Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2019

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1 Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 019 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} und M = { 1, 0, 1, } sowie die Zuordnungsvorschrift f : M 1 M, x f(x) mit 0 für x gerade und x > 1 für x 1 für x ungerade und durch 3 teilbar sonst Skizzieren Sie diese Zuordnungsvorschrift in einem Pfeildiagramm und begründen Sie, warum durch die Vorschrift f eine Funktion definiert ist! b) Bestimmen Sie jeweils die Bildmenge der Mengen {1,, 3} und {4, 6}. c) Ist die Funktion f injektiv, surjektiv, bijektiv? Existiert eine Inverse zu f? Begründen Sie!. P Gegeben sind die Mengen A = {a 1, a, a 3, a 4 } und B = {b 1, b, b 3 } von Rohstoffen und eine Menge M = {m 1, m, m 3, m 4 } von Maschinen, auf denen die Rohstoffe weiterverarbeitet werden können. Die folgenden Zuordnungsvorschriften geben an, auf welchen Maschinen die jeweiligen Rohstoffe verarbeitet werden. f : A M mit f (a 1 ) = m 1, f (a ) = m, f (a 3 ) = m 3, f (a 4 ) = m 4 g : A M mit g (a 1 ) = m 1, g (a 3 ) = m 3, g (a 4 ) = m h : B M mit h (b 1 ) = m, h (b ) = m 3, h (b 3 ) = m 4 Welche der Vorschriften sind Funktionen? b) Welche der Funktionen aus sind injektiv, surjektiv, bijektiv? c) Bestimmen Sie, wenn möglich, die Umkehrfunktionen! 3. P Gegeben sind die Funktionen f : R + R, x x und g : R R, x x Bilden Sie nun, wenn möglich, die Funktionen f g sowie f g. b) f g = f (g (x)) sowie g f = g (f (x)) Welche Voraussetzungen sind dabei zu beachten? WM Übungen Blatt 4 1 SS 019

2 4. P Gegeben ist die reelle Funktion: f : R R, f (x) = e x 1 Skizzieren Sie diese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle. b) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion und geben Sie die Bildmenge an! c) Untersuchen Sie die Funktion anhand der Skizze auf Monotonie, Beschränktheit sowie das Verhalten im Unendlichen! d) Ist die Funktion f injektiv, surjektiv, bijektiv? 5. Für welche reellen Zahlen x ist die folgende Funktion f(x) definiert? x + 3x + 10 ln(x 6) 6. Bestimmen Sie, wenn möglich, die Inverse zur Polynomfunktion 1 x + 8 im Intervall [-3, -1]! 7. Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Skizzieren Sie die erste Ableitung dieser Funktion! y x 8. Gegeben ist die Funktion x x + 3 Diskutieren Sie diese Funktion, d.h. bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Monotonie, das Krümmungsverhalten und das Verhalten im Unendlichen. Skizzieren Sie den Graphen! WM Übungen Blatt 4 SS 019

3 9. Bestimmen Sie die Grenzwerte: lim x x x 4 ln x b) x lim c) lim x x 0 x ln x Gegeben ist die Funktion f : R R mit e 1 x 1. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom p(x) zweiten Grades mit Entwicklungsstelle x 0 =! b) Approximieren Sie e 0,5 mit Hilfe des Polynoms aus, indem Sie den Funktionswert von p an der Stelle x = 3 berechnen! 11. P Gegeben ist die Funktion: f : ] ; [ R mit ( f (x) = ln 1 + x ) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom p(x) zweiten Grades mit Entwicklungsstelle x 0 = 0! b) Approximieren Sie ln (1, 5) mit Hilfe des Polynoms aus, indem Sie den Funktionswert von p an der Stelle x = 1 berechnen! 1. Berechnen Sie sämtliche Stammfunktionen und das bestimmte Integral im Intervall [0, 1] für: e x + x 1 Hinweis: e 3, P Bestimmen Sie alle Funktionen, deren zweite Ableitung f (x) = 1 e 1 x + x 3 ist! 14. Bestimmen Sie: ˆ x ln(x ) dx b) ˆ1 x (x 3 + 1) 5 dx P Bestimmen Sie: ˆ 3 x x dx b) ˆ4 0 3 x + 1 dx WM Übungen Blatt 4 3 SS 019

4 16. P Gegeben ist die Funktion x 1 x. Berechnen Sie das bestimmte Integral im Intervall [-1, 1] und skizzieren Sie die Funktion! Begründen Sie, warum der Wert des bestimmten Integrals in diesem Fall nicht der Fläche zwischen der Funktion und der x-achse im angegebenen Intervall entspricht! Wie groß ist diese Fläche? 17. Skizzieren Sie die folgenden Funktionen und berechnen Sie, wenn möglich, die uneigentlichen Integrale: ˆ 1 3 dx b) x ˆ 0 (1 + e x ) dx 18. Eine Grenzkostenfunktion ist gegeben durch K (x) = 3x x +. Erklären Sie den Begriff Grenzkosten. Was gibt die Grenzkostenfunktion an? b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion, wenn für eine Produktion von zwei Einheiten Gesamtkosten in Höhe von 31 anfallen! c) Wie hoch sind die Fixkosten der Produktion? d) Welche Kosten fallen bei einer Produktion von x = 4 an und wie hoch sind an dieser Stelle die Grenzkosten? e) Bestimmen Sie die Durchschnittskostenfunktion und deren Wert an der Stelle x =! f) Das Produkt wird zu einem konstanten Preis von p = 55 abgesetzt. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion, die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den Maximalgewinn! 19. P Die Preis- Absatzfunktion eines Unternehmens kann durch die Funktion beschrieben werden. p(x) = 8 e 1 5 x (8 Punkte) Bestimmen Sie diejenige Produktionsmenge, für die der Erlös maximal wird und zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt! b) ( Punkte) Bestimmen Sie die Nachfragefunktion x (p)! c) ( Punkte) Bestimmen Sie den Wert der Grenznachfrage an der Stelle p = und interpretieren Sie den erhaltenen Wert! WM Übungen Blatt 4 4 SS 019

5 0. Der S-förmige Kostenverlauf eines Betriebes wird durch ein Polynom 3. Grades beschrieben. Die Fixkosten der Produktion betragen 6 GE. Die Grenzkosten sind an der Stelle x = 6 minimal. Die Gesamtkosten an dieser Stelle betragen 4 GE. Die Grenzkosten an der Stelle x = 0 betragen 18 GE. Die Preis-Absatzfunktion lässt sich durch p(x) = 3 x + 18 beschreiben. Bestimmen Sie Höchstpreis und Sättigungsmenge! b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(x), sowie die Erlösfunktion E(x)! c) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge sowie den maximalen Gewinn! d) Ab welcher Erzeugungsmenge gilt das Gesetz der schließlich zunehmenden Grenzkosten? 1. In einem Land gilt folgende Form einer progressiven Einkommensteuer: Für Einkommensteile Steuersatz 0 bis einschließlich jährlich 0% über bis einschließlich jährlich 10% über jährlich 0% Erstellen Sie eine stückweise lineare Funktion T (x), die die Höhe der abzuführenden Steuer in Abhängigkeit von der Höhe des Einkommens beschreibt und skizzieren Sie deren Graphen. Ist T (x) differenzierbar und/oder stetig? Welche Monotonieeigenschaften hat T (x)? b) Bestimmen Sie die Grenzsteuerfunktion T (x) zur Steuerfunktion aus und skizzieren Sie deren Graphen. c) Untersuchen Sie die Stetigkeit an der Stelle x = Welche Monotonieeigenschaften hat T (x)? d) Bestimmen Sie die zu entrichtende Einkommensteuer für ein Einkommen der Höhe WM Übungen Blatt 4 5 SS 019

6 . P Gegeben ist die Funktion f : R R, mit: 1 x 1 x x + 5 x > Überprüfen Sie, ob f über ganz R stetig ist! b) Existiert die Ableitung f (x) an der Stelle x =? Begründen Sie! Wenn möglich, bestimmen Sie f (). c) Wie groß ist die Fläche, die die Funktion f und die Funktion g : R R, mit g(x) = 1 im Intervall [0; ] einschließen? Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! WM Übungen Blatt 4 6 SS 019