KLAUSUR. Name. Vorname. Matrikelnummer. Teilnehmer-Nr. Unterschrift. Zur Beachtung. Bitte nicht ausfüllen. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2011/ Name Vorname Matrikelnummer Teilnehmer-Nr. Unterschrift Bonuspunkte Punkte Zur Beachtung Die Klausur umfasst 8 Aufgaben; pro Aufgabe sind 5 Punkte erreichbar. Es haben nur solche Lösungen Anspruch auf Wertung, aus denen der Lösungsweg klar ersichtlich ist. Dauer der Klausur: 90 Minuten Hilfsmittel: keine Bitte nicht ausfüllen Punkte Note Unterschrift

2 Aufgabe 1 A 1 Ein Unternehmen stellt die Produkte P 1, P 2, P 3 auf den Maschinen M 1, M 2 her. Die Herstellung kann an zwei alternativen Standorten S 1, S 2 mit unterschiedlichen Produktionskosten erfolgen. Die Fertigungszeiten pro Maschine (in Stunden/ Stück), das Produktionssoll sowie die Kosten pro Maschinenstunde an den beiden Standorten liegen in Tabellenform vor: (a) Produktionszeiten M 1 M 2 Produktionssoll Maschinenkosten S 1 S 2 P M P M P Stellen Sie die Angaben durch zwei Matrizen und einen Vektor dar. Verwenden Sie ausschließlich diese Größen zur Lösung der Teilaufgaben (b),(c),(d). (b) Ermitteln Sie die Matrix K der Fertigungskosten ( k ij = Fertigungskosten von Produkt P i am Standort S j ). (c) Wie lange wird jede der Maschinen M 1, M 2 zur Herstellung des Produktionssolls insgesamt eingesetzt? (d) Welche Gesamtkosten entstünden dabei an jedem der beiden Standorte?

3 Aufgabe 2 A 2 (a) Bestimmen Sie die inverse Matrix von A = (b) Überprüfen Sie die nichtsymmetrische Matrix C = auf Definitheit.

4 Aufgabe 3 A 3 (a) Während der Durchführung des Simplex-Algorithmus für ein Optimierungsproblem ergibt sich folgendes Tableau: BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. θ x 1 1 0, u u 3 0 0, u z Füllen Sie die letzte Spalte des Tableaus aus, markieren Sie das Pivotelement und führen Sie den nächsten Pivotschritt durch. Tragen Sie das Ergebnis in die nachstehende Tabelle ein. BV x 1 x 2 u 1 u 2 u 3 u 4 r.s. z (b) Das Endtableau eines anderen Optimierungsproblems (Ermittlung eines DB-maximalen Produktionsprogramms unter Kapazitätsbeschränkungen an den Fertigungsstellen F i ) besitzt folgende Gestalt: BV x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 r.s. x u ,5 10 x ,5 20 z ,5 600 x 1 = Wie lauten die optimalen Produktionsmengen? x 2 = x 3 = Welcher DB wird dabei erzielt? DB = F 1 : An welcher Fertigungsstelle gibt es noch wie viel freie Kapazität? F 2 : F 3 : Wie ändern sich die optimalen Produktionsmengen, wenn die Ausgangskapazität der Fertigungsstelle F 1 um eine Zeiteinheit erhöht wird? x 1 : x 2 : x 3 :

5 Aufgabe 4 A 4 Ein Betrag von 1000 soll angelegt werden. Als alternative Anlageformen stehen zur Auswahl: (a) Sparbrief mit einer nominalen Verzinsung von 3 % und monatlicher Zinszahlung; (b) Bundesschatzbrief mit einer Verzinsung von 1 % im 1. Jahr, 2% im 2. Jahr, 3 % im 3. Jahr, 6 % im 4. Jahr und jährlicher Zinszahlung. Wie hoch ist das Kapital nach 4 Jahren in jeder der beiden Anlageformen, wenn die Zinsen dem Konto jeweils am Ende der Zinsperiode gutgeschrieben und mitverzinst werden? Welche Rendite (effektive Verzinsung) erzielt man in jeder der beiden Anlageformen? 1,03 4 = 1, ,01 1,02 1,03 1,06 = 1, , = 1, ,03 48 = 4,13225 e 0,12 = 1, , = 1, ln (1,12551) = 2, , ,12477 = 1,0298 1,12750 = 1,0305 = 1, ,12733 = 1, ln (1,12477) = 2,94

6 Aufgabe 5 A 5 Die Nachfragemenge x eines Produktes in Abhängigkeit seines Preises p sei gegeben durch x(p) = e 2 p p 2 4 4p (a) Berechnen Sie die Elastizitäten von Nachfrage und Umsatz bezüglich des Preises. (b) Um wie viel % ändern sich Nachfrage und Umsatz approximativ, wenn der Preis p 0 = 1 um 3 % gesenkt wird?

7 Aufgabe 6 A 6 (a) Bestimmen Sie lim x x0 f (x), f '(x) und lim x x 0 f '(x) für die Funktion f (x) = x + ln(x) x 1 (b) Wie lautet das Taylor-Polynom ersten Grades (Tangente) von f (x), entwickelt an der Stelle x 0? und x 0 = 1.

8 Aufgabe 7 A 7 (a) Bestimmen Sie für die Funktion f (x, y) = x 2 2 y + y 3 ln(2x+1) mit x(t) = t 3 +1 und y(t) = sin(t 3 ) d f die totale Ableitung mit Hilfe der Kettenregel. d t (b) Ermitteln Sie die Steigung d y d x der impliziten Funktion x7 y + x + 1 = xy 5 + y 3 im Punkt (0 ; 1).

9 Aufgabe 8 A 8 Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f (x, y) = y x unter der Nebenbedingung y ln(x+y) = 0. (a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion L (x, y, λ) auf und bestimmen Sie für diese Funktion alle notwendigen partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung. (b) (2; 1) ist ein kritischer Punkte von L. Berechnen Sie das dazu gehörende λ. (c) Bestimmen Sie die Hesse-Matrix H L im kritischen Punkt. Stellt der Punkt ein Minimum oder ein Maximum der Funktion f unter der Nebenbedingung dar? (Begründung!)