Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (3) 10 8+(5) 7 8+(3) 70 +(11) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : An einem bestimmten Tag nehmen 500 Studierende Essen in der Mensa ein. Es sind Salate, Hauptgerichte und Desserts im Angebot. 120 Studierende essen sowohl Salat, als auch ein Hauptgericht und Dessert, 30 essen nur Salat und Dessert, 100 nur Hauptgericht und Dessert, und 50 nur Salat. Es werden insgesamt 250 Salate und 250 Desserts verzehrt. Wieviele Studierende essen nur ein Hauptgericht ohne Salat und Dessert? Wieviele Hauptgerichte werden insgesamt verzehrt? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms. Aufgabe 2 : Sind die folgenden Aussagen A und B äquivalent? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen. A: Wenn es genug schneit, dann können die Kinder rodeln gehen. B: Es schneit genug oder die Kinder können nicht rodeln gehen. Aufgabe 3 : Herr Sparbier hat am ein Konto bei der Privatbank R.Eich eröffnet und einen Betrag K 0 eingezahlt. Dieser Betrag ist so berechnet, dass bei einer exponentiellen Verzinsung von 1% p.a. seine Tochter Yessica ab dem monatlich vorschüssig eine Studienbeihilfe in Höhe von 500e erhalten kann. Diese Studienbeihilfe soll 7 Semester lang (letztmalig am ) ausgezahlt werden. Welchen Betrag K 0 hat Herr Sparbier mindestens eingezahlt?

2 Aufgabe 4 : Herr Hausmann möchte auf ein Eigenheim sparen. Dazu beabsichtigt er ab 2020 jährlich nachschüssig e auf ein mit 1% p.a. (exponentiell) verzinstes Konto einzuzahlen (d.h.: erste Einzahlung am ). (a) Wie hoch ist sein Guthaben am nach der Einzahlung? Geben Sie den Rechenweg an. Falls Sie Aufgabe (a) nicht lösen können, gehen Sie von einem Guthaben von e am aus. Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. Geben Sie jeweils den Rechenweg an. (b) Statt der jährlichen Zahlungen möchte Herr Hausmann nur einmal eine größere Summe auf das Konto einzahlen. Welchen einmaligen Betrag müßte er am einzahlen, um am den unter (a) berechneten Betrag zur Verfügung zu haben? (c) Herr Hausmann möchte keine jährlichen Einzahlungen machen, sondern nur von Januar 2025 bis Dezember 2029 monatlich nachschüssig gleichbleibende Raten auf das Konto einzahlen. Wie hoch müssen diese Raten sein, damit am (nach der Einzahlung) das unter (a) berechnete Guthaben zur Verfügung steht? (d) Herr Hausmann möchte erst später mit der Einzahlung beginnen, dafür aber dann jährlich nachschüssig e einzahlen. In welchem Jahr muss er mit der Einzahlung beginnen, um am (nach der Einzahlung) mindestens das unter (a) berechnete Guthaben zur Verfügung zu haben. (e) Zur Freude von Herrn Hausmann sollen die Zinsen für sein Konto ab auf 1,5% p.a. erhöht werden. Wie hoch ist sein Guthaben am nach der Einzahlung, sofern er die ursprünglich beabsichtigten jährlichen nachschüssigen Einzahlungen von e von 2020 bis 2029 durchführt? Aufgabe 5 : Herr Mutig möchte zum für seine Firma eine neue Produktionsanlage für e anschaffen. Die Nutzungsdauer der Anlage beträgt 10 Jahre. Für diese 10 Jahre wird erwartet, dass die Anlage einen jährlichen Gewinn G = 6 500e erwirtschaftet. (a) Wie hoch ist der Kapitalwert C ohne 0 dieser Anlage vor Steuern, sofern ein Vergleichszinssatz von i = 3% betrachtet wird? Geben Sie den Rechenweg an. (b) Die Anlage wird in 10 Jahren mittels linearer Abschreibung vollständig abgeschrieben. Wie hoch ist der Kapitalwert C mit 0 dieser Anlage nach Steuern, sofern ein Vergleichszinssatz von i = 3% und ein Steuersatz von s = 50% betrachtet werden? Geben Sie den Rechenweg an. Lohnt sich die Anschaffung der Anlage für Herrn Mutig? Zusatzaufgabe: (c) Geben Sie eine Formel für die Berechnung des Zinsfaktors q 0 an, der die Rendite i 0 (i 0 = q 0 1) dieser Anlage nach Steuern beinhaltet. Bestimmen Sie durch Umformungen ein Polynom, so dass q 0 eine Nullstelle dieses Polynoms ist.

3 Aufgabe 6 : In einem Betrieb werden in einer zweistufigen Fertigung aus den Einzelteilen (Brettern, Halterungen und Schrauben) zunächst Regale der Typen R 1 und R 2 hergestellt. Im weiteren Produktionsverlauf werden die Regale zu Schrankwänden W 1 und W 2 zusammengefügt. Ein Regal des Typs R 1 besteht aus 2 Brettern, 4 Halterungen und 8 Schrauben. Ein Regal des Typs R 2 besteht aus 3 Brettern, 6 Halterungen und 18 Schrauben. Zur Produktion einer Schrankwand W 1 werden benötigt: 3 Regale des Typs R 1, 1 Regal R 2, sowie weitere 4 Halterungen und 12 Schrauben. Die Schrankwand W 2 besteht aus einem Regal R 1, 3 Regalen R 2 und weiteren 2 Halterungen und 12 Schrauben. (a) Beschreiben Sie den Bedarf der einzelnen Stufen durch Matrizen. (b) Berechnen Sie über Matrixoperationen die Anzahl von Brettern, Halterungen und Schrauben je Schrankwand. Geben Sie die Matrizengleichung zur Berechnung an. Wieviele Schrauben werden für eine Schrankwand vom Typ W 2 benötigt? (c) Wie viele Bretter, Halterungen und Schrauben werden für die Produktion von 100 Schrankwänden W 1 und 200 Schrankwänden W 2 benötigt? Aufgabe 7 : Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: x 2 + 2x 3 = 1 x 1 + 3x 2 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 4x 3 = 3. (a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung x = (x 1, x 2, x 3 ) T des Gleichungssystems, gegebenenfalls in Paramaterdarstellung (Angabe des Lösungsweges). (b) Bestimmen Sie, sofern möglich eine Lösung x = (x 1, x 2, x 3 ) T mit x 3 = 2. (c) Gibt es eine Lösung bei welcher (gleichzeitig) x 1 = 1 und x 2 = 2 ist? Begründen Sie Ihre Antwort. Zusatzaufgabe: (d) Für welche Werte des/der Parameter gibt es Lösungen x = (x 1, x 2, x 3 ) T alle i = 1, 2, 3? mit x i 0 für

4 Aufgabe 8 : Obelix wird von einem Freund um finanzielle Hilfe gebeten und beschließt, seine Fähigkeiten einen Tag lang für die gute Sache einzusetzen. An einem Tag kann er 8 Wildschweine erlegen, oder 5 Hinkelsteine behauen oder eine entsprechende Kombination dieser Tätigkeiten ausführen. Da die Kraft von Obelix in letzter Zeit nachläßt, nimmt er für das Einfangen eines Wildschweines 5 Schluck und für jeden Hinkelsteinbehau 4 Schluck Zaubertrank, den Miraculix aus Misteln und anderen Kräutern braut. Da aktuell Misteln exportiert wurden, kann Miraculix ihm für diesen Tag nur 30 Schlucke Zaubertrank zur Verfügung stellen. Wenn Obelix mehr als 5 Wildschweine erlegt, stimmt der Barde Troubadix ein Freudenliedchen an. Dies ist unbedingt zu verhindern. Obelix hat mit dem Dorfchef Majestix einen Vertrag geschlossen, dass er zum Schutz des gallischen Ökosystems höchstens 4 Hinkelsteine pro Tag herstellen darf. Auf dem Markt werden für ein Wildschwein 5 Sesterzen und für einen Hinkelstein 9 Sesterzen gezahlt. Wie viele Wildschweine und Hinkelsteine soll Obelix jagen bzw. behauen, wenn er seinem Freund möglichst viele Sesterzen zukommen lassen will? Stellen Sie das Modell für dieses Optimierungsproblem auf. Eine Lösung ist nicht gefordert. Aufgabe 9 : Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem. Z = 5x 1 + 9x 2 max 4x 1 +6x x 1 +4x 2 30 x 1 5 x 2 4 x 1, x 2 0 (a) Lösen Sie das Problem grafisch. Kennzeichnen Sie den zulässigen Bereich und markieren Sie den optimalen Punkt bzw. die optimalen Punkte. Geben Sie die optimalen Werte für x 1, x 2 und Z max an. Zusatzaufgabe: (b) Stellen Sie das erste Starttableau für das Simplexverfahren auf und markieren Sie das Pivotelement für den ersten Austauschschritt.

5 Ergebnisse, Lösungsvorschläge - keine vollständigen Lösungen 1.: S - Menge der Studierenden, die Salat essen, H - Menge der Studierenden, die ein Hauptgericht essen, D - Menge der Studierenden, die Dessert essen 150 Studierende essen nur ein Hauptgericht. Es werden insgesamt 420 Hauptgerichte verzehrt. S H : Aussage S: Es schneit genug. Aussage R: Die Kinder können rodeln gehen. Somit gilt: A S R, B S R Die Aussagen sind nicht äquivalent. D 0 S R A S R R B S R : Gegeben: R = 500 e, n = 42, q = , Planungszeitpunkt: K = q42 1 = , 98e q 42 q 1 Der Betrag vom muss 31 Monate abgezinst werden: K = 1 K q = , 44e Herr Sparbier hat am einen Betrag von , 44e eingezahlt. 4.: Geg.: R = , q = 1.01, n = 10 (a) K = = , 50 Sein Guthaben am wird dann , 50e betragen. (b) K = 1 q 4 K = , 22 Am müsste er , 22e einzahlen. (c) n c = 60, q m = R c = K qm 1 = 6 805, 56 qm 60 1 Er müsste in diesem Zeitraum monatlich 6 805, 56e einzahlen. (d) Geg.: R d = , n d = 1 ln q (ln(r d + K (q 1)) ln R d ) = 6.99 Herr Hausmann müsste 7 Jahre lang einzahlen, also (3 Jahre später) im Jahr 2023 mit der Einzahlung von jeweils e beginnen. (e) K = = , 20, K = , = , 92 In diesem Fall hätte er am einen Betrag von ,92e auf seinem Konto.

6 5.: Geg.: K 0 = e, n = 10, A = 5 000, G = 6 500, i = 0.03, q = 1.03, s = 0.5 (a) C0 ohne = q10 1 = 5 446, 32 q 10 q 1 Der Kapitalwert der Anlage vor Steuern beträgt 5 446,32e. 6.: (b) G = G s(g A) = = C0 mit = q10 1 = 951, 33 q 10 q 1 Der Kapitalwert der Anlage nach Steuern beträgt -951,33e. Die Anschaffung der Anlage lohnt sich somit nicht. (c) Rendite nach Steuern: C mit 0 = q = q 10 0 (q 0 1) (q ) 0 = q q q q 0 1 = 0 (a) A: Anzahl von Brettern (B), Halterungen (H) und Schrauben (S) pro Regal, C: Anzahl von Regalen pro Schrankwand, D: Anzahl von zusätzlichen Brettern (B), Halterungen (H) und Schrauben (S) pro Schrankwand A R 1 R 2 B 2 3 H 4 6 S 8 18 A = (b) X = A C + D = C W 1 W 2 R R 2 1 3, C = ( D W 1 W 2 B 0 0 H 4 2 S ), D = = Für eine Schrankwand vom Typ W 2 werden 74 Schrauben benötigt ( ) (c) x d = = Für die Produktion von 100 Schrankwänden W 1 und 200 Schrankwänden W 2 werden Bretter, Halterungen und Schrauben benötigt..

7 7. (a) x 1 x 2 x 3 y y y x 1 x 2 x 3 = (b) x 3 = 2 t = 2 + t x 1 x 2 x 3 y 2 x 2 x 3 y x y =, t R y 2 y 1 x 3 x x y : (c) Es gibt keine Lösung mit x 1 = 1 und x 2 = 2, da für x 1 = 1 auch t = 1 und für x 2 = 2 t = 3 sein müsste. 2 (d) 4 3t 0 t 4 3, 1 + 2t 0 t 1 2, t 0 Für t [ 1 2, 4 3 ] gibt es Lösungen x mit x i 0 für i = 1, 2, 3. Bezeichnungen: x 1 : Anzahl der erlegten Wildschweine pro Tag, x 2 : Anzahl der behauenen Hinkelsteine pro Tag Zielfunktion: Z = 5x 1 + 9x 2 max Restriktionen: x x 1 + 4x 2 30 x 1 5 x 2 4 Nichtnegativitätsbedingungen: x 1, x (a) x 1 = 1.5, x 2 = 4, Z max = 43.5 (b) x 1 x 2 y y y y Z 5 9 0