Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2019

Transkript

1 Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 09 Blatt 0: Wiederholung der Grundlagen Dieses Blatt 0 dient zur Orientierung und Selbsteinschätzung der Studierenden. Die Beispiele behandeln Inhalte, die in der Wirtschaftsmathematik VO und UE vorausgesetzt werden. Daher werden die Beispiele auch nicht in den Übungen behandelt, sondern stellen einen Teil der Inhalte des Basis-Tutoriums dar. Wir empfehlen den Studierenden, die Beispiele als Selbsttest zu rechnen und die eigenen Kenntnisse kritisch zu hinterfragen. Bei Schwierigkeiten oder Unklarheiten sollte unbedingt das Basis- Tutorium besucht werden.. Berechnen Sie: a) b) 0 c) ( + 0) d) e) 6 f) 7 g) ( ) 8 h) ( ) 6 8 Lösung: a) ; b) nicht definiert; c) ; d) ; e) nicht definiert in R; f) ; g) ; h) Eponent muss vollständig gekürzt sein!. Berechnen Sie: a) 8 + = b) = c) a = Lösung: a) 5 ; b) 5 ; c) a + 5. Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen: a) (a b) + ( a b) = b) (a b) (b a) (a + b) = Lösung: a) a + b ; b) a + a b b WM Übungen Blatt 0 SS 09

2 . Zerlegen Sie in ein Produkt: a) 9y b) a + 5ab Lösung: a) ( + y) ( y); b) a (a + 5b) 5. Vereinfachen bzw. berechnen Sie folgende Ausdrücke: a) 0ab 5b a b) y ( ) y c) y + + y y d) Lösung: a) ; b) ; c) 0a + 5b 8a + b e) 6. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: Lösung: yz y ( y) y ; d) 5 ; e) + + ; f) z ( yz + y z ) ( + yz) y z = f) 5 y y 5 z z 7. Vereinfachen Sie soweit möglich: Lösung: a + b a b a c (a b) a b [ 8. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: ( ) a) a 6 ( ) a ( ) : b = b 9 b a b a b (a ) b) (a ) a : (a ) a = ( c) 9 ) ( y z ) ( : z ) : = 5z 5z y d) = e). y 6 y 7 = Lösung: a) a6 9b ; b) a8 ; c) 5y 5 z ; d) ; e) 5 y 5 a + c ] (a b) = WM Übungen Blatt 0 SS 09

3 9. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: ( ) ( y ) : a b a b 6 ( y). 9 ( + y ) a 5 b = Lösung: ( y ) 0. Lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen auf und geben Sie jeweils die Lösungsmenge an: a) ( 6) (9 ) = 5 b) 5 = 0 c) 7 = 0 d) = 0 e) ( ) ( + ) ( ) = 0 Lösung: a) =, =, L = { ; }; b) = 0, = 5 ; c) =, = 5; d) = 6, = ; e) =, =, =. Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung mit einem Parameter b R + b 0 = 0 und eine Lösung = 5. Bestimmen Sie den Parameter b und die fehlende Lösung. Lösung: b = ; =. a) Der Gewinn eines Unternehmens ist in den letzten drei Jahren jeweils um 0% gestiegen. Um wie viel Prozent ist der Gewinn in den drei Jahren insgesamt gestiegen? b) Der Umsatz einer Unternehmung stieg von 05 auf 06 um 0 %, nahm dann von 06 auf 07 um 0 % ab. Welches von den Jahren 05 und 07 hatte den höheren Umsatz? Lösung: a) G, =, G b) U 05 = U, U 07 = U, 0, 9 = 0, 99 U. Subtrahiert man vom Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen das Doppelte der größeren Zahl, so erhält man 0. Berechnen Sie die beiden Zahlen! Lösung:,. Ein Betrag von soll unter Personen A, B, C aufgeteilt werden. B soll dabei halb soviel wie A, C halb so viel wie B erhalten. Berechnen Sie die einzelnen Anteile! Lösung: A: ; B: 000.-; C: WM Übungen Blatt 0 SS 09

4 5. Jemand hat in drei Banken A, B, C insgesamt liegen. In der Bank A liegen um mehr als in der Bank B. In der Bank C liegt ein Betrag, der um kleiner ist als der doppelte, in der Bank B befindliche Betrag. Berechnen Sie die Höhe dieser drei Guthaben! Lösung: A: ; B: ; C: Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über R an: a) < + b) ( ) ( ) ( + ) > 9 ( + ) + 5 Lösung: a) L = ] ; 5[ b) L = ] ; [ 7. Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems: Lösung: L = {(, )} + y = y = 8. Gegeben sind die Mengen A = {,,, 6, 7} und B = { N < 6}. Bestimmen Sie a) A B b) A B c) A \ B d) B \ A Lösung: a) A B = {,, }; b) A B = {,,,, 5, 6, 7}; c) A \ B = {6, 7}; d) B \ A = {, 5} 9. Von den 900 Schülerinnen und Schülern einer Schule betreiben viele regelmäßig Sport. 00 SchülerInnen spielen regelmäßig Tennis, 800 spielen regelmäßig Volleyball. Nur 50 SchülerInnen geben an, weder Tennis noch Volleyball zu spielen. Berechnen Sie, wie viele SchülerInnen beide Sportarten regelmäßig betreiben! Lösung: = = 50 WM Übungen Blatt 0 SS 09

5 0. Gegeben sind die Vektoren a und b, die in nachfolgender Zeichnung als Pfeile dargestellt sind: D C b A a B Stellen Sie den Vektor b a ausgehend vom Punkt C durch einen Pfeil dar! Lösung: klar. Gegeben sind die Vektoren a = (, ) und b = (, 0) in der Ebene. a) Stellen Sie die beiden Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem dar b) Konstruieren und berechnen Sie den Vektor c = a + b und bestimmen Sie seinen Betrag! Lösung: a) klar; b) c = 5, u = 5 + =. Eine lineare Funktion geht durch die Punkte P = (, ) und Q = (6, ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem. Lösung: Allgemeine Gleichung: 5y = 8 bzw. Hauptform: y = Ein Unternehmen operiert mit einer linearen Kostenfunktion. Eine Produktion von drei Einheiten eines Gutes verursacht Kosten in Höhe von GE, während die Herstellung von sieben Einheiten 9 GE kostet. a) Geben Sie den Term der Kostenfunktion an. b) Wie hoch sind die Fikosten der Produktion? Lösung: a) K() = + 5; b) 5 WM Übungen Blatt 0 5 SS 09

6 . Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion f. f() f() a) Bestimmen Sie durch geeignetes Ablesen die Funktionsgleichung b) Bestimmen Sie die Menge aller, für die gilt: < f () Lösung: Allgemeine Gleichung: a) y = + ; b) [ ; [ 5. Von einer Funktion f mit der Gleichung f () = a + b ist der Graph gegeben: f() 6 5 f() Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b! Lösung: a = 5 ; b = 5 WM Übungen Blatt 0 6 SS 09

7 6. Gegeben sind die folgenden Funktionen f () = g () = 6 h () = k () = e + Ordnen Sie die Funktionen den nachstehenden Graphen zu! Bestimmen Sie zunächst den Typ der Funktion und erläutern Sie dann, wie Sie ausgehend von den Basisfunktionen zu Ihrer Lösung kommen! f() f() () 0 () 0 f() f() () 0 () 0 f() f() (5) 0 (6) 0 f() f() (7) 0 (8) 0 WM Übungen Blatt 0 7 SS 09

8 7. Skizzieren Sie die folgenden Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle: a) f () = + 6 b) f () = + Lösung: c) f () = d) f () = e) f 5 () = ln () f) f 6 () = e 8. Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f () = +. Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung von f. Lösung: f () = 6 + ; f () = 6 9. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f () = + h () = + g () = e k() = ln ( ) + Lösung: f () = ; f () = + 6 ; g () = e ( + ); g () = e ( + ); h () = ( + ), h () = ( + ) ; k () = +, k () = ( + ) 0. Gegeben ist die Eponentialfunktion f mit f () = e. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von f mit der y-achse. b) Wie groß ist die Steigung der Tangente des Graphen von f an der Stelle = 0? Lösung: a) S (0, ); b) k = WM Übungen Blatt 0 8 SS 09

9 . In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion f dargestellt: f() f () f() Zeichnen Sie in die Graphik die Ableitungsfunktion f der Funktion f ein. Lösung: klar. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f () = + b + c mit b, c R. Der Graph der Funktion f verläuft durch den Ursprung. Die Steigung der Funktion im Ursprung hat den Wert null. Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und c und geben Sie die Gleichung der Funktion f an! Lösung: b = c = 0; f () = WM Übungen Blatt 0 9 SS 09