Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur:

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2013/ Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Unternehmen stellt die Produkte P 1, P 2, P 3 auf den Maschinen M 1, M 2 her. Die Herstellung kann an zwei alternativen Standorten S 1, S 2 mit unterschiedlichen Produktionskosten erfolgen. Die Fertigungszeiten pro Maschine (in Stunden/ Stück), das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde an den beiden Standorten liegen in Tabellenform vor: Produktionszeiten M 1 M 2 Produktionssoll Maschinenkosten S 1 S 2 P M P M P (a) Stellen Sie die Angaben durch zwei Matrizen und einen Vektor dar. Verwenden Sie ausschließlich diese Größen zur Lösung der Teilaufgaben (b),(c),(d). (b) Ermitteln Sie die Matrix K der Fertigungskosten ( k ij = Fertigungskosten von Produkt P i am Standort S j ). (c) Wie lange wird jede der Maschinen M 1, M 2 zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (d) Welche Gesamtkosten entstünden dabei an jedem der beiden Standorte?

3 Aufgabe 2 A 2 Bestimmen Sie für A = r und B = eine Zahl r Ñ so, dass 2 A B 1 A 1 B = Spur( 2 A B 1 A 1 B ) ist.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. θ x 1 1 0, u u 3 0 0, u z Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. z (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. x u x u z Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 1 = x 2 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : Wie viel freie Kapazität gibt es noch an jeder der Fertigungsstellen? F 2 : F 3 : F 4 : Wie ändert sich der optimale DB, wenn die Ausgangskapazität der Fertigungsstelle F 2 um 10 Zeiteinheiten gesenkt wird? DB : Hinweis: Statt "0" oder "keine" wird " " nicht als Antwort auf eine der Fragen akzeptiert.

5 Aufgabe 4 A 4 (a) Auf ein Rentenkonto wird zu Beginn jeden Monats ein Betrag von 200 eingezahlt. Die Verzinsung beträgt 2,4 % nominal. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Monats gutgeschrieben. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 40. Jahres? (b) Dieses Guthaben dient nach Ablauf der 40 Jahre zur Zahlung einer Rente. Zu Beginn jeden Monats wird ein Betrag von 1500 entnommen. Die Verzinsung beträgt weiterhin 2,4 % nominal bei monatlicher Zinszahlung. Geben Sie die Formel an, wie viel Restguthaben am Ende des n-ten Monats noch vorhanden ist. (c) Nach wie vielen Monaten ist das Kapital aufgebraucht, also der Kontostand 0 erreicht? 1, = 2,582 1,024 1, = 67,51 e 0,96 = 2,612 1, = 2, (1, ) = 1612,41 1, = , ,41 = 1,273 ln (1,273) ln (1,002) = 120,9 ln (1,273) ln (1,024) = 10,2 ln (1,267) ln (1,002) = 118, ,51 = 1,267 ln (1,267) ln (1,024) = 9,99

6 Aufgabe 5 A 5 Die Nachfragemenge x eines Produktes in Abhängigkeit seines Preises p sei gegeben durch x(p) = e 4 p 2 p 2 3 3p (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Nachfrage und Umsatz bezüglich des Preises. (b) Um wie viel % ändern sich Nachfrage und Umsatz approximativ, wenn der Preis p 0 = 1 um 2 % gesenkt wird?

7 Aufgabe 6 A 6 (a) Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion f (x) = ( ln(x) + e x 1 ) 2. (b) Berechnen Sie für x 0 = 1 die Funktionswerte f (x 0 ), f'(x 0 ) und f"(x 0 ). (c) Geben Sie die allgemeine Formel zur Berechnung eines Taylorpolynoms 2. Grades an. Ermitteln Sie für die obige Funktion f das Taylorpolynom 2. Grades, entwickelt an der Stelle x 0 = 1.

8 Aufgabe 7 A 7 Gegeben sei die Produktionsfunktion f (x, y) = 20 2 x y 2 mit dem aktuellen Input (x 0, y 0 ) = (10, 20). Wie viele Einheiten von y können (näherungsweise) durch den zusätzlichen Einsatz einer Einheit von x substituiert werden, wenn die Produktion konstant bleiben soll?

9 Aufgabe 8 A 8 Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f (x, y) = 2x+4y unter der Nebenbedingung x 2 +2y 2 = 12.