Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur:

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Sommersemester Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Produkt P 5 wird über Zwischenprodukte P 1,..., P 4 hergestellt. Der Produktionsprozess ist durch einen Gozintografen dargestellt. Wie viele Mengeneinheiten (ME) P 1,..., P 4 werden zur Herstellung einer ME P 5 benötigt? Hinweis: Die Zahl 4 an dem Pfeil von P 4 nach P 5 bedeutet beispielsweise, dass zur Produktion einer ME P 5 vier ME P 4 benötigt werden. P 1 P ,1 4 P 4 P P 3

3 Aufgabe 2 A 2 Bestimmen Sie für A = (a) Determinante von A, und x = x 1 x 2 x 3 die (b) quadratische Form x' A x, (c) Definitheit von A, (d) inverse Matrix von A.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. θ u u 2 0, u x 2 0, z 2, Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. z (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 r.s. x x u z x 1 = Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 2 = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? F 2 : F 3 : Wie ändert sich der DB, wenn 1 ME von x 3 hergestellt wird? DB =

5 Aufgabe 4 A 4 Auf ein Konto wird nach Vertragsabschluss einmalig ein Betrag K = 1000 zu Quartalsbeginn eingezahlt, danach zu Beginn jeden weiteren Quartals ein Betrag E = 100. Die Verzinsung beträgt 1 % nominal. Die Zinsen werden dem Konto am Ende jeden Quartals gutgeschrieben. (a) Wie lautet allgemein die Formel zur Berechnung des Guthabens nach n Quartalen für diese Sparform? (b) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres? (c) Stellen Sie die Formel aus (a) nach n um. (d) Nach wie vielen Quartalen sind 5000 angespart? 1,01 5 = 1, (1, ) = 5, (1, ) = 4,101 1, = 1, ( 1, ) = 22, ( 1, ) = 19, = 1,1 ln( ) ln(1,0025) = 37,28 ln(1,1) ln(1,0025) = 38,17 ln( ) ln(1,0025) = 37,2 151 ln( 110 ) ln(1,01) = 31,84 ln( ) ln(1,01) = 30,93

6 Aufgabe 5 A 5 Die Produktionskosten K in Abhängigkeit der hergestellten Menge x sind gegeben durch die Funktion K(x) = 7x 10 x Bei welcher Produktionsmenge x 0 werden die Stückkosten minimal?

7 Aufgabe 6 A 6 Untersuchen Sie die Funktion f (x,y) = x 2 y 10x + 5y 30 ln(y) auf lokale Extrema bzw. Sattelpunkte.

8 Aufgabe 7 A 7 (a) Ist die Funktion f (x,y) = y 2 2x+y 2x 3 +y 3 homogen? Wenn ja, von welchem Grade? (Rechnung!) (b) Bestimmen Sie die beiden partiellen Elastizitäten. (c) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert f (x 0, y 0 ) für x 0 = y 0 = 10 näherungsweise, wenn jede Variable ceteris paribus um 3 % erhöht wird? (d) Um wie viel % ändert sich der aktuelle Funktionswert exakt, wenn beide Variablen gleichzeitig um 3 % erhöht werden?

9 Aufgabe 8 A 8 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = y 2 e 2 x +3 x 3 ln(y 2 +1) mit x(t) = sin(t) und y(t) = 4 t+1 die totale Ableitung d f mit Hilfe der Kettenregel. d t (b) Ermitteln Sie die Steigung d y d x der impliziten Funktion 5x2 + 3y 2 4xy = 10 im Punkt (5 ; 5).