Aufgabe 1 (a) Vorgehen wie im Beispiel auf Seite 151 des Skripts. Für die Anzahl möglicher Linearkombinationen

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1 Mathe I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Hinweise und Ergebnisse zur Übung 13 Uni Basel Lösungshinweise Aufgabe 1 (a Vorgehen wie im Beispiel auf Seite 151 des Skripts. Für die Anzahl möglicher Linearkombinationen beachte man Satz 9.3. (b Für 1. und 3. kann man Satz 9.2 anwenden, für 2. muss überprüft werden, ob u ein Vielfaches von v ist (oder umgekehrt, vgl. Seite 154 des Skripts. Für die Frage nach der Basis benutzt man Satz 9.5 und dass dim(r 3 = 3. Aufgabe 2 (a Mit der Formel von Satz 9.11 vom Skript. (b Die Zahl a muss die Bedingung u v = erfüllen (vgl. Satz 9.9. (c Zuerst einen Vektor w mit v w = finden. Damit ist w senkrecht zu v. Nun hat der 1 Vektor w w zusätzlich die Länge 1. Aufgabe 3 (a&(b Aus wievielen Basisvektoren besteht eine Basis einer Geraden, bzw. einer Ebene? Die Basisvektoren müssen die Gerade, bzw. die Ebene, erzeugen. Kandidaten für Basisvektoren stehen also schon da... (c Die Dimension einer (beliebigen Ebene (durch den Ursprung ist 2. Man muss (wegen Satz 9.5 also nur zwei linear unabhängige Vektoren auf der Ebene finden (d.h. zwei Ortsvektoren von Punkten auf der Ebene. Aufgabe 4 Die Matrix A auf Zeilenstufenform (wobei die Zeilen nicht mit einer führenden Eins beginnen müssen bringen. Dann bilden die Nichtnullzeilen eine Basis des Zeilenraums (vgl. Seite 158 unten und rg(a = dim(zeilenraum = dim(spaltenraum. Nun sollte es nicht mehr schwierig sein, eine maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren anzugeben (diese Anzahl ist ja gleich rg(a. Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe Mit der Inversen der Koeffizientenmatrix: Wie auf den Seiten des Skripts Cramersche Regel: Siehe Seite 148.

2 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe Analog zum Beispiel auf Seite 157 unten. Das heisst, sind die angegebenen Vektoren linear unabhängig? Für die Antwort hilft hier Satz 9.1. Wenn ja, bilden sie eine Basis und die Dimension von V ist gleich der Anzahl Basisvektoren. Wenn nein, kann man einen Vektor (der eine Linearkombination der anderen ist weglassen und sich wieder fragen, ob nun die restlichen Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe (b Orthonormalbasis bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen (d.h. orthogonal sind und je die Länge 1 haben. Die Länge von v 1 wurde schon in (a bestimmt. Den Vektor v 2 nun analog zur Aufgabe 1(c bestimmen. (c c i v i = ( v v i v i ist die Orthogonalprojektion von v auf den Vektor v i, vgl. Satz Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe Entweder geometrisch überlegen: Sind die Mengen V 1, V 2, V 3 von der Form der auf Seite 151 aufgelisteten Vektorräume in R 3? Oder die Bedingung der Abgeschlossenheit von Seite 15 oben überprüfen. Oder einfach einmal schauen, ob überhaupt in der Menge enthalten ist. Oder für 3.: x+y z = ist eine homogene lineare Gleichung, also gilt Satz 9.8. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe Es empfiehlt sich, zuerst eine Vermutung aufzustellen. Da nur ein Polynom vom Grad 2 ist und die anderen beiden Polynome keine Vielfachen voneinander sind, liegt es nahe zu vermuten, dass die Poynome linear unabhängig sind. Für den Nachweis sollten wir also die 2. Definition von linear (unabhängig verwenden (Seite 153, Mitte. (Vermutet man, dass die Polynome linear abhängig sind, könnte man sich auf die Suche nach einer konkreten Linearkombination machen. Aufgabe 1 (Zusatzaufgabe (a Eine allgemeine 2 2-Matrix ( a b c d besteht aus 4 reellen Zahlen a, b, c, d. Ev. hilft nun die Standardbasis von R 4 (vgl. Seite 158 für eine Idee einer Basis von V. (b Für ( ( a b c d mit a+d = ist d = a, das heisst, jede Matrix in U ist von der Form a b c a.

3 Ergebnisse Aufgabe 1 (a w = 7 v 1 + v 2 Dies ist die einzige mögliche Linearkombination, da die Vektoren v 1 und v 2 eine Basis von R 2 bilden (die beiden Vektoren sind linear unabhängig (sie sind nicht Vielfache voneinander bzw. liegen nicht auf der gleichen Geraden durch den Ursprung und da die Dimension von R 2 gleich 2 ist, wissen wir mit Satz 9.5, dass sie eine Basis sind (b 1. Nein, denn det = Ja, denn u = 2 v Ja, denn det 1 3 = Da dim(r 3 = 3, besteht eine Basis von R 3 aus 3 linear unabhängigen Vektoren. Eine Basis bilden also nur die Vektoren in 1. Aufgabe 2 (a proj v ( u = 7 41 ( 5 = 4 ( (b a = 4 7 (denn u v = 4 7a ( 2 (c 13 3 (Der Vektor w = ( 2 3 ist senkrecht zu v. 13 Aufgabe 3 ( 2 1 (a Eine Basis bildet zum Beispiel der Richtungsvektor v =. (b Die beiden Richtungsvektoren (c Die beiden Vektoren ( 11 und ( 1 1 ( 1 und ( bilden zum Beispiel eine Basis. bilden zum Beispiel eine Basis. (Dies sind die Ortsvektoren der beiden Punkte (1,1,, (,,1 auf der Ebene. Aufgabe 4 Wir bringen A auf Zeilenstufenform (ohne führende Einsen: A z 2 = z 2 2z 1 z 3 = z 3 4z z 3 = z 3 z Eine Basis des Zeilenraums sind also die zwei Vektoren (1, 2,2, (,8, 3. Damit ist rg(a = dim(zeilenraum = 2. Eine Basis des Spaltenraums besteht also auch aus 2 Basisvektoren. Linear unabhängig (und damit eine Basis sind zum Beispiel die ersten beiden Spaltenvektoren ( 1 und ( 2 8.

4 Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe 1. Gauß-Algorithmus: (A b = ( z 1 = z 1 +2z 2 z 2 = z 2 3z 1 ( Mit der Inversen der Koeffizientenmatrix: ( x x = = A 1 1 b = y 8 3. Cramersche Regel: det x = ( det(a ( z 2 = 1 8 z 2 = x = 3, y = 1 ( ( = ( 3 1 ( 1 1 = 24 det 8 = 3, y = 3 11 = 8 det(a 8 = 1 ( Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe (a Die Vektoren sind Vielfache voneinander, denn v 1 = 4 v 2 und v 3 = 7 v 2. Das heisst, sie liegen alle auf derselben Geraden durch den Ursprung. Der Vektorraum V ist also gleich dieser Geraden. Jede Basis von V besteht aus nur einem Vektor, welcher ein Richtungsvektor der Geraden ist, zum Beispiel v 2. Es folgt dim(v = 1. (Als Basis kann auch v 1 oder v 3 oder ein anderes Vielfaches von v 2 angegeben werden. (b Vier Vektoren in R 3 sind stets linear abhängig (Satz 9.1, es gilt also zu überprüfen, ob V drei linear unabhängige Vektoren enthält. Untersuchen wir zum Beispiel v 1, v 2 und v 4. Ist A die Matrix mit v 1, v 2, v 4 als Spalten, so finden wir det(a = 6, das heisst, v 1, v 2 und v 4 sind linear unabhängig. Sie bilden also eine Basis von V und deshalb ist dim(v = 3. Diese drei Vektoren bilden aber auch eine Basis von R 3, also ist V = R 3. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe 9 (a v 1 = = 1 (b Orthogonal zu v 1 ist zum Beispiel der Vektor u = ( 4 3, denn v 1 u =. Wir brauchen einen Vektor der Länge 1, also wählen wir v 2 = 1 5 u = 1 5 (4 3. (Die einzigen möglichen Vektoren sind v 2 wie oben oder v 2. (c c 1 = v v 1 = 1 und c 2 = v v 2 = 5, also gilt v = 1 v 1 5 v 2. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe 1. V 1 ist ein Vektorraum. Entweder man betrachtet V 1 geometrisch: 1 V 1 ist eine Gerade mit der Gleichung r = t( für t in R, das heisst eine Gerade durch den Ursprung. Also ist V 1 ein Vektorraum.

5 Oder man zeigt, dass Addition und Skalarmultiplikation in V 1 abgeschlossen sind: Seien u =, v = in V 1 und k in R. Dann folgt ( x1 ( x2 u+ v = Also ist V 1 ein Vektorraum. 2. V 2 ist kein Vektorraum. ( x1 +x 2 V 1 und k u = ( V 2 ist eine Gerade mit der Gleichung r = Gerade, welche nicht durch den Ursprung geht. Oder: V 2. Oder: Ist u = ( x ( kx1 V 1. in V 2 und zum Beispiel k = 2, dann gilt k u = ( 2x V t( für t in R, das heisst eine Oder man zeigt, dass u+ v V 2 für u, v V V 3 ist ein Vektorraum. V 3 ist eine Ebene durch den Ursprung, also ein Vektorraum. Oder: V 3 ist der Lösungsraum einer homogenen linearen Gleichung. Nach Satz 9.8 ist V 3 also ein Vektorraum. Oder man zeigt, dass( Addition und Skalarmultiplikation in V 3 abgeschlossen sind: x1 ( x2 Seien k in R und u = y 1, v = y 2 in V z 1 z 3, das heisst z 1 = x 1 +y 1 und z 2 = x 2 +y 2. ( 2 x3 Dann gilt für u+ v = y 3, dass z 3 x 3 +y 3 = (x 1 +x 2 +(y 1 +y 2 = (x 1 +y 1 +(x 2 +y 2 = z 1 +z 2 = z 3. ( x4 Das heisst, u+ v V 3. Für k u = y 4 gilt z 4 das heisst, k u V 3. x 4 +y 4 = kx 1 +ky 1 = k(x 1 +y 1 = kz 1 = z 4, Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe Wie auf Seite 153 des Skripts machen wir den Ansatz c 1 (x 2 2+c 2 (x+1+c 3 x = mit reellen Zahlenc 1,c 2,c 3 (anstelle von Vektoren v 1, v 2, v 3 habenwir hierpolynome. Durch Ausmultiplizieren und Ausklammern erhalten wir = c 1 x 2 2c 1 +c 2 x+c 2 +c 3 x = c 1 x 2 +(c 2 +c 3 x 2c 1 +c 2. Es folgt c 1 =, c 2 +c 3 =, 2c 1 +c 2 =,

6 und damit c 1 = c 2 = c 3 =. Gemäss der Definition von Seite 153 (Mitte sind also die drei Polynome x 2 2, x + 1, x linear unabhängig. Aufgabe 1 (Zusatzaufgabe (a Eine Basis von V bilden zum Beispiel die 4 Matrizen E 11 = ( 1, E 12 = ( 1, E 21 = ( 1, E 22 = ( 1. Denn jede Matrix A = ( a b c d aus V lässt sich als Linearkombination der Basismatrizen schreiben, A = ae 11 +be 12 +ce 21 +de 22, und die Basismatrizen sind linear unabhängig (der Ansatz c 1 E 11 +c 2 E 12 +c 3 E 21 +c 4 E 22 = führt sofort auf c 1 = c 2 = c 3 = c 4 =. Die Dimension von V ist also 4. (b Eine Basis von U bilden zum Beispiel die 3 Matrizen B 1 = ( 1 1, B2 = ( 1, B 3 = ( 1. Denn jede Matrix A = ( a b c a aus U lässt sich als Linearkombination der Basismatrizen schreiben, A = ab 1 + bb 2 + cb 3, und die Basismatrizen sind linear unabhängig (der Ansatz c 1 B 1 +c 2 B 2 +c 3 B 3 = führt sofort auf c 1 = c 2 = c 3 =. Die Dimension von U ist also 3.