Klausur Wirtschaftsmathematik Lösungshinweise

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik Lösungshinweise Prüfungsdatum: 9. Januar 05 Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW Aufgabe Auf einem Markt konkurrieren zum Zeitpunkt t insgesamt 3 Produkte P ; P und P 3 mit den jeweiligen Marktanteilen von xt T D ; 3 ; Die Matrix A D.aij / 3;3 mit 0 A D A charakterisiert die anteiligen Käuferfluktuationen zwischen den Produkten, dabei sei a ij Œ0; der Anteil an Käufern von Produkt P i zum Zeitpunkt t, der zum Zeitpunkt t C zu Produkt P j wechselt. a) Interpretieren Sie die Koeffizienten a und a der Matrix A. b) Berechnen Sie die Marktanteile der 3 Produkte zum Zeitpunkt t C. c) Welche Marktanteile ergeben sich langfristig, wenn sich das Wechselverhalten der Käufer, beschrieben durch die Matrix A, im Zeitablauf nicht ändert, also die Gleichung xtc T D xt t A D xt T erfüllt ist (stationäre Marktverteilung)? Hinweise zu c): Mit E als einer 33-Einheitsmatrix gilt: Die Lösung des Gleichungssystems x T.A E/ D 0 ist äuivalent zur Lösung des Gleichungssystems.A E/ T x D 0. Bedenken Sie die 4. Gleichung: Die Summe der 3 Marktanteile ist zu jedem Zeitpunkt 00%. a) a D 0,3 bedeutet: 30 % aller aktuellen P -Käufer wechseln im nächsten Zeitraum zu P a D 0,: Von P wechseln 0 % im nächsten Zeitraum zu P. b) xtc T D xt t A D.0,9; 0,3; 0,4/ c).a E/ T x D A x D

2 Aufgabe Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem mit den Strukturvariablen x; y R C, einer Konstanten k R, der Zielfunktion F und den Nebenbedingungen N, N, N 3 und N 4 mit Zielfunktion: kx C y! min.f / Nebenbedingungen: 3x C y = 6.N / x y 5.N / x C y = 5.N 3 / x C y 5 4.N 4 / Für die Teilaufgaben a) bis c) sei der Wert der Konstanten k in der Zielfunktion gleich. 4 y A N a) Skizzieren Sie den Zulässigkeitsbereich Z des Problems. Benutzen Sie dazu das vorgegebene Koordinatensystem rechts. b) Berechnen Sie die relevanten Eckpunkte von Z. c) Benutzen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) und bestimmen Sie damit die Menge der Optimallösungen des Problems. B C E D N 3 N N 4 5 x Kann k so gewählt werden, dass der Schnittpunkt der Randlinien von d) N 3 und N 4 bzw. von e) N und N 4 optimal ist? Geben Sie k für d) und e) gegebenenfalls an. a) siehe Zeichnung b) A D.0; 4/; B D.0; 3/; C D.0:5; :5/; D D.:4; :8/; E. 5 3 ; 7 3 / c) ZF.A/ D 4, ZF.B/ D 3, ZF.C / D ;75, ZF.D/ D 3;, ZF.E/ D =3 D 4, optimal ist also C. d) Das geht nicht, Schnittpunkt ist außerhalb des Zulässigkeitsbereichs. e) E D.5=3; 7=3/ ist optimal, wenn ZF.E/ 5 ZF.A/ und ZF.E/ 5 ZF.D/, k 5 3 C k 0 C 4 und k 5 3 C k 7 5 C 9 5, k 5 und k 5, k 5

3 Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen s a n D nš ; b 4n n D n 9n.5 C n/ ; c n D n C b) Gegeben sei die Reihe.t n / mit t n D nx kd0 p k :. Für welche p R konvergiert.t n /?. Für welches p R gilt lim n! t n D 0? a) lim a n D 0; lim b 4 n D n! n! 9 D 3 ; lim c n D n! D 4 b). Es muss gelten ˇ ˇ <. Daraus folgt jpj >, also p. ; / [.; /.. p p D 0, p p D 0, p D 5 4

4 Aufgabe 4 Die Eltern von Susi Sorglos möchten ihr ein Studium finanzieren. Dazu schenken sie ihr an ihrem sechsten Geburtstag, dem. Januar 003, eine Kapitalversicherung. Die Eltern verpflichten sich dabei, jährlich vorschüssig ab diesem Datum und an jedem der folgenden Geburtstage einen Betrag von 3 auf das Versicherungskonto einzuzahlen. Die letzte Einzahlung erfolgt an Susis 8. Geburtstag. (Gehen Sie im Folgenden von Ein- und Auszahlungen auf ein Konto mit einem konstanten jährlichen Zinssatz von 6% aus.) a) Über welchen Betrag kann Susi nach der letzten Einzahlung am. Januar 05 verfügen? b) Susi rechnet damit, dass sie ab dem. Januar 05 bis zum Bachelor 3 Jahre studieren wird. Über welchen Betrag könnte sie monatlich nachschüssig verfügen, wenn Ihr Vermögen zum Beginn Ihres Studiums beträgt? c) Susi entschließt sich an Ihrem 8. Geburtstag auf die Zuwendung ihrer Eltern zu verzichten, nicht zu studieren und gleich mit ehrlicher Arbeit Geld zu verdienen. Sie möchte erst einige Jahre sparen, dabei rechnet sie damit, pro Jahr 3000 nachschüssig zurücklegen zu können. Von dem angesparten Geld und den Zinsen (6 % p.a.) möchte sie vor Ihrem 40. Geburtstag eine mehrjährige Weltreise unternehmen. Wie viele Jahre muss sie arbeiten, bis sie von dem angesparten Geld bis zu Ihrem 40. Geburtstag jährlich nachschüssig entnehmen kann? (Hinweise: Überlegen Sie wie lange das Projekt insgesamt dauert und setzen sie den Endwert der Ansparphase gleich dem Barwert der Weltreisephase.) a) Vorschüssige Rente plus die letzte Zahlung am 8. Geburtstag: R n D 3 ;06 ;06 ;06 C 3 D 5575,4 b) r e D r C 0;06 D r ;33 und R0 D 0:000 D r e ;063 ;06 ;06 3 ; damit: r D ;06 ;33. ;06 3 / D 303;4 c) Endwert Ansparphase ist gleich Barwert Weltreisephase. Gesamtdauer Projekt: Jahre, x Jahre ansparen, x Jahre entnehmen: 3000 ;06x x ;06 D ;06 ;06 x ;06 ;06 x D 0 ;06 x ;06 x C 0 ;06 x ;06 D ;06 x D C 0 ;06 x D ln. C0;06 ln ;06 8, Die Weltreise kann nach der 9. Ansparzahlung, also am 37. Geburtstag starten, Susi kann bis zum 40. Geburtstag damit 3 Jahre auf Weltreise bleiben, bis das Konto vollständig geplündert ist.

5 Aufgabe 5 Gegeben sei die Funktion f W D! R mit D R mit f.x/ D e x 3x C 5 : a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an. b) Hat f Nullstellen? Wenn ja: für welche x? c) Berechnen Sie die erste Ableitung von f. d) Bestimmen Sie ohne die zweite Ableitung alle Extremalstellen von f. a) D D R, da das Argument der Wurzel für kein x negativ wird. b) f hat keine Nullstellen (Argument der Wurzel ist immer positiv). c) f 0.x/ D e x 3x C 5 C e x 3x C 5 6x D e x 3x C 5 3x 5 C 3x d) Der Term vor der Klammer ist immer positiv. Nullstellen der Klammer, also für x x C 5 36 D 0 bei ( x = D D 3 D =6. 5=6 f 0.0/ < 0, also ist f str. mon. fallend für x. I =6/, f ist str. mon. steigend für x.=6i 5=6/ und wieder str. mon. fallend für x.5=6i /. Damit hat f ein lokales Minimum bei x D =6 und ein lokales Maximum bei x D 5=6.

6 Aufgabe 6 Gegeben ist die Funktion g W R! R durch g.s; t/ D 3 s.s 3/ C t.t / a) Bestimmen Sie den Gradienten rg.s; t/, sowie die kritischen Stellen von g. b) Bestimmen Sie die Hesse-Matrix H g.s; t/. c) Zeigen Sie nun, dass die Funktion g zwei Sattelpunkte, ein lokales Minimum und ein lokales Maximum hat, und geben Sie die jeweiligen Stellen an. a) Berechnung des Gradienten:.rg/.s; t/ D.s.s /; 3t / > Kritische Stellen sind damit.0; /,.0; /,.; / und.; /. b) Hesse-Matrix: H g.s;t/ D s 0 0 6t c) Mit D D det.h g / D 6t.s / ergibt sich für die vier obigen Punkte: D.0;/ D 4; D.0; / D 4; D.;/ D 4; D.; / D 4 Damit sind.0; / und.; / Sattelpunkte,.0; / ist ein relatives Maximum und.; / ein relatives Minimum.