Aufgabenkomplex 3: Integralrechnung, Kurven im Raum

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Gottlob Burgstaller
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1 Technische Universität Chemnit. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple : Integralrechnung, Kurven im Raum Letter Abgabetermin: 6. Mai in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 4/65) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomple kenneichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! Alle Aufgaben sind ohne elektronische Hilfsmittel u lösen!. Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale: 6sin4 )+e + 5 ), b) e + 8 e + 4 ), + 49, d) + +5, e e) e cos, f) ) 4 e! Hinweis u e): Führen Sie e cos unächst durch partielle Integration auf e sin und letteres Integral wieder auf e cos urück!. Berechnen Sie die Stammfunktionen von f)= +5 und b) f)= 5! Nehmen Sie dafür im Falle b) eine Partialbrucherlegung vor, d.h., bestimmen Sie Konstanten A und B so, dass 5 = 5)+5) = A 5 + B +5 gilt! Überprüfen Sie in beiden Fällen Ihre Ergebnisse durch eine Probe!. Berechnen Sie den Inhalt der von den Kurven =sin π und = +6 8 begrenten endlichen Fläche! 4. Ein Körper entstehe durch Rotation der von der -Achse und den Kurven =, = und = begrenten Fläche um die -Achse. +4 Geben Sie den Querschnitt des Körpers, d.h. den Flächeninhalt der Schnittfläche des Körpers mit der ur --Ebene parallelen Ebene, in Abhängigkeit von an! b) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers durch Integration! 5. Welchen Wert haben die Integrale 4 4 und b) t cost 6. Betrachtet wird die Kurve t)= t sint für t π. π t 4 4? Skiieren Sie die Kurve! Achten Sie dabei auf korrekte Darstellung des Anfangs- und des Endpunktes! b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt π,,π)!

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Mai Aufgabenkomple : Integralrechnung, Kurven im Raum Letter Abgabetermin: 6. Mai. Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale: 6sin4 )+e + 5 ), b) e + 8 e + 4 ), + 49, d) + +5, e e) e cos, f) ) 4 e! Hinweis u e): Führen Sie e cos unächst durch partielle Integration auf e sin und letteres Integral wieder auf e cos urück! 6sin4 )+e +5 ) = 6 sin4 )d4 ) =cos4 ) e + 5+C e d )+5 Dabei sind die Substitutionen t=4, dt=, = dt und u=, du=, = du ausgeführt.) b) e + 8 e + 4 )= e + 8 de + 8 )= 8 e + 8 ) 4 +C Dabei ist die Substitution t=e + 8, dt=e +8 ), e +4 )= dt ausgeführt.) + 49 = 49 ) + = d ) 49 ) + = arctan +C Dabei ist die Substitution t=, dt=, =dt ausgeführt.) d) + +5 = +) + 49 = 49 + ) + = d ) ) + = + arctan +C Dabei ist die Substitution t= + e) partielle Integration: e cos= e sin e sin = e sin e cos+ = e sin+ 9 e cos 9 e cos= e sin+ 9 e cos+ C, 9 e cos= e sin+cos)+c, dt=, =dt ausgeführt.) e cos, ) e cos

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Mai f) e ) 4 e e = ) 4 de )= e ) 5 +C Dabei ist die Substitution t=e, dt=e, e = dt ausgeführt.). Berechnen Sie die Stammfunktionen von f)= +5 und b) f)= 5! Nehmen Sie dafür im Falle b) eine Partialbrucherlegung vor, d.h., bestimmen Sie Konstanten A und B so, dass 5 = 5)+5) = A 5 + B +5 gilt! Überprüfen Sie in beiden Fällen Ihre Ergebnisse durch eine Probe! +5 = 5 5 += 5 5 ) + = 5dt 5 t + = dt 5 t + = 5 arctant+c= 5 arctan 5 +C b) Dabei ist die Substitution t=, =5t, =5, =5dt verwendet worden. 5 dt d Probe: 5 arctan 5 = 5 5 ) + = 5 5 += +5 A 5 + B +5 = A+5)+B 5) 5)+5) = A+B)+5A 5B) = 5 5 Für alle muss alsoa+b)+5a 5B)= sein. Die Polnome können nur gleich sein, wenn ihre Koeffiienten übereinstimmen Koeffiientenvergleich ): A + B = 5 5A 5B= + 5 = 5 +5 = ) ln 5 ln +5 +C= ln Probe: dln = dln ) d ln 5 +5 = dln =, > = =, < ) +5) = 5A+5B=5 + A = A =, B= C 5)+5) = 5

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Mai 4. Berechnen Sie den Inhalt der von den Kurven =sin π und = +6 8 begrenten endlichen Fläche! sin π = gilt, falls π ganahliges Vielfaches von π ist, d.h., falls eine gerade gane Zahl ist. +6 8= 6+8)= gilt für =, / =± 9 8=; 4 Somit hat die beschriebene Fläche die skiierte Form, die Kurven schneiden sich für =, und 4. = sin π 4 sin π [ π cos π ] [ + π cos π )+ ] 4 [ ) ] + [ = π )+ π +) 4 )++4)= 8 π ] Ein Körper entstehe durch Rotation der von der -Achse und den Kurven =, = und = begrenten Fläche um die -Achse. +4 Geben Sie den Querschnitt des Körpers, d.h. den Flächeninhalt der Schnittfläche des Körpers mit der ur --Ebene parallelen Ebene, in Abhängigkeit von an! b) Bestimmen Sie das Volumen des Körpers durch Integration! Die Querschnittsfläche ist ein Kreis mit dem Radius = A)=π)) = π +4. b) V= / / A)=π / / +4 = π = π arctan arctan ))= π =/ = / π 4 π 4 +) = π ))= π 4 Dabei ist die Substitution t=, dt dt =, = t= t=, ihr Flächeninhalt somit +4 dt +t = π verwendet worden.) dt π +t = arctant

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple. Mai 5 5. Welchen Wert haben die Integrale 4 4 und b) 4 4? Der Integrand hat an der Stelle =einen Pol 4. Grades = = lim ε [ ] ε [ + lim ] 4 ε + = ε 9 )= b) 4 = =, 4 4 = + 4 = d )+ 4 = [ ] +[ ] 4 = )+4 =6 t cost 6. Betrachtet wird die Kurve t)= t sint für t π. π t Skiieren Sie die Kurve! Achten Sie dabei auf korrekte Darstellung des Anfangs- und des Endpunktes! b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt π,,π)! Anfangspunkt:,, π), Endpunkt:π,, ) Darstellungsbeispiele Skalenlänge jeweils ): π b) t)= erhält man für t=π. π cost t sint t)= sint+t cost, π)= π, als Richtungsvektor der Tangente kann auch π genommen werden. π Tangentengleichung: Tangente = +u π π