KLAUSUR. Name. Vorname. Matrikelnummer. Teilnehmer-Nr. Unterschrift. Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Zur Beachtung. Bitte nicht ausfüllen

Transkript

1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Sommersemester Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Unternehmen stellt die Produkte P i auf den Maschinen M j her. Die dazu benötigten Zeiten, das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde liegen in Tabellenform vor: M 1 M 2 M 3 Produktionssoll P P ( Benötigte Zeiten in Minuten / Stück ) P Maschinenkosten (a) Stellen Sie die obigen Angaben durch eine Matrix und zwei Vektoren dar. Benennen Sie die Größen und verwenden Sie ausschließlich diese benannten Größen zur Beantwortung folgender Fragen: (b) Wie lange wird jede der Maschinen M j zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (c) Welche Maschinenkosten verursacht die Fertigung je eines Stückes der Produkte P i? (d) Wie hoch sind die insgesamt entstehenden Maschinenkosten zur Herstellung des Produktionssolls?

3 Aufgabe 2 A 2 (a) Bestimmen Sie die inverse Matrix A 1 von A = (b) Welche Definitheit besitzt A? (Begründung!) (c) Bestimmen Sie 2 (A'A) 1.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. θ u x 1 1 0, u 3 0 0, u z Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. z (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. u u x x z Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 1 = x 2 = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? Wie lauten die optimalen Produktionsmengen, wenn eine ME von P 3 hergestellt wird? F 1 : F 2 : F 3 : F 4 : x 1 = x 2 = x 3 = Hinweis: Statt "0" oder "keine" wird " " nicht als Antwort auf eine der Fragen akzeptiert.

5 Aufgabe 4 A 4 (a) Auf ein Rentenkonto wird zu Beginn jeden Monats ein Betrag von 200 eingezahlt. Die Verzinsung beträgt 3 % nominal. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Monats gutgeschrieben. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 35. Jahres? Geben Sie zunächst die zu verwendende Formel an. (b) Dieses Guthaben dient nach Ablauf der 35 Jahre zur Zahlung einer Rente. Zu Beginn jeden Monats wird ein Betrag von 1000 entnommen. Die Verzinsung beträgt weiterhin 3% nominal bei monatlicher Zinszahlung. Geben Sie die Formel an, wie viel Restguthaben am Ende des n-ten Monats noch vorhanden ist und stellen Sie die Formel nach n um. (c) Nach wie vielen Monaten ist das Kapital aufgebraucht, also der Kontostand 0 erreicht? 1,03 35 = 2,814 1,03 1, = 62,28 e 1,05 = 2,858 1, = 2, (1, ) = 1486,84 1, = , ,684 = 1,59 ln (1,59) ln(1,0025) = 185,7 ln (1,59) ln (1,03) = 15,7 ln (1,57) ln(1,0025) = 180, ,456 = 1,57 ln (1,57) ln (1,03) = 12,3

6 Aufgabe 5 A 5 Für ein Produkt sind die Nachfragemenge x in Abhängigkeit seines Verkaufspreises p sowie die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x gegeben durch 64 x(p) = p 12, p 13, K(x) = x 8 4 x 3. Bei welchem Preis p 0 ( bzw. der dazugehörigen Menge x 0 ) wird der Gewinn maximal? ( Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge. )

7 Aufgabe 6 A 6 Untersuchen Sie die Funktion f (x,y) = 2x 3 + 3y xy 12x 6y + 1 auf lokale Extrema bzw. Sattelpunkte.

8 Aufgabe 7 A 7 (a) Ist die Funktion f (x,y) = 1 y x 5 homogen? Wenn ja, von welchem Grade? (Rechnung!) 2x+y (b) Bestimmen Sie die beiden partiellen Elastizitäten. (c) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert f (x 0, y 0 ) für x 0 = 3 = y 0 näherungsweise, wenn jede Variable ceteris paribus um 6 % erhöht wird? (d) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert exakt, wenn beide Variablen gleichzeitig um 6 % erhöht werden?

9 Aufgabe 8 A 8 Berechnen Sie das Integral 1 e x y + 1 e 1 dy dx.