Aufgabe 1: Bestimmen Sie eine Zahl a. R, so daß die Matrix. idempotent wird! Lösung zu Aufgabe 1:

Transkript

1 SS 99 ufgabe : Bestimmen Sie eine ahl a, so daß die Matrix a a a a a a idempotent wird! Lösung zu ufgabe :

2 SS 99 ufgabe : in Unternehmen stellt aus 4 ohstoffen (,,, 4 ) wischenprodukte (,, ) und daraus zwei ndprodukte (, ) her. Die in den beiden Produktionsschritten benötigten insatzmengen -gemessen in Mengeneinheiten (M)- sind in zwei Matrizen zusammengefaßt: 4 rforderliche ohstoffe zur Herstellung je einer M der wischenprodukte,,. rforderliche wischenprodukte zur Herstellung je einer M der ndprodukte,. Das Produktionssoll für beträgt M 5 s. Die ohstoffkosten für 4 belaufen sich auf M DM / k. Beantworten Sie die folgenden Fragen unter ausschließlicher Verwendung der Matrizen bzw. Vektoren,,s,k!Überprüfen Sie dabei stets anhand der Ordnung, ob die von Ihnen durchgeführten Operationen definiert sind! (a) Welche Kosten u u u u entstehen bei der Produktion je einer M? (b) Welche Kosten v v v enstehen bei der Produktion je einer M? (c) Wie hoch sind die Gesamtkosten K zur rfüllung des Produktionssolls? Lösung zu ufgabe :

3 SS 99 ufgabe : Die Inverse der Matrix 5 X ist X - Berechnen Sie die Matrix Y, den Vektor v sowie die ahl λ, aus denen sich die Inverse λ v v Y der Matrix u u X mit u zusammensetzt! Hinweis: Für eine Matrix mit regulären Matrizen und C gilt: ( ) + C C C C I Lösung zu ufgabe :

4 SS 99 4 ufgabe 4: Die L--erlegung L. einer quadratischen Matrix ist L, 4. Berechnen Sie (a) die Determinante von, (b) die Lösung des Linearen Gleichungssystems x b mit 9 4 b Lösung zu ufgabe 4:

5 SS 99 5 ufgabe 5: Während der Durchführung des Gauß-lgorithmus bei verschiedenen linearen Gleichungssystemen ergeben sich die folgenden Darstellungen: (a) (b) (c) x x x r. S. x x x r. S. 4 x x x r. S. 5 Geben Sie jeweils die Lösungsmenge - ggf. in Parameterform - des Gleichungssystems an! Lösung zu ufgabe 5:

6 SS 99 6 ufgabe 6: Die drei Hilfsabteilungen N, N, N geben an die beiden Hauptabteilungen H, H Leistungen ab, "beliefern" sich aber auch gegenseitig. Die Höhe dieses Leistungstransfers -gemessen in Leistungseinheiten (L)- wird durch folgende Tabelle abgebildet: mpfänger mpfänger Lieferant N N N H H N N 5 N In den Hilfsabteilungen N, N, N fallen primäre Kosten von 4 DM bzw. DM bzw. 4 DM an. (a) Bestimmen Sie die Verrechnungspreise in DM/L für jede der bteilungen N, N, N! (b) Verteilen Sie die primären Gesamtkosten auf die bteilungen H und H! Lösung zu ufgabe 6:

7 SS 99 7 ufgabe 7: 6 Die Singulärwertzerlegung der Matrix ergibt UWV U W V (a) Ist regulär? (Begründung!) (b) Welche der Lösungsmengen - genau eine Lösung - unendlich viele Lösungen - keine Lösung erhält man für das lineare Gleichungssystem x b mit obiger Matrix und (Begründung!) 9 b? (c) Berechnen Sie mit Hilfe obiger erlegung eine "Lösung" x b VW U b dieses Gleichungssystems! + ( W 5 5 ) (d) Welche igenschaft besitzt diese "Lösung"? Lösung zu ufgabe 7:

8 SS 99 8 ufgabe 8: Die Matrix der partiellen bleitungen. Ordnung (Hesse-Matrix) einer Funktion f : in einem kritischen Punkt x sei ( x ) H f Liegt in x ein lokales xtremum oder ein Sattelpunkt vor? (Begründung!) Lösung zu ufgabe 8:

9 SS 99 9 ufgabe 9: in Unternehmen stellt die beiden Produkte P und P an drei Fertigungsstellen F, F, F her. Die je Produkt- und Fertigungsstelle benötigten Produktionszeiten, die Kapazitäten der Fertigungsstellen sowie die Deckungsbeiträge (DB) der Produkte sind in folgender Tabelle zusammengefaßt: F F F DB P P Kapazität Bei der Berechnung des DB-maximalen Produktionsprogrammes mit Hilfe des Simplex-lgorithmus ergeben sich die nachstehenden Tabellen: (I) (II) (III) BV x x u u u r. S. θ x 4 u 4 u z 8 BV x x u u u r. S. θ x 4 u x z BV x x u u u r. S. θ u 4 u 4 u 6 z (a) Geben Sie jeweils an. ob es sich um das nfangstableau, das ndtableau oder ein wischentableau handelt! (b) Interpretieren Sie das ndtableau: - Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? - Welcher DB wird dabei erzielt? - n welcher Fertigungsstelle gibt es noch wieviel freie Kapazität? (c) rmitteln Sie beim wischentableau das nächste Pivotelement: Welche Variable sollte aus der Basis eliminiert werden, welche Variable neu in die Basis aufgenommen werden? (Pivotelement im entsprechenden Tableau markieren!) Lösung zu ufgabe 9: