Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2009/

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1 Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2009/ Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1

2 Aufgabe 1: Lineare DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die DGL x t = 2 x t 1 5. Welcher konstante Mittelwert erfüllt diese DGL? Eliminieren Sie die Konstante, und geben Sie die DGL in x t an, die die Abweichungen von x t vom in Aufgabenteil berechneten Mittelwert angibt. Probieren Sie eine Lösung der Form x t = Aλ t als Lösung der DGL aus Aufgabenteil. Bestimmen Sie den Eigenwert λ und die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil. Sei x 0 = 6 gegeben. Berechnen Sie x 0. Wie lautet die spezielle Lösung der DGL in x t aus Aufgabenteil? Berechnen Sie x 10 und x 10. 2

3 Aufgabe 2: Staatshaushalt Sei Dt der Schuldenstand des Staats ( D 0 ist gegeben), r der konstante Zinssatz und P der konstante Primärüberschuss (Steuereinnahmen abzüglich Ausgaben ohne Zinsen). Geben Sie die DGL an, die die Entwicklung von D t im Zeitablauf beschreibt. Eliminieren Sie die Konstante aus der DGL aus Aufgabenteil. Wie lautet die resultierende DGL in D t? Wie entwickeln sich D t und D t, falls D 0 0 ist? Begründen Sie Ihre Antwort. Mit welchem Primärüberschuss kann eine instabile Entwicklung des Staatshaushalts vermieden werden? Wie wirken sich höhere Zinsen bzw. ein höherer anfänglicher Schuldenstand auf den Primärüberschuss aus Aufgabenteil aus? 3

4 Aufgabe 3: Stabilität eines Marktes Nachfrage und Angebot in einem Markt lauten: D t = 40 4 p t S t = p t. Die Preisanpassung erfolgt, ausgehend vom Startwert p 0 = 12, gemäß p t+1 p t = 1 16 (D t S t ). Berechnen Sie den markträumenden Preis. Illustrieren Sie den Markt anhand der üblichen Grafik mit p t auf der senkrechten und D t und S t auf der waagerechten Achse (geben Sie dabei die Achsenschnitte der beiden Geraden explizit an). Leiten Sie aus den Formeln in der Aufgabenstellung eine DGL in p t her. Eliminieren Sie die Konstante aus dieser DGL. Berechnen Sie p 0. Wie lautet die spezielle Lösung der DGL ohne Konstante aus Aufgabenteil? Ist der Markt stabil? Berechnen Sie p 4 und p 4. 4

5 Aufgabe 4: Logistische Gleichung Betrachten Sie die logistische Gleichung: x t = ax t 1 (1 x t 1 ), 0 < a < 4. Bei welchem Wert erreicht die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung ein Maximum? Überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung. Wie hoch ist der Funktionswert beim Maximum? Welche Ober- und Untergrenzen für x t ergeben bei gegebenem Startwert x 0 mit 0 < x 0 < 1 aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil? Warum? Sei a = 3,5. Wie hoch ist die Steigung der Funktion auf der rechten Seite der logistischen Gleichung im Ursprung? Bei welchem positiven x-wert schneidet die Funktion für a = 3,5 die 45-Grad-Linie? Wie hoch ist die Steigung in diesem Punkt? Illustrieren Sie den Verlauf der Funktion für a = 3,5 anhand der üblichen Grafik mit x t 1 und x t auf den Achsen. Illustrieren Sie, dass x t nicht gegen den Schnittpunkt aus Aufgabenteil konvergiert, wenn es in der Nähe davon startet. 5

6 Aufgabe 5: Lineare DGLs 2. Ordnung Wie lautet die lineare DGL 2. Ordnung ohne Konstante? Mit Lösungen welcher Form probiert man es? Leiten Sie die quadratische Gleichung her, die die Eigenwerte λ der DGL bestimmt. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man zwei reale Eigenwerte erhält? Zeigen Sie, dass eine Linearkombination der zu den beiden Eigenwerten gehörigen Lösungen ebenfalls eine Lösung (die allgemeine Lösung) ist. Wie lautet, gegeben die Bedingung aus Aufgabenteil, die Bedingung für eine stabile Lösung? 6

7 Aufgabe 6: Monetaristisches Grundmodell Wie lauten die beiden Gleichungen, aus denen das monetaristische Grundmodell mit konstantem Geldmengenwachstum (d.h. mit 2 m t = 0) besteht? Bilden Sie in der Quantitätsgleichung aus Aufgabenteil zwei Mal Differenzen, und setzen Sie 2 p t aus der Phillips-Kurve ein. Formen Sie Ihr Ergebnis zu Aufgabenteil so um, dass Sie eine lineare DGL 2. Ordnung in y t (in der Form y t + = 0) erhalten. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte λ die charakterteristische Gleichung erfüllen. λ 2 2φ γ + φ λ + φ γ + φ = 0 Zeigen Sie, dass es für beliebige positive Werte von γ und φ keine realen Eigenwerte gibt. 7

8 Aufgabe 7: Taylor-Prinzip Wie lautet das makroökonomische Modell mit IS-Kurve und Taylor-Regel? Leiten Sie aus dem Modell aus Aufgabenteil eine Erwartungs-DGL für die Inflationsrate π t her. Zeigen Sie, dass für φ < 1 π t+1 = φ [ π t + (φψ) 1 ] y t + ηt+1 für beliebige für η t mit E t η t+1 = 0 die DGL aus Aufgabenteil löst. Was bedeutet das für die Geldpolitik? Was gilt demgegenüber für φ > 1? (Keine Rechnung oder Begründung notwendig.) 8

9 Aufgabe 8: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf (mit Nebenbedingung). Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 9