5.5. Aufgaben zur Integralrechnung

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1 .. Aufgn ur Ingrlrchnung Aufg : Smmfunkionn Bsimmn Si jwils ll Smmfunkionn für di folgndn Funkionn: ) f() f) f() k) f() n mi n R\{} p) f() ) f() g) f() l) f() + 6 q) f() f() h) f() m) f() + + r) f() n n + n f() R i) f() n) f(u) u u + 7u s) f() sin ) f() j) f() o) f() ) f() cos Aufg : Hups und Eignschfn ds Ingrls Brchnn Si di folgndn Ingrl: ) ) ( )d ( )d ) ( )d f) d, d und d (Inrvllddiiviä) d (Vruschung dr Grnn w. d < ) ( )d (Flächn unrhl dr -Achs w. f() < ) Aufg : Flächn unrhl dr -Achs Brchnn Si dn Gsminhl F llr Flächn, di von dn Snkrchn w. sowi von dr -Achs und dm Schuild von f grn wrdn: ) f() mi und f() mi und ) f() mi und ) f() mi und f() mi und f) f() sin mi π und π Aufg : Flächn unrhl dr -Achs Brchnn Si dn Gsminhl dr Flächn, di durch ds Schuild von f und di -Achs ingschlossn wrdn. ) f() + ) f() f() + f() + Aufg : Flächn wischn wi Schuildrn Brchnn Si dn Gsminhl A llr Flächn, di durch di Schuildr dr Funkionn f und g sowi di Snkrchn und ingschlossnn wrdn. ) f() +, g() +, und f(), g(), und ) f(), g(), und ) f(), g(), und f(), g() +, und f) f() sin, g() cos,, Aufg 6: Flächn wischn wi Schuildrn Brchnn Si dn Gsminhl A dr Flächn, di durch di Schuildr dr Funkionn f und g ingschlossn wrdn. ) f(), g() ) f(), g() f(), g() f(), g() Aufg 7: Vril Grnn Gn Si n, für wlchs di Fläch A() gnu FE groß wird. ) A() ) A() 7 ( )d ( )d A() A() ( )d ( )d ) A() f) A() ( )d ( )d

2 Aufg 8: Susiuionsmhod Brchnn Si di folgndn Ingrl mi Hilf dr Susiuionsmhod: ) ) ) ( )d f) ( )d g) d h) d i) d j) 9, ( ) d ( 6) d d d d k) l) m) n) o) d d d d p) q) r) s) ln d ) ln( (ln ) d ln d ln d ln( ) d ) d Aufg 9: Produkrgl Brchnn Si di folgndn Ingrl mi Hilf dr Produkrgl: ) ) ( )d ( )d ( )d ) ( )d f) ( )d g) ln d h) (ln ) ln d Aufg : Susiuions- und Produkrgl mi liign Grnn Zign Si durch Ingrion von f() ür in liigs Inrvll [; ], dß F() in Smmfunkion von f() is. ) f() mi F() j) f() ( + ) mi F() ( + ) ) f(), mi F(), k) f() ( + ) mi F() ( + ) f() 6 + mi F() + l) f() (6 + ) + mi F() ( + ) +,, f() mi F() m) f() ( ) + mi F() ( ) + ) f() 6 mi F() n) f() mi F() ln( + ) f) f() ( ) mi F() o) f() mi F() ( ) 8 g) f() ( + ) mi F() ( + ) p) f() + ln() mi F() ln() h) f() ( ) mi F() ( + ) q) f() (ln()) mi F() (ln()) ln() + i) f() mi F() ( + ) r) f() (ln( )) mi F() () (ln()) Aufg : Unignlich Ingrl Schrin Si di folgndn unignlichn Ingrl ls Grnwr und rchnn si ihn: ) ) d ( ) d d, d, ) f) d g) d h) d d Aufg : Unignlich Ingrl Gn Si ll n > n, für di di Flächn A w. B wischn dr Hyprl f() n und dr y-achs w, -Achs ndlich sind und rchnn Si ihrn Inhl in Ahängigki von n. A y f() B

3 Aufg : Smmfunkionn (c R).. Lösungn u dn Aufgn ur Ingrlrchnung ) F c () c k) F c () n n+ + c ) F c () + c l) F c () c F c () + c m) F c () c F c () + c n) F c (u) u u + 7 u + c ) F c () + c o) F c () +, + c f) F c () + c 6 p) F c () c + g) F c () + c q) F c () + c h) F c () + c n r) F c () n n+ + i) F c () + c s) F c () cos + c j) F c () ln + c ) F c () sin + c n n n c Aufg : Hups und Eignschfn ds Ingrls ) ) ) ( )d ( )d ( )d 7 d FE, f) A d 7 FE ( )d ( + 8 ) ( ) 6 FE 9 d FE, d Aufg : Flächn unrhl dr -Achs ) A ) A A A ( )d + ( )d + d + ( )d + d FE, 6 FE ( )d + 8 FE ( )d 8 + FE ( )d + 8 FE 7 + FE ( )d + FE 8 ( ) ( ) FE 6 6

4 ) A f) A ( )d + π (sin )d FE ( )d + 9 ( )d + + FE Aufg : Flächn unrhl dr -Achs ) A ) A A A ( )d ( )d ( )d ( )d + FE ( )d 8 FE FE + + FE Aufg : Flächn wischn wi Schuildrn ) A ) A A A ) A f) A d FE ( )d FE, ( )d + (-)d + FE, ( )d +, ( )d,7 ( )d FE 6 FE (cos sin )d FE Aufg 6: Flächn wischn wi Schuildrn ) A ) A A A ( )d 8 ( )d ( )d + ( )d + ( )d ( )d + 6

5 Aufg 7: Vril Grnn ) A() ) A() A() A() ) A() 7 ( )d ( )d ( )d + 6 ( )d ( )d f) A() ( )d + Aufg 8: Susiuionsmhod ) ) ) f) g) h) i) j) k) l) m) 9, ( )d ( )d d d d ( ) d 7 d 7 96, mi () d d ( ) d ( 6) ( ) d d d d ln d d d d, d d ( ),9 mi () ( ) 7,9 mi () + d ( ),99 mi () 6 ( ) ln( ) d d 7 d d ln d d d ( ),88 mi (),9 mi () + 7 d, ln (ln( + ) ln ) mi () + 7ln() + 7 ln(),8 mi () d ( )ln() ( )ln

6 n) o) p) q) r) s) ) d ln()d ln( ) d (ln ) d ln d ln d ln( ) d d ln() (ln() ) ( ),9 mi Smmfunkion us Formlsmmlung ln ln ln ln ln ln d d d ln() ln() ln( ) d ln()d (ln()) (ln()), mi () ln() ln, ln(),9 mi () + (ln()),,8 mi () ln() (ln()),9 mi () ln() d (ln()), mi () ln( + ) Aufg 9: Produkrgl ) ) ) f) g) h) ( )d ( )d (Ergnis us ) insn!) ( )d ( )d ( )d ( ) ln()d (ln()) d (ln()) ln() d ( )d ( ) ( ) ( )d ( )d ( ( ))d ( ) + 8,9 ( ) ( ( ))d + ( ),7 ( ) ( ) +,6 (Ergnis us insn!) ln() ln ( ln() ) ln() l ln()d ( ln() l() ln() d ln() ( ln() ) d +,9 ( ) +, ( )d (ln() ) (ln()) ln() (ln()) ln() (ln()) 6ln() + 6, ln() d ln() d ln() ln() + ( ) 9, (ln()) (ln() ) d,. 6

7 Aufg : Susiuions- und Produkrgl mi liign Grnn ) ) ) f) g) h) f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d i) f ()d d d, ( ) (,) d, ( ) j) f ()d ( 6) d, d,, ( ) d,, ( ) d d d ( ) ( ) d,, d F() d,, d ( ) d d ( ) F() k) f ()d ( ) l) f ()d ( ) m) f ()d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( 6 ) ( ) ( ) n) f ()d ( ) o) f ()d ( ) ( ) F() F() ( ) d d F() F(), F() F() ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) )d ( 6) ( )d ln() F() ( ), ( ) ( ) ln( ) F() F() F() ( ) F() F() F() ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 p) f ()d q) f ()d r) s) f ()d d ( ) ( ln())d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ln() F() (mi Smmfunkion ds ln us Formlsmmlung) ln() ln() d ( ln() )ln() (ln()) ln() f ()d + ln() (ln( )) d ( ln() ) d (ln()) ln() (ln( )) d ( )(ln( )) ( ) ln( ) ( ) ( )((ln( )) ln( ) ) (Di fäll i dr Diffrnildung wg!) NR: (ln( )) d (ln ) ln ln ln d (ln )d ( )(ln( ) ) (ln()) ln() F() ( )(ln( )) ( ) ln( ) ( ) ( ln ) ln ( ln ) d (ln ) ln ( )(ln( )) ( ) ln( ) ( ) mi () ln F() ( )( ln( )) (ln() )d F() (ln ) ln Aufg : Unignlich Ingrl ) ) d ( ) d d, d, ) f) d g) d h) d d Aufg : Unignlich Ingrl Für n < is A für n > is A n d n d n n lim n n n und n. 8

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