Propädeutik Klausur in Analysis für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Universität Mannheim SS 998 Dr. Matthias Blonski Propädeutik Klausur in Analysis für Wirtschaftsissenschaftler Man beachte folgende Hineise:. Die Klausur umfaßt 5 Aufgaben (jeeils auf einem Blatt) zuzüglich einer Lösungsliste. Bitte überprüfen Sie Ihr Eemplar auf Vollständigkeit.. Trennen Sie die Lösungsliste ab und tragen Sie rechts oben Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Sitzplatznummer deutlich lesbar in die dafür vorgesehenen Felder ein und unterschreiben Sie die Liste unten. Für die Lesbarkeit und Zuordnung sind Sie selbst verantortlich. Geben Sie am Ende der Klausur nur die unterschriebene Lösungsliste ab. 3. Die Verendung irgendelcher Hilfsmittel abgesehen von Schreibmittel und Lineal ist unzulässig. 4. Für jede Aufgabe sind auf dem Lösungsblatt entsprechend gekennzeichnete Antortfelder vorgegeben. Bei 'Fill-In-Aufgaben' (FI) finden Sie leere Felder für die Antorten vor und bei 'Binary-Choice' (BC) Aufgaben finden Sie jeeils doppelte Kästchen mit den Feldern '' für 'ahr' und 'f' für 'falsch', von denen als Antort jeeils genau eines anzukreuzen ist. Nicht eindeutig gekennzeichnete oder unleserliche Antorten erden als falsche Antort beertet. 5. Beertung: Es sind maimal 54 Punkte erreichbar. Für jede richtig bearbeitete Teilaufgabe erhalten Sie Punkte. Es gibt jedoch einen Beertungsunterschied zischen BC-und FI- Teilaufgaben. BC-Teilaufgaben: Für jede richtig beantortete BC-Aufgabe erhalten Sie Punkte; für jede nicht beantortete BC-Aufgabe erhalten Sie Punkt. Für jede falsch beantortete BC- Teilaufgabe erhalten Sie 0 Punkte. Daraus ergibt sich, daß Sie durch 'zufälliges Beantorten' nicht geinnen können gegenüber 'nicht Beantorten', falls Sie risikoneutral sind. (Falls Sie risikoavers sind, verlieren Sie sogar!) FI-Teilaufgaben: Für jede richtig beantortete FI-Teilaufgabe erhalten Sie Punkte, für jede falsch beantortete oder nicht bearbeitete FI-Teilaufgabe erhalten Sie 0 Punkte. Viel Erfolg!

2 Aufgabe (FI 0 Punkte) Man gebe die Lösungsmenge der Ungleichung von Intervallen an als Intervall oder Vereinigung Man bestimme den Grenzert der Folge konvergiert, tragen Sie X in die Lösungsliste ein.) 3+ ln Man bestimme den Grenzert lim a n = 5 e n 5 8 für n. (Wenn a n nicht Man differenziere f ( ) = ln + nach. Man nenne eine Richtung r f (, ) = ln + R mit r =, in der die Steigung der Funktion an der Stelle 0 = (, ) gleich 0 ist.

3 Aufgabe (BC 0 Punkte) Gegeben sei das folgende Maimierungsproblem ma f ( ) u.d.n. g( )= 0 mit R mit einer Nebenbedingung in Form einer Gleichung. Seien f und g differenzierbar. Sei eine Lösung des Maimierungsproblems und es gelte grad g( ) 0. Dann eistiert ein λ, so daß (, λ ) die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt. Seien f und g lineare Funktionen und (, λ ) lösten die Kuhn-Tucker-Bedingungen. Dann löst das Maimierungsproblem. Sei g( )=, dann ist : = { g( ) = 0 } A eine konvee Menge. Sei f ( )= + und g ( ˆ, λˆ ) =,, ( ) ie in. Dann gilt für ( ˆ) = (, ) grad f ( ) + λgrad g( ) = und λ= : 0 und g( ) = 0. ist Lösung des Maimierungsproblems für f,g ie in.

4 Aufgabe 3 (FI Punkte) Seien f( ), f( ), g( y), h ( ) mit ( ) y ), y obei h ) = g( f ( ), f ( )) sei. ( y = Funktionen von R + nach R, Wie lautet die partielle Ableitung h ( ) ausgedrückt durch f, f und g? Seien für den Rest dieser Aufgabe f, f und g spezifiziert als f( )= +, f ( )= + und g( y)= y α y α. Man berechne h(, ) für α =. Man berechne h h. Man bestimme den Homogenitätsgrad von h( ). (Schreiben Sie X in die Lösungsliste, falls h nicht homogen ist.) Für elche α ist h quasikonkav? (f) Für elche α ist h konkav?

5 Aufgabe 4 (FI 0 Punkte) Sei f: R R gegeben durch f ( )= a e b mit a > 0, b > 0. Man bestimme den Bereich, in dem die Funktion f monoton fällt. Man bestimme den Bereich, in dem die Funktion f konkav ist. Man berechne das globale Maimum von f. Man untersuche das Randverhalten von f für. Man untersuche das Randverhalten von f für.

6 Aufgabe 5 (BC Punkte) Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Haushaltes ur : + R. Wir betrachten das Optimierungsproblem ma u ( ) u.d.n. gj ( ) 0, j = 3,,, obei u ( ) = + ln, g( )= m p p mit p, p, m> 0, g( )= und g3( )= seien. Die Nutzenfunktion u( ) = + ln ist quasikonkav. Es gilt: grad u( ) R ++ R ++. Zu jedem p p 0 Optimierungsproblems gilt * > 0, * > 0. * *, > eistiert ein m > 0, so daß für die Lösung ( ) * *, > eistiert ein m > 0, so daß für die Lösung ( ) Zu jedem p p 0 Optimierungsproblems gilt * = 0., des betrachteten, des betrachteten Die Indifferenzkurven f ( y) der Nutzenfunktion u( ) sind für jedes y R Graph einer differenzierbaren Funktion ( ) mit R R. : + + (f) Die Lösung ( m, p, p) des Optimierungsproblems in Abhängigkeit der Variablen mp,, p (Nachfragefunktion) ist stetig im gesamten Definitionsbereich R 3 ++.

7 Lösungsliste: Nachname Vorname Matrikel-Nummer Sitzplatz-Nummer Aufgabe Aufgabe f f f f f Aufgabe 3 (f)

8 Aufgabe 4 Aufgabe 5 f f f f f (f) f Unterschrift:

9 Musterlösung: Nachname Vorname Matrikel-Nummer Sitzplatz-Nummer Aufgabe (, 5] [ 4.9, ) r = (, ) 5 Aufgabe 4 [ b, ) (, ] b = b 0 Aufgabe Aufgabe 5 Aufgabe 3 f f f g y f + g y (f) (f) α α R (immer) α 0,