(c) Nach wievielen Wochen ist etwa die Hälfte aller Einwohner erkrankt?

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1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 9 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 19. November 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 In einer Stadt breitet sich eine neue Viruserkrankung sehr schnell aus. Man geht davon aus, dass sich im Laufe der Zeit alle Einwohner mit der Krankheit infizieren. Bei Beobachtungsbeginn werden bereits 5000 Infizierte gemeldet. Man nimmt an, dass die wöchentliche Erkrankungsrate proportional zur Anzahl der bisher noch nicht erkrankten Einwohner ist, und zwar mit einem Proportionalitätsfaktor von 10 Prozent. (a) Geben Sie eine Differentialgleichung für die Anzahl y(t) der erkrankten Einwohner in Abhängigkeit der Wochen t an. (b) Bestimmen Sie y(t). (c) Nach wievielen Wochen ist etwa die Hälfte aller Einwohner erkrankt? Aufgabe Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden linearen Differentialgleichungen erster Ordnung. (a) xy y = x +4 (b) y cos(x) ysin(x) = 1 Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (a) y +y 6y = 0 mit den Anfangsbedingungen y(0) =, y (0) = 41 (b) y +5y = 0 mit y(0) = 3, y (0) = 7 (c) y 1y +18y = 0 mit y(0) = 1, y (0) = 1 Aufgabe 4 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems von Differentialgleichungen y 1 = 6y 1 3y y = y 1 +y. Zusatzaufgaben Aufgabe 5 Auf einer Intensivstation wird einem Patienten über eine Infusion permanent ein Medikament zugeführt, insgesamt 60mg pro Tag. Der Körper scheidet pro Tag 75% des im Körper vorhandenen Medikaments aus.

2 (a) Wie gross ist nach drei Tagen Intensivstation die Medikamentenmenge im Körper des Patienten? (b) Auf welchem Niveau stabilisiert sich die Medikamentenmenge im Körper des Patienten? Aufgabe 6 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y = y 5y +6 undjedieeindeutigelösungfürdieanfangsbedingungeny(0) = 1, y(0) =, bzw. y(0) =,5. Aufgabe 7 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y = y +y +5. Aufgabe 8 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems von Differentialgleichungen y 1 = 4y 1 4y y = y 1 +8y.

3 Lösungshinweise Aufgabe 1 (a) DGL für beschränktes Wachstum (vgl. Skript Seiten 94 95). (b) Lösen der DGL aus (a) durch Trennung der Variablen (oder Anwenden der allgemeinen Lösung im Skript). (c) Gesucht ist t mit y(t) = 0000 (vgl. das Beispiel auf Seite 96). Aufgabe Vorgehen wie auf Seite 103 des Skripts beschrieben, wobei die DGL zuerst auf die Form y = p(x)y +q(x) gebracht werden muss. (a) Umgeformt: y = y x +x+ 4 x, die zugehörige homogene DGL ist y = y x. (b) Umgeformt: y = sin(x) cos(x) y + 1 cos(x), die zugehörige homogene DGL ist y = sin(x) cos(x) y. Aufgabe 3 Analog zu den Beispielen auf den Seiten des Skripts. Aufgabe 4 Vorgehen wie auf den Seiten des Skripts beschrieben(d.h. zuerst die charakteristische Gleichung des Systems lösen). Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Sei y(t) die Medikamentenmenge im Körper des Patienten zur Zeit t (Zeiteinheit Tag). Dann gilt y (t) = 60 0,75 y(t) mit y(0) = 0. (a) y(t) bestimmen (vgl. DGL (3) auf Seite 94 des Skripts). y(3) =? (b) y(t) =? für t Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Es gilt y = y 5y +6 = (y )(y 3), also kann die DGL durch Trennung der Variablen gelöst werden, analog zur DGL (4) auf den Seiten Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Durch Trennung der Variablen. Das Polynom y + y + 5 kann über R nicht faktorisiert werden, also bringt man es auf die Form a(u +1) und nutzt, dass (arctan(u)) = 1 u +1. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Vorgehen wie auf den Seiten des Skripts beschrieben.

4 Ergebnisse Aufgabe 1 (a) y (t) = 1 10 (40000 y(t)) mit y(0) = 5000 (b) y(t) = e 1 10 t (c) t = 10 ln( 7 4 ) 5,596, also nach ungefähr 51 Wochen Aufgabe (a) y(x) = x 4+Ax für eine beliebige reelle Zahl A (d.h. eine Konstante A) (Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y = y x (b) y(x) = x+a cos(x) ist y(x) = Ax.) für eine beliebige reelle Zahl A (d.h. eine Konstante A) (Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y = sin(x) A cos(x) y ist y(x) = cos(x).) Aufgabe 3 (a) y(x) = 7e x +9e 3x (b) y(x) = 7 5 sin(5x) 3cos(5x) (c) y(x) = (4x 1)e 3x Aufgabe 4 y 1 (x) = Ae 3x +Be 4x, y (x) = Ae 3x + 3 Be4x für beliebige reelle Zahlen A,B Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Wie im Hinweis sei y(t) die Medikamentenmenge im Körper des Patienten zur Zeit t (Zeiteinheit Tag). Dann gilt y (t) = 60 0,75 y(t) mit y(0) = 0. (a) Allgemeine Lösung der DGL: y(t) = 80+Ae 3 4 t. Aus y(0) = 0 folgt y(t) = 80 80e 3 4 t. Die allgemeine Lösung erhält man durch Trennung der Variablen, durch Anwenden der allgemeinen Lösung im Skript S. 95 oder durch Lösen der homogenen DGL y = 0,75 y und Erraten der partikulären Lösung y P (t) = 80. = Medikamentenmenge nach 3 Tagen = y(3) = 80 80e ,57mg (b) lim t y(t) = 80 Die Medikamentenmenge stabilisiert sich also auf dem Niveau 80 mg.

5 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Durch Trennung der Variablen erhalten wir dy (y )(y 3) = dx = x+c 1. Das Integral auf der linken Seite kann durch Partialbruchzerlegung gelöst werden. Der Ansatz 1 (y )(y 3) = a y + b y 3 mit y multipliziert und danach y = gesetzt ergibt a = 1; mit y 3 multipliziert und danach y = 3 gesetzt ergibt b = 1. Es folgt dy dy = (y )(y 3) y + dy y 3 ( ) y 3 = ln y +ln y 3 +c = ln +c. y Die Gleichung ( ) ergibt also ( ) y 3 ln y = x+c. Diese Gleichung müssen wir nun nach y auflösen. Aus dieser Gleichung folgt für eine beliebige Konstante A 0 y 3 y = Aex = y 3 = Ae x y Ae x = y(1 Ae x ) = 3 Ae x = y = 3 Aex 1 Ae x. Da wir für die Gleichung ( ) durch y und y 3 dividiert haben, kommen noch die konstanten Lösungen y(x) = und y(x) = 3 dazu. Die allgemeine Lösung ist also ( ) y(x) = 3 Aex 1 Ae x für A R und y(x) =. Für y(0) = 1 gilt 1 A = 3 A = A = Für y(0) = ist y(x) = die eindeutige Lösung Für y(0) =,5 gilt,5,5a = 3 A = A = 1

6 Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Durch Trennung der Variablen erhalten wir dy y +y +5 = dx = x+c 1. Partialbruchzerlegung für das Integral auf der linken Seite funktioniert nun allerdings nicht, da das Polynom y +y+5 über R nicht faktorisierbar ist (die Diskriminante D = 16 < 0). IndiesemFall kanndaspolynomjedochalssummevonzwei Quadraten, bzw. alsa(u +1) geschrieben werden: ( (y ) +1 y +y +5 = (y +1) +4 = 4 +1) Mit Substitution u = y+1 und du = 1 dy folgt nun dy y = 1 du +y +5 u +1 ( ) = 1 arctan(u)+c = 1 arctan ( y +1 ) +c. Die Gleichung ( ) ergibt also 1 ( y +1 ) arctan = x+c. Diese Gleichung formen wir um zu y+1 = tan(x+a) für A R, und damit erhalten wir die allgemeine Lösung y(x) = tan(x+a) 1 für eine beliebige Konstante A. Im folgenden Richtungsfeld eingezeichnet ist die eindeutige Lösung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1, d.h. mit A = 0. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Charakteristische Gleichung des Systems: 0 = λ 1λ + 36 = (λ 6), Lösung: λ 0 = 6. Wir sind also im. Fall (Seiten ). Die erste Lösungsfunktion ist gegeben durch y 1 (x) = (Ax+B)e 6x. Ableitung: y 1 (x) = Ae6x +(Ax +B)6e 6x. Nun setzen wir y 1 und y 1 in die erste Gleichung des Systems ein und lösen sie nach y auf. Wir erhalten y (x) = 1 4 (4y 1 y 1) = 1 4 (Ax+A+B)e6x.