Vermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie

Transkript

1 Aufgabe : Vermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie Bilden die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme jeweils einen Unterraum des IR 3? Begründen Sie. (i) (ii) + 3 = + 3 = + 3 = = ( (i) ist schreibbar als A = mit der Matri A = Mengen M sind immer Unterräume des IR 3, denn: ). Solche, y M A = A y = A( + y) = A + A y = + = + y M. Analog folgt: λ M M, λ IR. Die Lösungsmenge von (ii) stellt keinen Unterraum dar, da sie nicht einmal den Nullvektor enthält. Aufgabe : Für welche α IR sind folgende Vektoren linear unabhängig? =, y = α, z = α Dies entscheiden wir über die Determinante der Matri A = α α det A }{{} = = det 7 α 4 }{{} = = (α )(α 4).Sp-*3.Sp α Laplace,.Z.Sp-*3.Sp Also sind die Vektoren l.a. det A = α = oder α = 4. Alternativ wäre auch möglich, die Matri auf Rang 3 zu untersuchen. Aufgabe 3: Was ist über die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems = = = = 4 :

2 auszusagen, wenn der Vektor b = (i) b = (ii) b = b b b 3 b 4 gegeben ist durch (iii) b = Diese drei Aufgaben lösen wir simultan mit dem Gauß-Algorithmus: }{{} 4 5 }{{} tauschen.//.z 3.Z-.Z Z -.Z Zur Auswertung: }{{} 4.Z +.Z }{{} 4.Z-3.Z (i) Das homogene LGS ist natürlich lösbar. Der Rang der Matri ist 3, also kann eine Variable, etwa 4 frei gewählt werden. Sukzessives Auflösen von unten nach oben liefert: 4 = 3 = 3 t = = 3 4 = 3 t t = 4 3 t = = = 8 3 t 3 t 3t = 3 t Dies kann man noch zusammenfassen zum Lösungsvektor t 3 = 4 t 3 3 t = t 4 3, t IR t (ii) Dieses LGS ist unlösbar, denn die 4.Zeile enthält den Widerspruch = (iii) Dieses LGS ist lösbar, denn die 4. Zeile birgt jetzt nichts Widersprüchliches. Wieder kann man sukzessive von unten nach oben auflösen:

3 4 wählen wir frei: 4 = t 4 = 3 3 = = 3 t = = 3 t t + = 4 3 t = = t 3 t 3t = 3 t + Lösungsvektor: = 3 t t 3 t + t = t Aufgabe 4: Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem einmal mit der Cramerschen Regel und einmal unter Benutzung der Matri-Inversen: = = + = 3 Die Matri-Inverse berechnen wir mit dem Gauß-Algorithmus: }{{} }{{} 3.Z-.Z }{{} (3,Z):3 }{{}.Z-.Z 3.Z-.Z A = 3 3 tauschen und *(-) }{{} 3.Z - *.Z 3 }{{}.Z + 3.Z.Z - *3.Z 3 3 A = 3 3 können wir nun lösen über = A 3 = = Alternativ können wir auch mit der Cramerschen Regel arbeiten:

4 det A = 3 = 3 det = 3 det 3 = 3 det = = 3 = 5 3 Das Beispiel soll zeigen, dass diese Methoden zwar funktionieren, aber rechentechnisch aufwändig sind. Aufgabe 5: Ermitteln Sie Art und Lage der Etremstellen der Funktion f(, y, z) = 6z + z y 4z. f = (z, y, 8z + 6) = (,, ) y = und = z = Die Hesse-Martri in diesem Punkt ist gegeben durch H =. 8 Die Definitheit entscheiden wir über die Hauptminoren: ( ) H = <, H = det = 4 >, H 3 = det H = 4 <. H ist also negativ definit, und damit ist der Punkt (,, ) T eine Maimalstelle. Aufgabe 6: Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren für folgende Matrizen: A = 3 3, B = 4 5 C = Welche dieser Matrizen sind diagonalisierbar?

5 Lösungen: A = : p A (λ) = det(a λe) = det λ(λ )(λ + ) λ 3 3 λ λ =... = Eigenwerte:,,, alle einfach alle Eigenräume sind eindimensional Eigenvektoren zu λ = : = 3 = Ein Eigenvektor ist z.b. = 3 Eigenvektoren zu λ = : = 9 = Ein Eigenvektor ist z.b. Eigenvektoren zu λ 3 = : = 9 = Ein Eigenvektor ist z.b. = A ist diagonalisierbar: Mit S = 3 3 gilt: 7 S AS =

6 B = : p B (λ) = det(b λe) = det (λ ) (λ ) 5 λ λ λ =... = Eigenwerte: λ = ist doppelter, λ = ist einfacher Eigenwert. Eigenvektoren zu λ = : =. Der Rang dieser Matri ist, also ist der Eigenraum zweidimensional. Zwei l.ua. Eigenvektoren sind z.b. gegeben durch = und = Eigenvektoren zu λ = : = Ein Eigenvektor ist z.b. gegeben durch = = Wir haben drei l.ua. Eigenvektoren. Also ist B diagonalisierbar. Genauer gilt mit S = C = : S BS = p C (λ) = det(c λe) = det (λ )(λ 4) 3 λ 4 λ 3 λ =... = Eigenwerte: λ = ist einfacher, λ = 4 doppelter Eigenwert.

7 Aufgabe 7: Eigenvektoren zu λ = : = = Ein Eigenvektor ist z.b. gegeben durch = Eigenvektoren zu λ = 4 : = =. Die Matri hat Rang. Der Eigenraum ist also nur eindimensional. Damit ist C nicht diagonalisierbar. Ein Eigenvektor ist z.b. gegeben durch = Berechnen Sie die m te Potenz der Matrizen ( ) A = und B = 3 L sungshinweis: 3 3 Diagonalisiere die Matrizen: S AS = Λ A m = SΛ m S. Aufgabe 8: Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen (in Abhängigkeit der Parameter α bzw. β ): α β 3 3 A = 3, B = 3 β C = α 3 Lösungen: Die ersten beiden Zeilen in A sind l.a. ( α det 3 ) = 3α 4 = α = 4. In diesem Falle sind dann aber die. Und 3. ( 3 ) 3 Zeile l.ua., denn det 3 4 = 9.A hat also stets Rang β 3 det B = }{{} = det 3β β 9 }{{} = (.Z)-3*(.Z),(3.Z)-(.Z) β Laplace,.Sp (β + )(β 9), also für β oder 9. In diesem Fall ist also

8 rg B =3. Für β = ist rg B = rg Für β = 9 ist rg B = rg = = In C sind die ersten drei Spalten l.ua., denn det = }{{} Laplace,.Sp Aufgabe 9: ( 3 ( 3) det ) = 3, und damit ist rg C = 3 Berechnen Sie die Determinante folgender Matrizen: A = π 4, B = ( ) det π 4 }{{} = ( ) = ( ) ( ) = Laplace, 3.Sp det }{{} = det 3 4 (3.Z)-(4.Z) }{{} = det }{{} = ( 3) det 3 4 Laplace 4.Sp Laplace,.Sp) ( 6 ) }{{} = ( 3) (+6) det = Laplace, 3.Sp Aufgabe : Zeigen Sie folgende Aussagen: (i) Genau dann gilt für zwei quadratische Matrizen A und B die Binomische Formel (A + B) = A + AB + B, wenn AB = BA gilt.

9 (ii) Sind, y und z IR n linear abhängig, so lässt sich einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden schreiben. (iii) Ist A eine invertierbare quadratische Matri, so sind alle Eigenwerte von A ungleich, und ist λ ein solcher Eigenwert von A, so ist λ ein Eigenwert von A. (iv) Ist A eine diagonalisierbare quadratische Matri, so konvergiert A m für m gegen die Nullmatri genau dann, wenn alle Eigenwerte von A betragsmäßig kleiner als sind. (i) (A + B) = (A + B)(A + B) = A + AB + BA + B = A + AB + B AB = BA (ii) Gelte α + α y + α 3 z = mit Zahlen α, α, α 3, nicht alle gleich sind, etwa α 3. Dann ist aber z = α α y, also z α 3 α 3 Linearkombination von und y. (iii) Sei A invertierbar det A P A () = det(a E) ist kein Eigenwert von A. Der Rest folgt aus: A = λ λ = A λ (iv) Ist S AS = Λ = O λ m A m = SΛ m S = S O λ i < i =,..., n. Aufgabe : O λ n, so ist A = SΛS O λ m n und S O, m Geben Sie zu folgenden Funktionen jeweils eine Stammfunktion an: sin + cos sin ; ; sin ln ; ; e sin ; + arctan ; ( ) ; 3 + ; 3 e ( ) ( + 4) Lösungen: ( sin ) d = cos sin + cos sin d = ln sin (Integrand ist von der Bauart f f )

10 ln d }{{} = = ln =u; d=du d = }{{} =u; d=du e sin d = }{{} e sin + u du = u = ln du = u = u e cos d = }{{} e sin e cos 4e sin d 5 e sin d = e sin e cos e sin d = ( ) e sin e cos 5 arctan d }{{} = arctan + d }{{} = ausdividieren arctan ( ) d = + arctan ( arctan ) + ( = ( ) }{{} + ) d = ln + ln Zuh.meth. 3 + = A ( ) + B + C mit Konstanten A, B und C. B und C erhält man über die Zuhaltemethode zu B =, C =, den rest am besten durch die Rechnung ( ) = = ( ) ( ) = 3 + ( = ( ) + ) d = ln + + ln 3 e d }{{} = 3 e + 3 e d }{{} = = 3 e 3 e + 6e d }{{} = 3 e 3 e 6e + 6e d = 3 e 3 e 6e 6e ( + 4) = }{{} abdividieren ( + 4) }{{} = PBZ + A + B + C + 4 A erhält man per Zuhaltemethode zu A =. Für den Rest empfiehlt sich die Rechnung ( + 4) = = ( + 4) + 4

11 ( + 4) + ln + arctan( ) d = ( + + ) d = + 4 Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f() = 4 auf dem Intervall [, ]. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man den Graphen von f() um die Achse rotieren lässt. Das gesuchte Volumen ist = π π π 6 = π 6 Aufgabe 3: / f () d = π / d = π arcsin / Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen den Kurven y = sin und y = sin im Bereich [, π] (Hinweis: Es gilt die trigonometrische Identität sin = sin cos. ) = Die Kurven schneiden sich in den Punkten (, ), (π, ) und wegen der Identität sin = sin cos auch dort, wo cos = cos = = π 3 gilt. (s. auch obige Skizze). Der linke Teil der Fläche ist dann = π/3 ( ) sin() sin d =

12 ( ) cos()+cos π/3 = ist = π π/3 ( ) sin sin() (beachte: cos π 3 = ) Aufgabe 4: (( ) ( ) ) + + = 4 und der rechte Teil d = ( cos + ) cos() π = + π/ = 9 4 Entscheiden Sie, ob folgende uneigentliche Integrale eistieren, und berechnen Sie ggf. ihren Wert: e d; Lösungen: e d = }{{} e d ; 4 e = 4 e + }{{} = ln d ; ln d e d = }{{} e + }{{} = e d = e d eistiert nicht denn: e d = ln( ) = ln d = ln ln = e und ln d = ( ln ) =, (beachte: ln lim ln = lim + + }{{} = lim + l Hosp. = lim + = ) Aufgabe 5: Entscheiden Sie, ob folgende uneigentliche Integrale eistieren: cos d ; e d ; e d ; e d ; ln d

13 cos d eistiert, denn: cos 3/ und d < 3/ e d eistiert, denn der Integrand ist bei = stetig fortsetzbar. Beachte dabei, dass lim e }{{} = lim l Hosp. e = gilt. e d e. nicht, denn e d = ist beschränkt und e d e., denn: e e ; ; und e d = e = e < ln Aufgabe 6: d = ln =. Berechnen Sie folgende Flächenintegrale (i) M = [, ] [, 3]; f(, y) = y M f(, y) d(, y) : (ii) M = {(, y) T IR : ; y + }; f(, y) = y ( ) (iii) M = {(, y) T IR : + y 4, }; f(, y) = sin π( + y ) Lösungen: (i) M f(, y) d(, y) = 3 3 = y dy d = y=3 6 3 y3 d = y= 3 d =

14 (ii) M f(, y) d(, y) = + y dy d = + y = ) (( +) 3 d = ( ) d = ( ) = 4 (iii) In Polarkoordinaten ist = r cos ϕ, y = r sin ϕ, + y = r und für (, y) T M ist r, ϕ π sowie d(, y) = rd(r, ϕ) M f(, y) d(, y) = π cos 4π + cos π = = ( sin(πr )r dr dϕ = π ) r= π cos(πr ) = r=