D-BIOL, D-CHAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II

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1 Dr. A. aspar ETH Zürich, August 8 D-BIOL, D-HAB, D-HEST Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II. a) (i) ( Punkt) Die Ableitung ist mit Kettenregel f () = +. (ii) ( Punkte : jeweils.5 Punkt für a bzw. a und Punkt für a ) Es gilt T () = f() + f () + f (). Daher a = f() =, a = f () = und a = f () = ( + ) =. = b) (i) (3 Punkte: pro richtige Lösung ) Um die Fipunkte zu bestimmen, müssen wir die Gleichung + = lösen. Umgeformt erhalten wir ( ) = mit den drei Lösungen =, ±. (ii) ( Punkt) Es gilt die Konvergenz, wenn ein Fipunkt attraktiv ist, und es gilt die Konvergenz nicht, wenn die Funktion abstossend ist. Ein Fipunkt p ist attraktiv, falls g (p) < und ist abstossend, falls g (p) >. Wir berechnen g () = ( + ) und somit g () =, g () = und g ( ) =. Darum: (A) Für keinen. (B) Für einen. () Für zwei. (D) Für drei. (iii) ( Punkt: / für a und / für b) Wir suchen, a und b so, dass g > auf dem Intervall gilt. Das heisst wegen (ii) < g () = ( + ), das gilt genau dann, wenn < oder umformuliert < <, also a =, b =.

2 c) (i) ( Punkt) Mit dem Hinweis haben wir h() = cos(). (A) () (B) (D) (ii) ( Punkt) Mit dem Hinweis aus (i) haben wir h() = cos(). Bemerke, dass cos() auf [, ]. Daher h()d = cos()d = sin() = = =.

3 . a) ( Punkt) Es ist z = z z. Damit (Konjugation) liegt der gesuchte Punkt im ersten Quadrant, da z im 4. liegt. Ferner z = z >, da z <. Deswegen: (A) (B) () (D) b) ( Punkt) Sei z = a + bi, mit Re(z ) = a und Im(z ) = b. Dann haben wir a + b =, = tan( 4 ) = b a und drittens a >, b <. Es folgen b = a und a =. Da a >, die einzige Lösung ist Re(z ) = a = = folglich Im(z ) = b = =. und Alternative: Die Multiplikation ist hier die Drehung um 4 Radius, also in negativer Richtung, d.h. z = e 4 = i. im Uhrzeigersinn auf dem Kreis mit c) ( Punkt) A = ( ) a. Auf der Abbil- a dung: ( cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Av = ) = ( ) a a ( ) und darum Av = v = ( ) a a d) ( Punkt) B entspricht der Drehung um ϕ in die positive Richtung. Von der Abbildung liest man dann ϕ = 5 4 ab. e) Es gilt det(ef ) = det(e) det(f ) = b. (i) (.5 Punkt) b = 9.

4 (ii) (3.5 Punkte) richtig falsch Für b R ist det(ef ) auch eine reelle Zahl. Richtig, weil det(ef ) = b. Es gilt hier EF = F E. Falsch, EF = diag(, b, ), aber F E = diag( b,, ). Die Produktmatri EF ist eine Diagonalmatri. Richtig, EF = diag(, b, ). Für b ist E b =. Falsch, denn E = b Für b > reell, ist das Produkt der Eigenwerte von EF eine negative reelle Zahl. Falsch, EF = diag(, b, ) und daher sind die EWe von EF, b und. Das Produkt ist also b > falls b >.. Für b > reell, ist die Summe der Eigenwerte von EF eine negative reelle Zahl. Richtig, EF = diag(, b, ) und daher sind die EWe von EF, b und. Die Summe ist also b < falls b >. Ist λ ein Eigenwert von E, so ist λ ein Eigenwert von EF. Richtig, denn die EWe von E sind ±i b und und die EWe von EF sind, b und. f) (i) (3 Punkte) Wir berechnen das charakteristische Polnom: det( λe 3 ) = λ ( λ) + ( λ) = ( λ)(λ + i)(λ i). Davon lesen wir die Eigenwerte λ =, λ = i, λ 3 = i ab. (ii) (3 Punkte) Es gibt hier unterschiedliche Lösungsansätze, Beispiele:. Die drei EW λ =, λ = i, λ 3 = i sind paarweise voneinander verschieden. Damit sind drei EV v, v ±i zu den entsprechenden EW linear unabhängig. ( Punkt) Jeder Startvektor v kann geschrieben werden als v = α v + α v i + α 3 v i.

5 Da v = v, muss α = gelten also v =. ( Punkt) Jetzt folgt durch direkte Rechnung (4-mal Matri-Vektor-Produkt) v = v 4 mit, R. ±i Oder sei zum Beispiel v ±i =, dann ist v = v i + v i = und 4 v = 4 (v i + v i ) = 4 v i + 4 v i = i 4 v i + ( i) 4 v i = v i + v i = v. ( Punkt für einen korrekten Weg.). Wir suchen Eigenvektoren von 4 = zum Eigenwert λ =. ( Punkt) 6 Diese sind Linearkombinationen von und ( Punkt) und damit von der Form v = mit, R und v.( Punkt) 3. Es ist auch erlaubt, einen Vektor v zu raten ( Punkt), aber es muss dann v = v etc berechnet werden, sodass am Ende v 4 = v ist. ( Punkte)

6 3. a) ( Punkt) Wir sehen, dass es die stationäre Lösung bei = 3 gibt. Dass heisst = 3 + b, also b = 6. b) ( Punkt) Es gilt () = für = oder = 4. Diese entsprechen den stationären Lösungen. Die zweite Ableitung berechnen wir mit der DGL: = ( 4) + ( ) = ( 3). Das heisst = genau dann, wenn = ; 3; 4. Einen Wendepunkt gibt es also bei = 3. Auf ], 4[ ist < und die Lösungskurve streng monoton fallend, die Lösung hat also einen Wendepunkt dann, wenn [3, 4[. Achtung: = 3 wird auch als richtig bewertet. c) ( Punkt) Wir berechnen die Konstante für die unterschiedlichen Anfangsbedingungen: (, ) = (, ) ergibt = 5+ und = 4. (, ) = (, ) ergibt = 5+ und = 4.5. (, ) = (, ) ergibt = + und = 9. (, ) = (, ) ergibt = + und =. Bemerke, dass die Funktion () = auf ganz R definiert ist genau dann, wenn >. 5 + Deswegen: (A) (, ) = (, ) (B) (, ) = (, ) () (, ) = (, ) (D) (, ) = (, ) d) (3 Punkte) Mit Trennung der Variablen erhalten wir d Nach Integration ergibt das = 6d. ( Punkt) Nach aufgelöst bekommen wir die allgemeine Lösung = und () = 3. ( Punkt) + = 3, wobei R eine Konstante ist. ( Punkt) 3 + und mit () = ist = e) (3 Punkte) Die erste Zeile ist = +, die zweite Zeile ist = + 4. Aus der ersten Zeile erhalten wir = und =. ( Punkt) Das in die zweite Zeile eingesetzt ergibt = ( ) + 4 ( Punkt)

7 oder vereinfacht =. ( Punkt) Alternative: Bestimme Koeffizienten mit Formel 6 = ( + 4) ( Punkt) und 9 = det der Matri ( Punkt), und berechne die Lösung ( Punkt). f) (i) ( Punkte) Die Gleichung hat charakteristische Gleichung λ + 4λ + 4 = (λ + ) mit doppelter Nullstelle λ, = ( Punkt). Somit ist die allgemeine Lösung () = ( + )e ( Punkt). (ii) (3 Punkte) Berechne die Ableitung von : ( ( + )e ) = e ( ) ( Punkt) Die partikuläre Lösung erhalten wir, indem wir die Konstanten, aus dem folgenden Gleichungsstem berechnen; oder vereinfacht ( + )e = ( )e = ( Punkt) = ( ) =. Das ergibt =, = und () = ( + )e ( Punkt).

8 4. a) ( Punkte) (i) Wir berechnen f(, ) = = 8 f(, ) = = 6 f(, ) = = f(, ) = = 6 und deswegen: (A) (, ) (B) (, ) () (, ) (D) (, ) (ii) Wir berechnen f (, ) = und f (, ) = 5. Die einzige gemeinsame Nullstelle ist (, ) = ( 3, 5 ). Weiterhin ist D = f (, ) f (, ) (f (, )) = <, und es liegt bei (, ) also ein Sattelpunkt vor. (A) Keines. (B) Genau eines. () Genau zwei. (D) Genau drei. b) ( Punkte: für a und für b.) Aus der Vorlesung wissen wir, dass a = h (, ) = 9 + = = und b = h (, ) = 4 = = 6. c) (i) (.5 Punkte:.5 Punkt für r und Punkt für ϕ) { B = (r, ϕ) : r, ϕ 3 } (ii) (.5 Punkte:.5 Punkt für und Punkt für ) = {(, ) :, + }

9 (iii) (3 Punkte) Wir berechnen k(, )da = = = + ( )dd = ( ) ( )d =. ) ( d = + ( + ) ( + ) + d ( Punkt) für Doppelintegral und je ( Punkt) für Integrationsschritte. Alternative: Es ist k(, )da = mit ( )da = da = als Flächeninhalt ( Punkt) und ( Punkt). Also zusammen wieder. da da ( Punkt) da = wegen der Smmetrie

10 5. a) ( Punkt) Falls = stehen die Pfeile horizontal und haben mit übereinstimmendem Vorzeichen. Das schliesst bereits (A), (B) und () aus. (A) K(, ) = (, ) (B) K(, ) = (, ) () K(, ) = (, ) (D) K(, ) = (, ) b) ( Punkt) ( ) P K = ist konservativ genau dann, wenn Q Q = P für alle,. Wir berechnen Q = e + und P = ae + a. Es folgt Q = P für alle, für a =. c) (i) ( Punkt) Die Kurven in (A) und (B) fangen nicht in (, ) an. Die Kurve in (D) endet nicht in (, ). (A) γ (t) = (t, t ), t [, ] (B) γ (t) = ( t, t), t [, ] () γ (t) = ( + t, t), t [, ] (D) γ (t) = (t, t ), t [, ] (ii) ( Punkt) Eine Möglichkeit ist γ (t) = (cos( t), sin( t)), t [, 3 ]. Andere alternative Möglichkeiten beachten! d) (5 Punkte) Sei K das Vektorfeld mit K(, ) = ( ) a Sei γ = γ + γ + γ 3 die Kurve in der (, )-Ebene, die zusammengesetzt ist aus den Kurven γ, γ und γ 3, wie in Teilaufgabe c).

11 (i) Nennen wir das eingeschlossene Gebiet B. Nach dem Satz von Gauss ( Punkt) gilt dann γ K n ds = B div KdA = B (8 + + a)da = (8 + a) da = λ(b) (8 + a) B wobei λ(b) das Flächeninhalt von B ( Punkt) bezeichnet. Es soll also λ(b) (8 + a) =. Da λ(b), 8 + a = und darum a = 8. (ii) Ähnlich wie in der vorherigen Teilaufgabe erhalten wir λ(b) (8 + a) = +. ( Punkt) Es ist λ(b) = + (Fläche Halbkreis plus Fläche Dreieck). ( Punkt) Das ergibt a = 6. ( Punkt) e) (3 Punkte) Bemerke, dass K konservativ ist ( Punkt) und Potential f = + hat ( Punkt), das heisst f = K. Nach dem Fundamentalsatz der Integralrechnung gilt daher γ K dγ = f(3, 6) f(, ) = 44. ( Punkt) Alternative: Wähle eine einfache Verbindung der Punkt, z.b. gradlinig. ( Punkt) für Kurve, ( Punkt) für Kurvenintegral, ( Punkt) für Rechnung.