Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 07. Mai 206 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 . a) (7 Punkte) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie die Gleichung nach der Variablen x auf. ln(e 2 ) log (7 x) = log ( x) + log (4) b) ( Punkte) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über R an. c) (2 Punkte) Berechnen Sie: Ò x Æ 0 Ausführung Beispiel : ÿ 5ÿ m=0 n= m n +2

3 Ausführung Beispiel : Lösung: È a) D = Œ ; 5 b) L =, 6 6 c) Ë ; L = { ; }

4 2. a) (4 Punkte) Drei Kaufleute gehen spazieren und haben Goldstücke in ihren Taschen. Da sehen sie auf dem Weg eine Geldbörse mit 5 Goldstücken. Einer von ihnen sagt zu den anderen: Wenn ich diese Börse behalte, so werde ich zweimal so reich sein wie ihr beide zusammen! Da sagt der zweite von ihnen: Wenn ich aber diese Börse behalte, dann werde ich dreimal so reich sein wie ihr beide zusammen. Zuletzt sagt der dritte: Wenn ich diese Börse behalte, werde ich fünfmal so reich sein wie ihr beide zusammen!. Stellen Sie den Sachverhalt mithilfe eines linearen Gleichungssystems in Matrixform dar. b) (4 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems: x +2y + z =2 x +2y +z =2 c) (4 Punkte) Gegeben ist die n n-matrix A mit A 4 =0.Prüfen Sie, ob die Inverse Matrix von (E A) folgende Darstellung hat: Ausführung Beispiel 2: (E A) = E + A + A 2 + A.

5 Ausführung Beispiel 2: Lösung: Q R Q R Q R 2 2 x 5 a) c a d c b ayd b = c a 5 d b 5 5 z 5 Q R Q R Q R x 0 b) c ayd b = c a d b + t c a 2 d b z 0 c) (E A) = E + A + A 2 + A (E A) (E A) =! E + A + A 2 + A " (E A) E = E A 4 E = E

6 . a) (4 Punkte) Untersuchen Sie die Folge a n auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen Sie, falls vorhanden, Häufungspunkte und Grenzwert der Folge. a n = e n+ n,nø 2 b) (4 Punkte) Untersuchen Sie die Folge b n auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen Sie, falls vorhanden, Häufungspunkte und Grenzwert der Folge. b n = c) (4 Punkte) Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz. Ausführung Beispiel : A ( ) n + B 2n2 n,nø +2n Œÿ ( ) n n + n= n 2

7 Ausführung Beispiel : Lösung: a) a n monoton fallend, beschränkt und daher konvergent. Grenzwert: e b) b n nicht monoton, beschränkt und nicht konvergent. Häufungspunkte: ± c) Konvergent nach Leibniz-Kriterium

8 4. Gegeben ist eine geknickte, lineare Preis-Absatz-Funktion p = p (x) gemäß nachstehender Skizze, wobei x die Menge und p den Preis des angebotenen Gutes symbolisieren: p(x) p x a) (4 Punkte) Bestimmen Sie anhand der Skizze eine mathematische Darstellung der Preis- Absatz-Funktion und ermitteln Sie daraus eine mathematische Darstellung der Erlösfunktion. (Hinweis: abschnittsweise definierte Funktionen). b) (5 Punkte) Die Gesamtkostenfunktion des Anbieters ist gegeben durch: K(x) = + x Zeichnen Sie diese Kostenfunktion in das gegebene Koordinatensystem ein. Skizzieren Sie die Erlösfunktion im gegebenen Koordinatensystem und bestimmen Sie die Menge, bei der der Gewinn maximal ist, sowie die Höhe des maximalen Gewinns. Der Nachweis des Maximums ist nicht nötig. c) ( Punkte) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion p(x) an der Stelle x = 6 stetig ist. Ist die Funktion p(x) an der Stelle x = 6 auch di erenzierbar? Begründen Sie. Ausführung Beispiel 4:

9 Ausführung Beispiel 4: Lösung: a) p(x) = p(x) I 2x +6 für 0 Æ x Æ 6 ; E(x) = x +2 für 6 <xæ8 2 E p K I 2 x2 +6x für 0 Æ x Æ 6 2 x2 +2x für 6 <xæ8 x b) x =5; G(5) = 9 2 c) lim p (x) = lim p (x) =p (6) = ; Nichtdi erenzierbardaknickstelle! xæ6 + xæ6

10 5. Eine mehrdimensionale Funktion f(x, y) in den Variablen x und y ist gegeben als: Der Definitionsbereich D ist gegeben als: f(x, y) = ln(x 2 +)+e x y 2 {(x, y) œ R 2 ( y Æ2) (x Æ 2) (x 2 + y 2 Æ 9)} a) (4 Punkte) Skizzieren Sie den Definitionsbereich im nachstehenden Koordinatensystem. b) (6 Punkte) Bestimmen Sie die lokale Extremstelle der Funktion und weisen Sie nach, dass es sich um ein Minimum handelt. c) (2 Punkte) Wo liegen die globalen Maxima der Funktion auf D? Begründen Sie! Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: Lösung: 2 a) b) STP(0, 0); H = -2 - A B 2 0 daher Minimum 0 2 c) Kein lokales Maximum auf D. Daher muss das Maximum am Rand liegen. Sinnvolle Punkte für Maxima sind (2,2), (2,-2).