Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur:

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2014/ Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R 1, R 2, R 3, R 4, R 5 die Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 her. Aus diesen Zwischenprodukten werden die Vorprodukte V 1, V 2, V 3, V 4 erzeugt und daraus die Endprodukte E 1, E 2, E 3. Die zur Herstellung benötigten Mengen sind in drei Tabellen zusammengefasst: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 V 1 V 2 V 3 V 4 E 1 E 2 E 3 R Z V R Z V R Z V R Z V R Das Produktionssoll beträgt 15 ME für E 1, 10 ME für E 2 und 5 ME für E 3. (a) Stellen Sie die obigen Angaben durch drei Matrizen und einen Vektor dar. Verwenden Sie ausschließlich diese Matrizen bzw. diesen Vektor zur Lösung der Teilaufgaben (b), (c), (d). (b) Bestimmen Sie die Matrix des Rohstoffverbrauchs für die Vorprodukte V 1,..., V 4. (c) Ermitteln Sie die Matrix des Rohstoffverbrauchs für die Endprodukte E 1, E 2, E 3. (d) Wie hoch ist der Rohstoffbedarf zur Herstellung des Produktionssolls?

3 Aufgabe 2 A 2 (a) Bestimmen Sie die inverse Matrix A 1 von A = (b) Bestimmen Sie die inverse Matrix B 1 von B = A'A.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 r.s. θ u x u z Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 r.s. z (b) Das Endtableau eines Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 r.s. x 1 1 1/2 0 1/2 1/ x u z x 1 = Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 2 = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? F 2 : F 3 : Wie lauten die optimalen Produktionsmengen, wenn die Ausgangskapazität der Fertigungsstelle F 2 um zwei Zeiteinheiten erhöht wird? x 1 = x 2 = x 3 = Hinweis: Statt "0" oder "keine" wird " " nicht als Antwort auf eine der Fragen akzeptiert.

5 Aufgabe 4 A 4 Ein Betrag von soll angelegt werden. Die Bank bietet alternativ die beiden folgenden Anlageformen: (1) 1,0% im 1. Jahr, 1,1 % im 2. Jahr und 1,5% im 3. Jahr; (2) Bonussparen mit 0,7 %-iger Verzinsung und einem jährlichen Bonus von 35. (a) Wie hoch ist das Kapital nach 3 Jahren in jeder der beiden Anlageformen, wenn die Zinsen bzw. der Bonus dem Konto jeweils am Ende eines Jahres gutgeschrieben und mitverzinst werden? (b) Welche effektive Verzinsung erzielt man mit jeder der beiden Anlageformen? Geben Sie bei jeder Rechnung zunächst die jeweils zu verwendende Formel an. 1,012 3 = 1, ,01 1,011 1,015 = 1, e 0,036 = 1, ,007 3 = 1, ,147 = 105,74 5,035 21,147 = 106,48 3 1,2 = 1,0627 ln (1,036427)/3 = 0, , = 1, , = 1, , = 1,01049 ln (1,031721)/3 = 0,0104

6 Aufgabe 5 A 5 Für ein Produkt sind die Nachfragemenge x in Abhängigkeit seines Verkaufspreises p sowie die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x gegeben durch 64 x(p) = p 7, p 8, K(x) = x 9 3 x 2. Bei welchem Preis p 0 ( bzw. der dazugehörigen Menge x 0 ) wird der Gewinn maximal? ( Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge. )

7 Aufgabe 6 A 6 (a) Ist die Funktion f (x,y) = y 3 x 4 2x+y homogen? Wenn ja, von welchem Grade? (Rechnung!) (b) Bestimmen Sie die beiden partiellen Elastizitäten. (c) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert f (x 0, y 0 ) für x 0 = 2, y 0 = 6 näherungsweise, wenn jede Variable ceteris paribus um 5 % erhöht wird? (d) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert exakt, wenn beide Variablen gleichzeitig um 5 % erhöht werden?

8 Aufgabe 7 A 7 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = y sin(x 2 ) + x ln(y 2 +1) mit x(t) = 3 t und y(t) = e 2t d f die totale Ableitung mit Hilfe der Kettenregel. Geben Sie zunächst die Formel dafür an. d t (b) Ermitteln Sie die Steigung Geben Sie zunächst die Formel dafür an. d y d x der impliziten Funktion y 4 = x 3 + x 2 y 2y + 1 im Punkt (1 ; 1).

9 Aufgabe 8 A 8 Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f (x, y) = 1 3 x 3 + xy 2 x + 1 unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 = 1. (a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L (x, y, λ) auf und bestimmen Sie für diese Funktion alle notwendigen partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung. (b) (x 0, y 0) = (1, 0) und (x 1, y 1) = ( 1, 0) sind kritische Punkte von L. Berechnen Sie die dazu gehörenden λ i. (c) Bestimmen Sie die Hesse-Matrizen H L an den kritischen Punkten. Handelt es sich bei den Punkten um lokale Minima oder Maxima der Funktion f unter der Nebenbedingung? (Begründung!)