Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann Bergische Universität Wuppertal. Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau

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1 Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann Bergische Universität Wuppertal Aufgabe ( Punkte Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau a Zeigen Sie durch Induktion nach n die Summenformel n k= k k + k + (k + (k + = n + n+ n + b Berechnen Sie die Menge M aller x, die die Ungleichung x x erfüllen. (+ Pkte Lösung. a Für n = sind beide Seiten gleich. Gilt die Summenformel für n, so auch für n +. Denn wir haben n+ k k + k + (k + (k + k= = n k= k k + k + (k + (k + + (n + n+ + (n + + (n + (n + = n+ n + n + + (n + n+ + (n + + (n + (n + ( (n + (n + + (n + = n+ + (n + + (n + (n + ( ( (n + (n + + (n + (n + + = n+ = n+ (n + (n + (n + (n + = n+ (n + (n + (n + = n + n+ n + b Die folgenden Umformungen sind äquivalent: x M x x + 9x x + 6 8x x x x (x 6 x x R \ (, Somit finden wir M = R \ (,

2 Aufgabe ( Punkte a Hat die Gerade G durch Schnittpunkt? und mit der Geraden G durch b Was ist der Senkrechtprojektionspunkt P E für den Punkt P = E = + R + R? und auf die Ebene 7 einen (+ Pkte Lösung. Zu a Wir haben G = + R( = + R und G = Soll G G sein, muss + R( t, s R Zahlen mit 7 = = t = R + s + R + R gelten. Es seien Das bedeutet, dass t + s =, t + s =, t s = sein muss. Addieren wir die letzten beiden Gleichungen, finden wir t =. Die Gleichungen für s widersprechen sich nun, so dass nur bleibt, dass G G = sein muss. Zu b Der Vektor n := = P E = P + t n. Nun ist aber t durch die Forderung P + t n also 6t = t n = P, n = also t =. Das liefert P E = n = weist in Richtung der Normalen an E. Es gilt also, +, n = P E = =., n = bestimmt,, = 6

3 Aufgabe ( Punkte a Gegeben sei die Matrix A := 7 8 t des Nullraumes N A := { x R A x = } in Abhängigkeit von t. b Sei t = und b := 7 und L = +R. Bestimmen Sie den Rang von A und die Dimension 8 ( Pkte. Gilt dann die Beziehung L L (A, b? ( Pkte c Gilt für t = sogar Dazu betrachten Sie v = + L = L (A, b?. ( Pkte Lösung. Zu a In A addieren wir zur. Zeile das 7 -fache der. Zeile und zur. Zeile das 8 -fache der. Zeile und erhalten 6 8/ / t Von der. Zeile subtrahieren wir die Hälfte der. Zeile und gelangen zu 6 8/. Also t gilt rg A =, für t = und rg A = für t. Aus dim N A = rg A ergibt sich, dass dim N A =, wenn t = und dim N A =, wenn t. ( Zu b Es gilt A + s = A +s A = b, also L L (A, b. 8 } {{ } } 8 {{ } Zu c Ähnlich wie unter c stellt man fest, dass A v = b. Jedoch b / L. Anderenfalls wäre v R 8 Aufgabe ( Punkte = b, was nicht möglich ist, wie man durch Vergleich der. Koordinaten sieht. = = a Die Folge (x n n sei definiert durch Hat die Folge (x n n einen Grenzwert? x n = n + n n + 7 n + n 6n +

4 ( Pkte b Für x sei f(x := 9x 6x +. (i Bestimmen Sie die Wertemenge W von f. (ii Berechnen Sie die Umkehrfunktion von f auf W. (+ Pkte Lösung. Zu a Es gilt n + n = n(n + 7 n und n + n = n(6n + + n. Damit ist aber x n = n n n + 7 ( n + n 6n + = n n + 7 n 6n + Zu b Es gilt f(x = 9(x x + 9 = 9((x + 9 = 9(x + und damit W [,. Da nun f(/ = und gleichzeitig f(x mit x folgt mit dem Zwischenwertsatz sogar W = [,. Zu c Wir wollen die Gleichung y = f(x für y nach x auflösen. Es kommt heraus x = ± y 9 Soll x werden, muss das +-Zeichen gewählt werden. So gelangen wir zu f (y = + y

5 Aufgabe ( Punkte Sei f(x = xex, für x >. x + a Berechnen Sie f. b Auf welchen Intervallen ist f monoton wachsend, wo monoton fallend? c Welche lokalen Extrema gibt es für die Funktion f? d Wie lautet die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f bei x =? (6+6++ Punkte Lösung. Zu a Es gilt mit der Quotientenregel f (x = (x + (ex + xe x xe x (x + x (x + ( + x x = e (x + = e x x + 6x + (x + Zu b Da x + 6x + = (x + x + = ((x + = (x ( + (x ( sehen wir: f > auf (, und f < auf (, +. Auf ( +, ist wieder f >. Zu c Bei hat f ein lokales Maximum und bei + ein lokales Minimum. Zu d Die Gleichung lautet y = f( + f ( (x +. Wegen f( = f ( = e folgt y = e x + e. Aufgabe 6 ( Punkte a Berechnen Sie mit der Substitutionsregel das Integral I := t ln ( + t dt. ( Punkte b Wie lautet der Ansatz zur Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion R(x := x 6x + x 8 (x (x + 6 ( Punkte c Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung zu R. (6 Punkte ( d Berechnen Sie das Integral I := x (x x dx + 6 (6 Punkte

6 Lösung. Zu a Substituieren wir u = t, so folgt I = t ln ( + t dt = ln ( + udu = ( ( + u ln ( + u ( + u = ( 8ln 8 ln ( = ln ln Zu b Der gesuchte Ansatz lautet R(x = A x + B (x + Cx + D x + 6 Zu c Ausmultiplizieren liefert uns R(x = A(x (x B(x (Cx + D(x (x (x + 6 = (A + Cx + ( A + B C + Dx + (6A + C Dx 6A + 6B + D (x (x + 6 Es folgt C = A, A + B C + D = 6, 6A + C D =, 6A + 6B + D = 8 A + B + D =, A D = 7, 6A + 6B + D = 8 7A + B = 7, Das letztere führt auf B =, A =, also C =, D =. Dann wird Zu d Es gilt ( I := x (x x dx + 6 ( = ln (x + x arctg (x = 6ln (arctg ( arctg ( 7A + B = 8 R(x = x (x x + 6 Aufgabe 7 ( Punkte Es sei α die in Polarkoordinaten gegebene Kurve mit r(ϕ = + cos(ϕ, π ϕ < π. α(ϕ = r(ϕ ( cos ϕ sin ϕ

7 a Bestimmen Sie die Tangente an diese Kurve im Punkte α(π/. b An welchen regulären Stellen von α verläuft die Tangente an α senkrecht? c Was ist der Flächeninhalt der von der Kurve eingeschlossenen Fläche? (6+6+8 Punkte Lösung. Zu a Es gilt ( α (ϕ = r cos ϕ (ϕ sin ϕ Für ϕ = π folgt Die Tangente ist dann = ( sin(ϕ ( cos ϕ sin ϕ α ( π = ( sin ϕ + r(ϕ cos ϕ ( + ( + cos(ϕ ( sin ϕ cos ϕ + ( + ( T = α(π/ + Rα (π/ = ( + ( = ( + R ( Zu b Es gilt x (ϕ = sin(ϕ cos ϕ ( + cos ϕ sin ϕ = ( + cos(ϕ sin ϕ = genau dann, wenn ϕ {, π}. Zu c Da die Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist, ist der gesuchte Flächeninhalt gerade A = = π π π π = π + π r(ϕ dϕ ( + cos(ϕ + cos ϕ dϕ Aufgabe 8 ( Punkte Es sei f(x, y := cos(πx sin(πxy + cos (πy. Mit g(t, s bezeichnen wir die Abbildung ( g(t, s = t(t + s, s(t st a Berechnen Sie f (8 Punkte b Was ist die Jacobimatrix von g? ( Punkte c Für h(t, s := f( g(t, s berechnen Sie h(,. (8 Punkte Lösung. Zu a Mit den Rechenregeln für das partielle Ableiten folgt f x = π ( sin(πx sin(πxy + y cos(πx cos(πxy

8 Zu b Es gilt Zu c Es gilt g(, = (, 6, weiter J g (, = f y = π (x cos(πx cos(πxy cos(πy sin(πy ( t + s t J g (t, s = s s t st ( 6 7 f(, 6 = π( 6, und Damit folgt ( h(, = π( 6, 6 7 = ( 6π, π

9 Aufgabe 9 ( Punkte Es sei G das Gebiet, das zwischen x = und x = von oben durch den Graphen der Funktion f(x := ( x und von unten durch den Graphen der Funktion g(x := x berandet wird. a Skizzieren Sie das Gebiet G. ( Punkte b Berechnen Sie für x [, /] das Integral J(x := c Berechnen Sie das Integral I = G f(x g(x dy ( + x + y (7 Punkte dg unter Angabe des vollständigen Lösungsweges. ( + x + y (8 Punkte Lösung. Zu a Das Gebiet hat folgendes Aussehen: x Zu b Es gilt J(x = = = ( x x + x + y dy ( + x + y ( x = x + x + x + x + x + x + x + ( x

10 Zu c I = / dx / + x + x = arctg ( x + dx + x arctg ( x 8 = 7 arctg ( arctg ( + arctg ( arctg ( / Aufgabe ( Punkte Untersuchen Sie die Differenzialgleichung y + y 6y + y = (t e t a Was ist das charakteristische Polynom P dieser DGL? ( Punkte b Was sind seine Nullstellen? (Hinweis: Eine der Nullstellen liegt bei. ( Punkte c Bestimmen Sie die resultierenden Basislösungen. ( Punkte d Wie lautet der Ansatz für eine partikuläre Lösung u p? ( Punkte e Berechnen Sie u p mit diesem Ansatz. (6 Punkte Beachten Sie: Die Variable ist t. Lösung. Zu a Es ist P (X = X + X 6X +. Zu b Es gilt P (X = (X (X +, so dass die Nullstellen gegeben sind durch λ = (-fach und λ =. Zu c Es resultieren die Basislösungen u (t = e t, u (t = te t und u (t = e t. Zu d Der Ansatz für eine partikuläre Lösung u p ist u p (t = (at + be t. Zu e Einsetzen in die DGL liefert wegen u p(t = (a b ate t, u (t = ( a + b + ate t und u (t = (a b ate t : P ( d dt u p = ( a + 6b + 6ate t = (t e t Wir wählen also a =, b =. Dann wird die allgemeine Lösung mit Konstanten A, B und C. u(t = (At + Be t + Ce t + t e t