Test 1 Bearbeitungszeit ca. 10 Minuten, Bewertung 2+3 Pkte Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge: a) 15

Transkript

1 Vorbemerkung zu den Testaufgaben Die klausurrelevanten Aufgabentypen, der Klausurablauf und das Bewertungsschema (Stichwort: Methodenpunkte ) sind im Klausurinfo erläutert.! Die Klausureingrenzung besteht in Aufgabentypen. Die Testaufgaben sind eine unvollständige Sammlung von Beispielen dieser Aufgabentypen keine weitere Klausureingrenzung! Die folgenden Testaufgaben dienen aber dazu... (Fragestellung)...dass Sie Sicherheit für Fragestellungen zu jedem Aufgabentyp bekommen. Natürlich können diese in der Klausur leicht variieren, es werden aber keine (völlig) neuartigen Fragestellungen auftauchen. (Bewertung/Schwierigkeitsgrad)...dass Sie den zu erwartenden Schwierigkeitsgrad und den Punkteertrag für die einzelnen Aufgabentypen besser einschätzen können, es wird nicht schwieriger. (Zeitaufwand)...dass Sie ein Gefühl für Ihren eigenen Zeitaufwand bekommen und in Ihrer Vorbereitung entsprechend gegensteuern können. Bei insgesamt 0 Minuten Bearbeitungszeit für 0 Punkte können Sie, nach Abzug eines gewissen Leerlaufs, durchschnittlich ca. zwei Minuten Netto-Bearbeitungszeit je Bewertungspunkt ansetzen. Alle Testaufgaben sind Vorlesungsbeispiele, Übungs- oder Tutoriumsaufgaben und somit mit Ergebniskontrolle (und einem möglichen Lösungsweg). Sie können selbst diese Aufgaben und andere Aufgaben dieses Aufgabentyps leicht so abändern, dass sich die benötigte Methode, der Umfang der Aufgabe und der Schwierigkeitsgrad nicht ändern (z.b. x statt x verwenden oder, bei zwei Variablen, x und y vertauschen). Stellen Sie sich derart abgeänderte Aufgaben gegenseitig und lösen Sie diese unter Klausurbedingungen! Hier nicht enthaltene, weitere Testaufgaben: Die beiden Klausuren vom WS 0/07 und vom SS 07 zu Mathematik (ohne/mit Ergebniskontrolle). Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge: a) x+ x und x>0 b) ( x ) < Abänderungsbsp.: x statt x in (a) liefert: x x und x< Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge: a).0 x b) e x +x = Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

2 Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung ++ Pkte a) Lösen Sie das folgende lineare Ungleichungssystem auf und skizzieren Sie dessen Lösungsmenge L () x + y () x +y 0 () x +y 0 7 () y () x Bitte übertragen Sie L korrekt in die Diagramme unten! b) Maximieren Sie bzgl. der Lösungsmenge L aus (a) die lineare Zielfunktion z =x +y halbgraphisch : Zielgerade mit maximalem z-wert einzeichnen, Maximalstelle (x 0,y 0 ) markieren, Maximalstelle (x 0,y 0 ) und Maximalwert z 0 rechnerisch bestimmen. 0 9 zu b) z =x +y 0 9 zu c) z = x / y c) Maximieren Sie bezüglich der Lösungsmenge L aus (a) die Zielfunktion z = x / y halbgraphisch : Relevante Beschränkung und relevante Kurve zum maximalen z-wert hervorheben, Maximalstelle (x 0,y 0 ) markieren, Maximalstelle (x 0,y 0 ) und Maximalwert z 0 rechnerisch bestimmen. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

3 Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung ++ Pkte a) a n := n + n, n N. Grenzwert lim n a n =? b) a n := n/ n / +n / 7n / n / 7n + n / c) Test j=9 j =?, n N. Grenzwert lim n a n =? Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Bestimmen Sie für die Folge s n,n N, jeweils den Grenzwert für n a) s n = n i=0 b) s n = n Test k=0 ( ) i ( )k ( )k Bearbeitungszeit ca. Minuten, Bewertung ++ Pkte Eine endliche Folge von jährlichen Zahlungen a i (i =,...,n), die um den konstanten Betrag d zunehmen, soll sich in n Jahren zu einem Wert von s n = 0 aufsummieren (z.b. bei einer einfachen Form der Abschreibung oder der Mittelbewirtschaftung). Die Zahlungen erfolgen in festgelegten, nicht weiter teilbaren Geldeinheiten/Stückelungseinheiten. a) Welchen Wert hat d und wie errechnet sich s n aus d, n und dem Anfangswert a? b) n = Jahre und d = 8 werden festgelegt. Welchen Wert muß a haben? c) a = und d = werden festgelegt. Was folgt für die Anzahl n? Test 7 Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung +++ Pkte Geg.: Laufzeit n = Jahre, Einzahlungen vorschüssig, jährliche Verzinsung, Anlageformen mit Einzahlungen in Geldeinheiten g : (A) g zu Beginn mit i = %; Endwert=? (B) g zu Beginn mit Zinsstaffel i = %, i = %; Endwert=? Effektiver Zinssatz=? (C) g jährlich mit Zinsstaffel i = %, i = % bzw. i = %, i = %; (D) g jährlich mit i = % (konstant); Barwert=? Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

4 Test 8 Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Ein Betrag K soll ohne Startkapital jährlich vorschüssig über 0 gleiche Raten der Höhe A angespart werden um dann ab dem folgenden Jahr durch eine vorschüssige jährliche Rente der Höhe R in Jahren aufgebraucht zu werden. Gegeben: Kalkulationszins i = p% (fest, aber zunächst nicht näher festgelegt). Gegeben (als Ziel): Rentenhöhe R>0 Gefragt: a) Ratenhöhe A in Abhängigkeit von R und q, wobei q =+i, d.h. gefragt ist eine Gleichung A =?, wobei rechts vom Gleichheitszeichen nur die Symbole R und q auftreten (bitte hierbei möglichst gut zusammenfassen/auskürzen). Sie dürfen (müssen nicht) die folgenden Formeln verwenden, wobei v = /q : (F) Endwert bei jährlicher Ratenzahlung A über m Zinsperioden E m = K 0 q m + A q t qm q, vorschüssig: t =, nachschüssig: t =0 (F) Barwert einer jährlichen Rente R über m Zinsperioden B m = R v t vm v = R q t q qm m q, vorschüss: t = 0, nachschüss: t = b) Welcher Wert ergibt sich damit (approximativ) für A, wenn nun konkret i =.% und R = g festgelegt sind? [Hilfswerte.0.,.0 0.,.0.9] Test 9 Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Der Kapitalendwert K n soll eine Steigerung von K 0 > 0 um 0% sein. a) Gegeben: n = 0. Erforderliche Rendite i = p% =? b) Gegeben: i = %. Erforderliche Laufzeit n =? [Hilfswerte:.0 /0 =.00,. /0 =.0,. /0 =.0, ln. 0., ln. 0.8, ln.0 0.0, ln.0 0.0] Test 0 Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung Pkte Ratenkauf mit konstanter jährlicher Rate A : Vertragsdauer Jahre, der Vertrag beginnt mit Zahlung der ersten Rate und endet mit Zahlung der letzten Rate, Kalkulationszinssatz i = %. Bei welcher Ratenhöhe A bedeutet der Ratenkauf eine Preiserhöhung von % gegenüber dem Bar-Kaufwert K? Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

5 Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden einstufigen Bedarfstabellen und Preise wie unten angegeben. a) Bestimmen Sie die Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung. b) Welchen Rohstoffbedarf R erfordert die angegebene Endproduktion ( Produktionsziel ) E? Welcher Verkaufserlös und welche Rohstoffkosten enstehen hierbei? Zwischenprodukte Z Z Z Z Rohstoffe R R R 0 Endprodukte E E E Zwischen- Z 0 produkte Z Z Z 0 Rohstoffpreise r =(r,r ) = (, ), Verkaufspreise p =(p,p ) = (00, 00), Produktionsziel E = Test Bearbeitungszeit 0 Minuten, Bewertung ++ Pkte a) Führen Sie die folgenden drei Matrixoperationen aus ( nicht definiert ist ggf. auch ein Ergebnis). Hierbei ist A = 0 ; B = ; C =(/ /) 0 () C B () B C () (E A) T b) Geben Sie irgendeine Matrixmultiplikation an (ggf. mehrere Faktoren, einer davon die Matrix A aus (a)), die als Ergebnis das arithmetische Mittel der dritten Zeile von A liefert. Führen Sie diese Multiplikation aus. c) Sortieren Sie mit einer Matrixmultiplikation die Zeilen der Matrix A aus (a) absteigend nach ihrem letzten Element. Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung + Pkte Gegeben ist die folgende Matrixgleichung, wobei X unbekannt ist: 0 X = a) Welche Dimension muss X haben, damit die Gleichung definiert ist? b) Lösen Sie die Gleichung nach X auf. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von.

6 Test Bearbeitungszeit ca. Minuten, Bewertung Pkte Eine der folgenden drei Matrizen B,C,D ist die Inverse der Matrix A. Welche? (Zählt nur mit Begründung, bitte nur kurz stichwortartig begründen.) A = 0 0, Kandidaten B,C,D für A : B =, C =, D = Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben den Gauß-Jordan-Algorithmus auf anderem Weg gefundene Lösungen zählen nicht. Test Bearbeitungszeit ca. Minuten, Bewertung 7 Pkte Lösen Sie simultan die folgenden linearen Gleichungssysteme für die beiden angegebenen Zielvektoren a und b : a b x x + x = x + 0 x + x = 0 x + x x = Test Bearbeitungszeit ca. 0 Minuten, Bewertung Pkte Sind die folgenden drei Zeilenvektoren a, b, c linear unabhängig? a = ( ) b = ( 0 0 ) c = ( ) Test 7 Bearbeitungszeit 0 Minuten, Bewertung Pkte Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = Test 8 Bearbeitungszeit ca. Minuten, Bewertung Pkte Bestimmen Sie aus dem folgenden Schlußtableau eines simultan durchgeführten Gauß-Jordan-Algorithmus die Lösungsmengen L b und L c der zugehörigen linearen Gleichungssysteme Ax = b und Ax = c. x x x b c x x x b c Algorithmus 0 0 A / Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von