Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 07./ statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden zeitnah statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe,unddassalle8aufgaben(aufgabe-aufgabe8)ingutleserlichemdruckvorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Note:

2 Aufgabe (5 Punkte) Die Funktion f : R R besitze den folgenden Funktionsgraf: 2 f Skizzieren Sie die folgenden Funktionen jeweils in dem darüber stehenden Koordinatensystem: a) g b) g g(x) = f(x+) 2 g(x) = 2 f(x)+ c) g d) g g(x) = f( 2 x) g(x) = f( x)+2 e) g g(x) = f( x)

3 Aufgabe 2 (maximal 4, minimal 0 Punkte) In der folgenden Aufgabe zählt jede richtige Angabe +0.5 Punkte, jede falsche -0.5; keine Angabe zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. a) Die in der Skizze dargestellte Funktion hat die Gestalt f(x) f(x) = a (x+) p (x ) p 2 (x 4) p 3 mit einem Vorfaktor a, der gleich plus oder minuseinsist,undmitpotenzenp k,diegleich, 2 oder 3 sind x Welche Werte sind die richtigen? a = p = p 2 = p 3 = b) Die in der Skizze dargestellte Funktion hat die Gestalt f(x) f(x) = a (x+2) + b p (x 2) q, wobei a und b jeweils gleich plus oder minus Eins und p und q jeweils gleich oder 2 sind x Welche Werte sind die richtigen? a = p = b = q =

4 Aufgabe 3 (2+3 = 5 Punkte) Geben Sie Werte x R an, für die die jeweilige Gleichung erfüllt ist. a) log 8 x+log 2 x = 8. b) sin 2 x+cosx = 4.

5 Aufgabe 4 (7 Punkte) Geben Sie zu den angegebenen komplexen Zahlen z die entsprechenden Werte an (bei d), e) und f) egal ob in kartesischer oder Polar-Darstellung). z = 3 4j z = 3 e π 3 j a) z b) Rez c) Imz d) z e) z 2 f) z

6 Aufgabe 5 (5 Punkte) Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, ob die angegebene Folge konvergent ist oder nicht. Geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an. (Falsche Angaben führen zu Punktabzug.) a) a n = cosn. b) b n = cos n. c) c n = cosn. d) d n = 0 für alle n, die nicht durch 0 teilbar sind; ist n Vielfaches von 0, so ist d n = n. e) e n = für alle n außer für Zehnerpotenzen; ist n = 0 k, so ist e n = n. f) f n istgleichdern-tennachkommazifferinderdezimaldarstellungvon 2 = , also f = 4, f 2 =, f 3 = 4, f 4 = 2,... g) g n ist gleich der nach der n-ten Nachkommaziffer abgeschnittenen Dezimaldarstellung von 2 = , also g =.4, g 2 =.4, g 3 =.44, g 4 =.442,... a) b) c) d) e) f) g) nicht konvergent konvergent mit Grenzwert

7 Aufgabe 6 ( = 5 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x 0 cos(3x 2 ) x 4. b) lim x ( x2 +3x x ). (Tipp zu b): Dritte binomische Formel!)

8 Aufgabe 7 (3+2 = 5 Punkte) Mit Hilfe des Newton-Verfahrens soll 3 20 als Lösung von x 3 = 20 bestimmt werden. Als Startpunkt wird x 0 = 2 gewählt. a) Führen Sie zwei Schritte der Newton-Iteration aus. b) Zeichnen Sie die Situation mit den beiden Newton-Schritten. (Nutzen Sie dabei die Information der Rechnung aus a).)

9 Aufgabe 8 (++2 = 4 Punkte) Von einem Turm der Höhe h aus ist die Horizontlinie w(h) = 2Rh+h 2 weit entfernt, wobei R 6370 km den Erdradius bezeichnet. (Dies brauchen Sie nicht zu zeigen.) a) Geben Sie die Ableitung w (h) an. b) Nutzen Sie die Ableitung von w, um eine Näherungsformel anzugeben, wieviel weiter die Horizontlinie entfernt ist, wenn der Turm um h höher ist. c) Bei einem Turm der Höhe h = 00m ist w(h) 35km. (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Nutzen Sie die Formel aus b), um einen Näherungswert anzugeben, wieviel weiter kann man sehen kann, wenn man den Turm um 2m erhöht. (Das exakte Ergebnis soll innerhalb von ±5% Ihres Ergebnisses liegen.)

10 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 07./ statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden zeitnah statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 9 Aufgaben (Aufgabe 9 - Aufgabe 7) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

11 Aufgabe 9 (4 Punkte) Für welche Stelle a [0;2] wird das Rechteck unter der Parabel f(x) f(x) = 4 x 2 flächenmäßig maximal (s. Skizze)? Begründen Sie Ihre Aussage! a x

12 Aufgabe 0 (.5+.5 = 3 Punkte) Das Integral 6 0 f(x) dx zur abgebildeten Funktion f (mit einer Maximalstelle bei.5 und einer Minimalstelle bei 5) soll durch eine Riemannsche Zwischensumme S zur Zerlegung x 0 = 0, x = 2, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = 6 angenähert werden. a) Skizzieren Sie in dem Bild, wie sich die Riemannsche Zwischensumme S ergibt, wenn man als Zwischenstellen x =, x 2 = 2, x 3 = 3.5, x 4 = 6 wählt. (Sie brauchen nur zu zeichnen, nicht zu rechnen.) f(x) x b) Welche Zwischenstellen x, x 2, x 3 und x 4 muss man wählen, damit die Riemannsche Zwischensumme S (bei gleicher Zerlegung) möglichst klein ist? x = x 2 = x 3 = x 4 =

13 Aufgabe ( = 8 Punkte) Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion zu a) f(x) = 3x 4 +2x 2 x + x 2, b) f(x) = sin(4x+), c) f(x) = x x+, d) f(x) = x x 2 +.

14 Aufgabe 2 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Kann man den Vektor a als Linearkombination der entsprechend aufgeführten Vektoren v i darstellen? Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche 0.5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. geht geht nicht a = a = a = a = ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 4 v = v = v = v = ( ), v 2 = 2 ( ) 0 0 ( ) ( ) 2, v 2 = 2 ( ) ( ) 3, v 2 = 2 6 ( ) ( ) 3, v 2 = a = 2 v =, v 2 =, v 3 = a = 5 v =, v 2 =, v 3 = a = 2 v = 0, v 2 =, v 3 = a = 2 v =, v 2 = 0 4 3

15 Aufgabe 3 (++3 = 5 Punkte) a Gegeben ist der Vektor v = 2 mit einem Parameter a. a) Für welche Parameterwerte a gilt v = 5? 3 b) Für welche Parameterwerte a steht v senkrecht auf? 3 c) Für welche Parameterwerte a besitzt das von v und 0 aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt 7?

16 Aufgabe 4 (5 Punkte) Die nebenstehende Karte (genordet mit km- Raster) zeigt die Lage von vier Bauernhöfen A, B, C und D. B N D Steht man auf einem Hügel weiter südlich, so sieht man die Höfe A und B genau übereinander, ebenso die Höfe C und D Wie weit südlich vom Hof A liegt der Hügel? A C

17 Aufgabe 5 (maximal 4, minimal 0 Punkte) Bei dieser Aufgabe zählt jeder richtige Eintrag +0, 5 Punkte, jeder falsche 0, 5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. a) Betrachtet wird (I) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und (H) das zugehörige homogene Gleichungssystem. Seien x s, und x s,2 Lösungen von (I) und x h, und x h,2 Lösungen von (H). Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Vektoren Lösungen von (I), (H) oder von keinem von beiden sind. (I) ist Lösung von keinem (H) von beiden x h, x s, x s, x h, x h, x h,2 x s, x s,2 b) Betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit einer 3 4-Matrix A, also 3 Gleichungen mit 4 Variablen. Welche Möglichkeiten für die Lösungsmenge L gibt es? ist möglich ist nicht möglich L ist leer. L enthält genau ein Element. L enthält genau zwei Elemente. L enthält unendlich viele Elemente.

18 Aufgabe 6 (maximal 3, minimal 0 Punkte) In den folgenden Matrix-Produkten steht für einen beliebigen Eintrag. Markieren Sie die Einträge der Ergebnismatrizen mit 0, die auf jeden Fall gleich Null sind. Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen. Falsche Einträge geben Punktabzug = = 0 = 0 0

19 Aufgabe 7 (4 Punkte) Berechnen Sie det