Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Informatik Teil 1

Transkript

1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Informatik Teil 1 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen und Formelblätter, ein einfacher Taschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen haben, und dass alle 9 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 1 Σ 2 Σ Max Note:

2 Aufgabe 1 (2+2+3 = 7 Punkte) Sei f : R 2 R, f(x,y) = x 2 y. a) Zeichnen Sie in das Koordinatensystem unten den groben Verlauf der partiellen Funktionen zu y 0 = 1, 0, 1 und 2 ein. b) Geben Sie eine Gleichung für die Tangentialebene zu f im Punkt (1,2) an. c) Führen Sie zwei Schritte des Gradientenverfahrens zur Minimierung von f ausgehend vom Punkt (3,4) mit Schrittweite λ = 1 2 durch x y

3 Aufgabe 2 (1+1+1 = 3 Punkte) Betrachtet werden die beiden Funktionen ( ) t f : R 0 R 2 2, f(t) = sint und g : R 1 R 2, g(t) = 1 t ( ) cost. sint a) Kreuzen Sie das Bild an, das f darstellt. (x- und y-achse haben unterschiedliche Skalierungen.) b) Kreuzen Sie das Bild an, das g darstellt. c) Geben Sie eine Darstellung der Tangente T f an f zu t 0 = π an.

4 Aufgabe 3 (4 Punkte) Berechnen Sie K 2 x 2 (x 2 +y 2 )d(x,y), wobei K 2 der Kreis mit Radius 2 um den Ursprung ist. (Tipp: Polarkoordinaten)

5 Aufgabe 4 (maximal 3, minimal 0 Punkte) Betrachtet werden zwei verschiedene Differenzialgleichungssysteme zu jeweils zwei Funktionen u(t) und v(t), die die Populationsgröße bestimmter Spezies angeben. Dabei wird davon ausgegangen, dass u(t) 0 und v(t) 0 ist. Kreuzen Sie die richtigen Zusammenhänge in der folgenden Tabelle an. (Jedes richtige Kreuz zählt +0.5 Punkte, jedes falsche 0.5 Punkte; Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen.) u = u v u = e v v = 1 u v = v e u u vermehrt sich mehr, je größer u ist. u vermehrt sich mehr, je kleiner u ist. u vermehrt sich mehr, je größer v ist. u vermehrt sich mehr, je kleiner v ist. v vermehrt sich mehr, je größer u ist. v vermehrt sich mehr, je kleiner u ist. v vermehrt sich mehr, je größer v ist. v vermehrt sich mehr, je kleiner v ist.

6 Aufgabe 5 (5 Punkte) Gegeben sind die vier Datenpunkte f 0 = 2, f 1 = 1, f 2 = 3, f 3 = 0. Berechnen Sie relevanten Koeffizienten zur diskreten Fourier-Transformation zu diesen Daten. ( relevant bedeutet, dass diese Koeffizienten für die Rücktransformation benötigt werden.)

7 Aufgabe 6 (maximal 5, minimal 0 Punkte) a) Bestimmen Sie die Negation der folgenden Aussagen: A 1 : n N : m N : n = 2m. A 2 : m N : n N : n = 2m. A 3 : a R 0 : x R : a = x 2. A 4 : x R : a R 0 : a = x 2. ( A 5 : a R : a 0 oder ( x R : a = e x ) ). b) Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, ob jeweils die ursprüngliche Aussage A i aus a) oder ob deren Negation stimmt. (Jeder richtige Eintrag zählt +0.5 Punkte, jeder falsche -0.5; die Summe wird mit den Punkten aus Teil a) verrechnet.) i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 A i stimmt Negation von A i stimmt

8 Aufgabe 7 (4 Punkte) Auf N 0 = {0,1,2,...} sei die Relation R definiert durch R = {(k,k +1) k N 0 }. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für n N = {1,2,...} gilt: (0,n) R n.

9 Aufgabe 8 (3 Punkte) Geben Sie den Wert von ( ) ( ) als gekürzten Bruch (nicht als Dezimalzahl!) an!

10 Aufgabe 9 (1+3+2 = 6 Punkte) Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 4 und σ = 1.5. Die entsprechende Dichtefunktion sei f. Indem man Ziehungsergebnisse, die kleiner als 2 oder größer als 5 sind, verwirft und solange neu zieht, bis man in den Bereich von 2 bis 5 kommt, erhält man eine neue Zufallsvariable Y. Diese hat die Dichtefunktion g(y) = { c f(y), falls y [2,5], 0, sonst, mit einer geeigneten Konstanten c. a) Skizzieren Sie g. b) Welchen Wert hat c (ungefähr)? c) Welchen Erwartungswert und welche Standardabweichung hat Y ungefähr. Kreuzen Sie den richtigen Wert an. (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen) Erwartungswert Standardabweichung