a = 70 (1 1,01) )

Transkript

1 Matheatik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung (für Phara/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 24. Septeber 208 in den Übungsstunden Aufgabe Berechnen Sie die Zahl ( a = 70 (,0) ), inde Sie (i) eakt rechnen, (ii) nach jede Rechenschritt auf 2 Nachkoastellen runden, (iii) nach jede Rechenschritt auf 3 Nachkoastellen runden. (a) Schreiben Sie die folgenden Suen bzw. Produkte aus und berechnen Sie sie: (i) 3 ( ) n n 2 n=0 (ii) 2 (4k 3) (iii) k= 2n n+ (b) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke it Suen- bzw. Produktzeichen: (i) (iii) (ii) (iv) (a) Bestien Sie für die reellen Funktionen f und f 2 den grösstöglichen Definitionsbereich D in R und die Bildenge f(d). { ( 2) f () = falls 0 +99, f 2 () = falls < 0 ( 5) 2 (b) Welche Geraden sind Graphen von linearen Funktionen? Geben Sie für die Graphen die genaue Funktionsgleichung an.

2 Aufgabe 4 Sei f() = ( )(+2)2 +3 (a) Bestien Sie das Polyno g(), welches eine Asyptote für den Graphen von f bildet. (b) Berechnen Sie it de Taschenrechner f() und g() für = 208 auf 3 Nachkoastellen genau. (c) Skizzieren Sie die Graphen von g() und f() in deselben Koordinatensyste, wobei vor alle die Polstelle(n), die Asyptoten und die Nullstellen von f genau eingezeichnet werden sollen.. Zusatzaufgaben Die Zusatzaufgaben werden (in der Regel) nicht in den Übungsstunden besprochen. Bei den Ergebnissen finden Sie deshalb ausführliche Lösungen. Teilweise sind diese Aufgaben schwieriger als die Aufgaben für die Übungsstunden. Aufgabe 5 Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) ( n ) n+ (b) 7 ( 6 n ) (c) n 2 Aufgabe 6 Sei n eine natürliche Zahl und f die reelle Funktion gegeben durch f() = 4 3+ n + (a) Für welche n hat f eine waagrechte Asyptote? (b) Für welches n hat f eine Parabel als Asyptote (für ± )? Bestien Sie die genaue Funktionsvorschrift dieser Parabel. (c) Sei n =. Bestien Sie Polynoe g() und r(), so dass f() = g()+ r() +.. Aufgabe 7 Bestien Sie für die reelle Funktion f() = +6 den grösstöglichen Definitionsbereich D in R und die Bildenge f(d). Skizzieren Sie den Graphen von f.

3 Lösungshinweise Aufgabe Vorgehen wie i Beispiel auf Seite 2 unten des Skripts. Vorgehen wie in den Beispielen auf den Seiten 4 5 des Skripts. (a) Für f (D) den Grad von f beachten. Für f 2 vergleiche das 5. Beispiel auf Seite 6. (b) Alle Geraden ausser eine sind Graphen von Funktionen. Für eine lineare Funktion gilt f() = +q, wobei q der y-achsenabschnitt und die Steigung der Geraden ist. Aufgabe 4 (a) Zuerst den Zähler von f ausultiplizieren, dann Polynodivision wie i Beispiel auf Seite 0 unten. (b) Mit der Forel f() = g()+ r() +3 (vgl. Seite 0 Mitte) geht die Berechnung schnell. (c) Analog zu Beispiel rechts auf Seite 0 unten. Mit der Darstellung von f wie in (b) erkennt an gut, wie sich f verhält für gegen ± und in der Nähe von = 3. Die Nullstellen von f kann an direkt a Zähler von f ablesen. Eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph von f an dieser Stelle die -Achse nicht schneidet, sondern nur berührt. Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) (a) Entweder ausschreiben oder die. Regel von Seite 5 benutzen. (b) (c) 7 ( 6 n ) = n 7 n ( 6 ) = ( 6 ) 7 7 n 2 = Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) I Skript auf den Seiten 9 0 steht alles, was an braucht. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) D sollte klar sein (f ist eine rationale Funktion und dait für alle definiert, wo das Nennerpolyno nicht Null ist). Für f(d) sollte an zuerst die Funktionsvorschrift ohne Betrag hinschreiben, inde an die Fälle 6 und < 6 betrachtet. Nun kann an den Graphen von f skizzieren, wenn an weiss, wie der Graph von aussieht. Anhand der Skizze kann an auf f(d) schliessen.

4 Ergebnisse Aufgabe (i) a = 70 0, ,0006 = 0,004 (ii) a = 0 (iii) a ,00 = 0,005 (a) (i) = 6 (ii) ( 4 3)+(0 3)+(4 3)+(8 3) = oder: (4k 3) = 4 k 3 = 4( +0++2) 4 3 = 4 k= k= k= (iii) = 6 5, oder: 2n n+ = 24 n n+ = = 6 5 (b) (i) (5n ) n=0 (ii) 5 5 ( ) n+ n 3 = ( ) n n 3 (iii) 8 2n n=3 (iv) 5 n= n (a) f : D = f (D) = R (Denn der Grad von f ist ungerade; vgl. Seite 9 oben.) f 2 : D = R, f 2 (D) = { y R y } (Denn ( 2) 2 für alle 0 und ( 5) 2 0 für alle < 0.) (b) Alle Geraden ausser die Gerade g 3 ( = 3) sind Graphen von Funktionen. Die Gerade g 5 ist der Graph der konstanten Funktion f() = 2. Die anderen Geraden sind Graphen von linearen Funktionen it den Funktionsgleichungen: g : f() = 2 2, g 2 : f() = 3, g 4 : f() = 7 Aufgabe 4 (a) g() = 2 (genauer gilt f() = ) (b) g( 208) = 208 und f( 208) 208,095 (c) g() ist eine Asyptote von f und = 3 ist eine senkrechte Asyptote, da = 3 eine Polstelle von f ist. Die Nullstellen von f sind = und = 2 (doppelte Nullstelle). Dait sollte an den Graphen von f zeichnen können (allenfalls hilft noch (b), bzw. die Gleichung für f in (a), u zu erkennen, dass f() > g() für < 3.

5 Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) (a) Sue = ( 2) + ( 2 3) + + ( 998 oder: = n n+ = 000 n n=2 ) ( + ) 000 = 000 = 0, n = 000 = 0, (b) 7!( ) 7 = 7! 2 7 (c) = ,295 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) (a) Für n 4, denn in diesen Fällen ist der Grad des Nennerpolynos von f grösser oder gleich de Grad des Zählerpolynos. (b) Für n = 2. Mit Polynodivision findet an die Funktionsvorschrift g() = 2 der Parabel. (c) Mit Polynodivision erhält an ( 4 3 +) : ( +) = it Rest 5. Also ist g() = und r() = 5. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) D = R\{0}. Weiter gilt: 6 = +6 = +6 = f() = +6 = + 6 < 6 = +6 = 6 = f() = 6 = 6 Dait sind y = und y = waagrechte Asyptoten und = 0 eine senkrechte Asyptote. Einzige Nullstelle ist = 6. Also sieht der Graph von f wie folgt aus: Dait ist klar, dass alle y 0 in der Bildenge f(d) liegen, sowie alle y >. Tatsächlich liegen die Zahlen y it 0 < y nicht in der Bildenge, denn f() 0 für < 0 und f() = + 6 > für > 0. Also ist f(d) = R\(0,] = (,0] (, ).