Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur:

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2017/ Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Erzielte Bonuspunkte aus der Vorklausur: Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Die drei Hilfsabteilungen N 1, N 2, N 3 geben an die beiden Hauptabteilungen H 1, H 2 Leistungen ab, "beliefern" sich aber auch gegenseitig. Die Höhe dieses Leistungstransfers gemessen in Leistungseinheiten (LE) sowie die in den Hilfsabteilungen angefallenen primären Kosten liegen in Tabellenform vor: Empfänger N 1 N 2 N 3 H 1 H 2 Primärkosten N Lieferant N N (a) Bestimmen Sie die Verrechnungspreise p i in /LE für jede der Abteilungen N i. Geben Sie zunächst den Ansatz an. ( p i =?, L i =?, K i =? ) (b) Verteilen Sie die primären Gesamtkosten auf die Hauptabteilungen H 1, H 2.

3 Aufgabe 2 A 2 (a) Bestimmen Sie die Determinante A von A = (b) Welche Definitheit besitzt A? (Begründung!) (c) Berechnen Sie die inverse Matrix A 1.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. θ u x 2 0, u 3 0, u z Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. z (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. u u x 3 0 3/ /4 5 x 1 1 1/ /4 15 z Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 1 = x 2 = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : F 2 : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? F 3 : F 4 : Wie lauten die optimalen Produktionsmengen, wenn die Ausgangskapazität von F 4 um vier ZE erhöht wird? x 1 = x 2 = x 3 = Hinweis: Statt "0" oder "keine" wird " " nicht als Antwort auf eine der Fragen akzeptiert.

5 Aufgabe 4 A 4 (a) Ein Betrag K wird einmalig auf ein Konto mit monatlicher Zinsgutschrift eingezahlt. Nach 10 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt. Wie hoch war der Zinsfuß p? (b) Wie viele Jahre dauert es, bis sich der Wert des Geldes halbiert, wenn mit einer stetigen Inflation von 1% gerechnet werden muss? Geben Sie bei jeder Rechnung zunächst die jeweils zu verwendende Formel an. ln(2) = 0, = 1, = 1, ,579 = 6,95 e 0,12 = 1,13 ln(120) = 4,79

6 Aufgabe 5 A 5 Der Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit der hergestellten Menge x eines Produktes sei gegeben durch G (x) = 100 ex 4 2x 5 (x 6) 4. (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Gewinn und Stückgewinn bezüglich der hergestellten Menge x. (b) Um wie viel Prozent ändern sich Gewinn bzw. Stückgewinn approximativ, wenn die Produktionsmenge x 0 = 10 um 3 % erhöht wird?

7 Aufgabe 6 A 6 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = x e x 1 das Taylorpolynom 2. Grades, entwickelt an der Stelle x 0 = 1. Geben Sie zuerst die Formel dafür an. (b) Ermitteln Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens ausgehend vom Startwert x 0 = 0 für die Funktion f mit f (x) = x 3 + 4x 2 + 8x + 8 die beiden Iterationswerte x 1 und x 2. Geben Sie zunächst die Iterationsformel an.

8 Aufgabe 7 A 7 Untersuchen Sie die Funktion f (x, y) = (2y 1) (x + 1) 3 ln(x) 8 ln(y) auf lokale Extrema bzw. Sattelpunkte.

9 Aufgabe 8 A 8 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = x 2 e y sin(2y +1) ln(x 2 +1) mit x(t) = 2t +1 und y(t) = (3t +1) 3 d f die totale Ableitung mit Hilfe der Kettenregel. d t Geben Sie zunächst die Formel dafür an. (b) Ermitteln Sie die Steigung d y d x der impliziten Funktion y x + 1 = 4x 3 4xy y im Punkt (1, 1). Geben Sie zunächst die Formel dafür an ( incl. f (x, y) ). f (x, y) =