Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

Transkript

1 Dr. A. Caspar ETH Zürich, Winter 205 BIOL HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total Total Vollständigkeit Bitte wenden!

2 Wichtige Hinweise zur Prüfung Prüfungsdauer: 3 Stunden. Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Seiten (nicht Blätter!) mit persönlichen, von Hand geschriebenen Notizen. Keine (Taschen)Rechner. Wörterbuch für fremdsprachige Studierende. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein, und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Begründen Sie Ihre Lösungen, soweit nicht anders angegeben. Dabei können Sie bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwenden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift und nicht mit roter oder grüner Farbe. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Ordnen Sie jedoch am Ende der Prüfung die Aufgaben für die Abgabe. Wir erwarten nicht, dass Sie alle Aufgaben lösen. Versuchen Sie einfach Ihr Bestes! Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe) sind jeweils 4 Aussagen/Antworten angegeben, davon sind jeweils genau 2 korrekt. Eine MC-Aufgabe ist genau dann korrekt gelöst, wenn Sie die 2 korrekten Antworten mit und die 2 inkorrekten mit kennzeichnen. Sie müssen also bei jeder MC- Aufgabe genau 4 Kreuze setzen und jedes muss jeweils an der en Stelle sein. Zum Beispiel ist folgende MC-Aufgabe nur mit diesen 4 Kreuzen korrekt gelöst. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Bei den MC-Aufgaben werden nur die Antworten auf den Aufgabenblättern bewertet. Die Antworten in den MC-Aufgaben müssen nicht begründet werden. Viel Erfolg! Siehe nächstes Blatt!

3 Aufgaben. (8 Punkte) Die Antworten in dieser Aufgabe müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. n a) Gegeben sei die Folge (x n ) n mit x n = i. Berechnen Sie i= x n lim n n 2 = Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Summe x n = b) Gegeben sei die Funktion n i. i= f : [0, π] R, x f(x) = cos 2 (x) sin 2 (x). Skizzieren Sie den Graphen G f in folgendem Koordinatensystem. Hinweis: Verwenden Sie cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b). y - π π π 3π π x c) Berechnen Sie das bestimmte Integral π 2 0 cos 2 (x) sin 2 (x) dx =. d) Gegeben sei die Funktion f : [, ] R mit f(x) = arccos(sin(x)). Bestimmen Sie den Fixpunkt x [, ] x =. Bitte wenden!

4 e) Seien a und b reelle Zahlen und f eine Funktion mit f(x) = x 2 +ax+b und der Eigenschaft, dass (f f... f)(2) = 2, (f f... f)(3) = 3. }{{}}{{} 204 Stück 205 Stück Bestimmen Sie f) MC-Aufgabe a =, b =. Seien a eine reelle Zahl und f eine Funktion mit a 2 f(x) = 4 x2 5a + 8, x 2, x 2, x < 2. Für welche a ist f stetig? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. a =. a = 2. a = 3. a = 4. Siehe nächstes Blatt!

5 2. (4 Punkte) Die Antworten in dieser Aufgabe ausser Teil g) müssen Sie nicht begründen. Schreiben Sie die Antworten vollständig gekürzt und vereinfacht direkt auf das Aufgabenblatt. Antworten auf anderen Blättern werden nicht bewertet. Es ist i 2 = die imaginäre Einheit. ( ) a b a) Seien a und b reelle Zahlen und A = eine Matrix. b a ( ) 3 4 Finden Sie ein Paar (a, b) mit A 2 = : 4 3 a =, b =. ( ) a b b) Seien a und b reelle Zahlen und A = eine Matrix. b a Finden Sie ein b, so dass A genau einen Eigenwert hat: b =. c) MC-Aufgabe ( ) a b Seien a und b reelle Zahlen und A = und B = b a a b 0 b a Welche der folgenden Aussagen sind für alle Paare (a, b) (0, 0)? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Matrizen. B ist invertierbar. B ist symmetrisch. B 2 = B. det(b) = det(a). d) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ, λ 2 und λ 3 der Matrix : λ =, λ 2 =, λ 3 =. Bitte wenden!

6 e) MC-Aufgabe Wir betrachten die Eigenwerte λ, λ 2 und λ 3 aus Teil d) in der komplexen Zahlenebene. Welche der folgenden Aussagen sind? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. Jeder Eigenwert hat Betrag. Genau ein Eigenwert liegt auf der reellen Achse. Genau ein Eigenwert hat als Argument ϕ mit 0 < ϕ < π 2. Genau ein Eigenwert hat als Argument ϕ mit π 2 < ϕ < π. Hinweis: Falls Sie Teil d) nicht lösen konnten, wählen Sie für diese Aufgabe die Werte: f) Sei C = λ = ( 3 + i) 4, λ 2 = ( 3 i) 4, λ 3 = x Finden Sie ein Paar (x, y), so dass y ein Eigenvektor von C ist. 0 x = y =. Siehe nächstes Blatt!

7 g) Für welche t R sind die Vektoren v = 2 3 t, v 2 = linear unabhängig? und v 3 = Schreiben Sie Ihre Rechnung und Lösung hier auf das Aufgabenblatt. t 0 Bitte wenden!

8 3. (2 Punkte) a) MC-Aufgabe Wir betrachten die Differentialgleichung (DGL) y (t) + ay (t) + by(t) = 0. () Für welche a und b konvergiert die allgemeine Lösung von () gegen Null, für t? Kreuzen Sie Ihre Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. a = 6, b = 5. a = 6, b = 5. a = 4, b = 3. a = 4, b = 3. b) Wir betrachten die Differentialgleichung (DGL) y (x) = y(x)(x 2 + ). (2) Welche Richtungsfelder passen NICHT zu der obigen Differentialgleichung (2)? Richtungsfeld Richtungsfeld 2 Richtungsfeld Tragen Sie Ihre Antworten hier ein: Richtungsfelder und. c) Bestimmen Sie die Lösung der DGL (2) aus Teil b) mit dem Anfangswert y(0) = 2 mittels Trennung der Variablen. d) Wir betrachten die folgende Differentialgleichung y (x) + cos(x)y = (cos(x) sin(x))e cos(x). (3) i) Schreiben Sie die dazugehörige homogene Differentialgleichung auf. Bestimmen Sie deren allgemeine Lösung. ii) Bestimmen Sie nun die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (3) mittels Variation der Konstanten. Siehe nächstes Blatt!

9 4. (2 Punkte) a) MC-Aufgabe Gegeben sei eine differenzierbare Funktionen in einer Variablen ϕ : R R, t ϕ(t) mit Ableitungsfunktion ϕ : R R, t ϕ (t) und eine Funktion in zwei Variablen f : R 2 R, (x, y) f(x, y) = ϕ(xy). Welche der folgenden Aussagen über die partiellen Ableitungen von f sind? Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. f x (x, y) = yϕ (xy) f x (x, y) = xϕ (xy) f y (x, y) = xϕ (xy) f y (x, y) = yϕ (xy) b) Seien ϕ und f wie in a) mit ϕ(t) = t 7 e t und der Eulerschen Zahl e = 2, Sei G f der Graph von f. i) Bestimmen Sie die z-koordinate für den Flächenpunkt P 0 = (,, z) auf G f. ii) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an G f in P 0. x c) Sei K : R 3 R 3 das Vektorfeld mit K(x, y, z) = y z. Berechnen Sie die Divergenz div(k). Bitte wenden!

10 d) In der folgenden Skizze sehen Sie eine Fläche S in der (x, y)-ebene, welche durch drei ebene Kurven σ, σ 2 und σ 3 begrenzt ist. y σ 2 σ - x σ 3 - Dabei liegen σ und σ 2 jeweils auf einer Geraden, und σ 3 ist ein Ausschnitt der Parabel y = x 2. Sei S eine Fläche im Raum R 3, welche parallel über S in Höhe z = liegt. Sei B der Körper mit Boden S und Deckel S. Sei K : R 3 R 3 das Vektorfeld mit K(x, y, z) = B x y z div(k) dv. wie in Teil c). Berechnen Sie Hinweis: Die Fläche zwischen der Kurve σ 3 und der x-achse hat den Inhalt 4 3. Siehe nächstes Blatt!

11 5. (4 Punkte) a) MC-Aufgabe Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen oder sind, und kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. ( 2xy + 7x Das Vektorfeld K mit K (x, y) = 3 y 6 x 2 + 5x 4 y 5 Das Vektorfeld K 2 mit K 2 (x, y) = ( 2xy (x 2 +) 2 x 2 + ) ) ist konservativ. ist konservativ. Es gibt ein Vektorfeld Fmit rot(f ) = K 3 und e y z K 3 (x, y, z) = e z x e x y. Es gibt ein Vektorfeld Fmit rot(f ) = K 4 und e x y K 4 (x, y, z) = e y z e z x. b) MC-Aufgabe Gegeben sei eine Kurve γ : [0, 2π] R 2 mit ( t γ(t) = cos(t) sin 2 (t) Auf welchen der folgenden ebenen Kurven liegt γ? Kreuzen Sie die entsprechende Antwort direkt auf dem Aufgabenblatt an. ). { (x, y) x 2 + y = 0 } { (x, y) x + y 2 = 0 } { (x, y) x 2 + y 2 = 0 } { (x, y) x 4 + 2x 2 y + y 2 = 0 } Bitte wenden!

12 c) In folgender Skizze sehen Sie eine Fläche S in der (x, y)-ebene, welche durch drei ebene Kurven σ, σ 2 und σ 3 begrenzt ist. y σ 2 σ - x σ 3 - Dabei liegen σ und σ 2 jeweils auf einer Geraden, und σ 3 ist ein Ausschnitt der Parabel y = x 2. Die Pfeile kennzeichnen die Durchlaufrichtung. Geben Sie für σ, σ 2 und σ 3 jeweils eine Funktion an, welche die Kurve parametrisiert. Berücksichtigen Sie dabei die Durchlaufrichtung. Schreiben Sie Ihre Antwort direkt auf das Aufgabenblatt. σ : t σ (t) = σ 2 : t σ 2 (t) = σ 3 : t σ 3 (t) = R2, t. R2, t. R2, t. d) Seien σ, σ 2 und σ 3 die Kurven aus Teil c) und K : R 2 R 2 das Vektorfeld ( ) x y K : (x, y) K(x, y) =. y Das Kurvenintegral entlang σ 3 ist K dγ = 4. Berechnen Sie die Kurvenintegrale σ 3 3 K dγ und K dγ. σ σ 2 e) Seien σ die Kurve, welche nacheinander σ, σ 2 und σ 3 durchläuft, und K das Vektorfeld in Teil d). Berechnen Sie K dγ auf zwei Arten: i. mit Hilfe von Teil d), ii. mit Hilfe der Formel von Green. σ