Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 18. März 2017 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. a) (6 Punkte) Bestimmen Sie die Definitionsmenge, lösen Sie die Gleichung nach der Variablen x auf und geben Sie die Lösungsmenge an. Ô 1 4x 1= Ô 2x b) (6 Punkte) Berechnen Sie: Ausführung Beispiel 1: 13 ÿ r=3 s=2 5ÿ (2s + r)

3 Ausführung Beispiel 1: Lösung: a) D =] Œ, 0] L = { 2, 0} b) 660

4 2. a) (8 Punkte) Ein Produktionsunternehmen stellt drei verschiedene Werkzeugtypen A, B und C her. Folgende Restriktionen wurden von der Unternehmensleitung vorgegeben: (I): Insgesamt sollen im nächsten Jahr Stück verkauft werden. (II): Ein Werkzeug vom Typ A und Typ C belegt die Maschine des Unternehmens für jeweils 2 Zeiteinheiten, ein Werkzeug vom Typ B für jeweils 6 Zeiteinheiten. Insgesamt stehen Zeiteinheiten zur Verfügung. (III): Ein Gesamterlös von Euro soll erwirtschaftet werden. Ein Stück von Typ A bringt einen Erlös von 12 Euro, ein Stück von Typ B 20 Euro und ein Stück von Typ C 5 Euro. Wie viele Stück des Typs A, B und C muss das Unternehmen produzieren um die Vorgaben zu erfüllen? Stellen Sie aus den Angaben ein Gleichungssystem in Matrixform auf und lösen Sie dieses Gleichungssystem unter Verwendung des Gauß-Algorithmus. Q R 1 2 b) (4 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = c a 2 4 d b.für welche a œ R besitzt das a 8 Gleichungssystem A x = 0 nur die triviale Lösung? Ausführung Beispiel 2:

5 Ausführung Beispiel 2: Lösung: a) ( , , ) b) a = 4

6 3. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung in eine neue Produktionsanlage zu investieren. Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung der Aufgaben Bruchzahlen anstelle von Dezimalzahlen! a) (4 Punkte) Die Planung der Investitionseinnahmen und -ausgaben ergab folgende Werte (in Mio. Ä): Jahr Einnahmen Ausgaben Ermitteln Sie den Kapitalwert der Investition, wenn ein (unrealistischer) Kalkulationszinssatz von i = 50% unterstellt wird. b) (4 Punkte) Angenommen die Anlage generiert über 4 Jahre einen konstanten jährlichen Cashflow C, der jeweils am Jahresende anfällt. Für welches C beträgt der Barwert dieser Cashflows 130 Mio. Ä? (i =50%) c) (4 Punkte) Für welchen Zinssatz i beträgt der Kapitalwert des Projektes 200 Mio. Ä, wenn unendliche Nutzungsdauer und konstante Cashflows in Höhe von 12 Mio. Ä unterstellt werden und die Anscha ungsauszahlung 100 Mio. Ä beträgt? Ausführung Beispiel 3:

7 Ausführung Beispiel 3: Lösung: a) 100 b) C =81 c) i =0, 04

8 4. Gegeben sind die folgenden drei Funktionen f(x) =x 2 +2x 8 g(x) = Ô x h(x) = ln(x +2) Bestimmen Sie a) (3 Punkte) den Definitionsbereich der Funktion l(x) = (g f)(x) h(x) b) (3 Punkte) den Grenzwert f(x) lim xæœ h(x) c) (3 Punkte) die erste Ableitung der Funktion g h und untersuchen Sie damit, ob g h über ihrem Definitionsbereich (streng) monoton fallend bzw. steigend ist. d) (3 Punkte) alle lokalen Extremwerte der Funktion k(x) =[g(x)] 2 + h(x) auf ihrem Definitionsbereich. Hinweis: (g f)(x) =g (f (x)) Ausführung Beispiel 4:

9 Ausführung Beispiel 4: Lösung: a) Es gilt und damit folgt D =[2, Œ). Regel von de l Hospital: Ô g f h = x2 +2x 8 ln(x +2) x 2 +2x 8 2x +2 lim = lim xæœ ln(x +2) xæœ 1 x+2 = Œ. a) Es gilt g h = Ò ln(x +2) und auf dem Definitionsbereich (g h) Õ = Òln(x +2) x +2 > 0. b) Es gilt und Löst man die Gleichung k(x) =(g 2 + h) =x + ln(x +2) k Õ (x) = x +3 x +2 x +3=0 erhält man x = 3. DieserWertliegtjedochnichtinderDefinitionsmengevonk!Daher besitzt die Funktion k(x) keine lokalen Extremwerte.

10 5. a) (3 Punkte) Erklären Sie, warum sich zwei Isoquanten einer allgemeinen Funktion f(x, y), die zu unterschiedlichen Niveaus c 1 und c 2 gehören, nicht schneiden können. b) Gegeben ist die Funktion f(x, y) =x 4 +2y 2 4x 2 y +4y. i. (4 Punkte) Bestimmen Sie alle stationären Stellen von f. ii. (5 Punkte) Bestimmen Sie die Hessematrix von f und klassifizieren Sie die stationären Stellen von f. Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: Lösung: a) Im Schnittpunkt würde die Funktion f die zwei unterschiedlichen Werte c 1 und c 2 haben. Dies steht im Widerspruch zur Definition einer Funktion. b) grad(f)(x, y) =(4x 3 8xy; 4y 4x 2 +4), Stationäre Punkte: (0; 1), ( Ô 2; 1) und ( Ô 2; 1), A 12x 2 B 8y 8x Hessematrix:, 8x 4 (0;-1) ist lokales Minimum, ( Ô 2; 1) und ( Ô 2; 1) sind Sattelpunkte.