und Lothar Collatz 6. Zum Nachschlagen und Wiederholen: Taschenbücher der Mathematik (Bronstein etc.), Timmann: Repititorium Der Gewöhnlichen DGL