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1 Anlysis Eponntilfunktionn Nugirig uf disn Tt??? Intgrtion von Eponntilfunktionn Mit Sustitution und prtillr Intgrtion Dti Nr. 5 Stnd.7. Fridrich W. Buckl INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Stoff-Vrtilung Til Dti Nr. 8 Ändrungn und Diffrnzil Linr Ändrungn / Nicht-linr Ändrungn Linr Ändrungn uf dr Tngnt - Diffrnzilgriff Ds unstimmt Intgrl Stmmfunktionn - Grundintgrl Nugirig uf disn Tt??? Til Dti Nr. 8 Unstimmt Intgrl für gnzrtionl und grochn rtionl Funktionn Auch mit viln Sustitutionsrtn Til 3 Dti Nr. 83 Bstimmt Intgrl für Gnzrtionl und grochn rtionl Funktionn Auch mit viln Sustitutionsrtn Til Dti Nr. 8 Intgrtion von Wurzlfunktionn, uch mit Sustitution Til 5 Dti Nr. 85 Prtill Intgrtion: Ürsicht Til 5 Dti Nr. 5 Intgrtion von Eponntilfunktionn, uch mit prtillr Intgrtion Til 5 Dti Nr. 6 Intgrtion von Ln-Funktionn, uch mit prtillr Intgrtion Til 6 Dti Nr. 86 Intgrtion trigonomtrischr Funktionn Til 7 Til 8 Dti Nr. 87: Spzills Vrwndung von Prtilruchzrlgungn Vrwndung dr Arcustngnsfunktion Prtilruchzrlgung und Arcustngnsfunktion zusmmn. Dti Nr. 83: Grundnivu Trining ohn Sustitution Potnzfunktionn, Rtionl Funktionn, Wurzlfunktionn, Eponntilfunktionn und Trigonomtrisch Funktionn. Nur di grundlgndn Intgrl.

3 Inhlt Intgrl von infchn Eponntilfunktionn. Unstimmt Intgrl Triningsufgn. Bstimmt Intgrl mit innrr Alitung 5.3 Bstimmt Intgrl mit infchr Sustitution 6 Triningsufgn 7 Nugirig uf disn Tt??? Intgrtion mit rwitrtr Sustitution 8 Triningsufgn Prtill Intgrtion 9 3. Hrlitung dr Forml 9 3. Anwndung i Eponntilfunktionn 3.3 Tipps zur prtilln Intgrtion d, ( ) g + d, Zwifch prtill Intgrtion 3 + d, ( ) d / d 5 Triningsufgn 6 All Triningsufgn uf inr Sit 8 Lösung llr Triningsufgn 9-3 Vorwort Schuln, wlch im Aitur CAS-Rchnr zulssn, hn ihrn Stoffrich ingschränkt. Dmit wrdn vil Intgrtionsmthodn nicht mhr hndlt, wil dzu dr Rchnr vrwndt wrdn drf. In dn Pflichtufgn ohn Hilfsmittl wrdn jdoch stimmt Grundknntniss gprüft. Dzu ghörn di Intgrtion von Potnzfunktionn llr Art, von gnzrtionln Funktionn und von grochn rtionln Funktionn, zu dnn mn kin Sustitution nötigt, r uch infch Eponntilfunktionn. Dhr git s jtzt nn dism Tt, dr noch di gnz Anfordrungsrit nthält (und dhr für Listungskurs und Studntn nch wi vor von Bdutung ist) dn nun Tt: 83 Intgrtion Grundnivu Dort findt mn witr Bispil und Aufgn zu dn gnnntn Funktionstypn. Es ist in rinr Triningstt.

4 . Intgrtion von infchn Eponntilfunktionn. Unstimmt Intgrl Mn ht j glrnt, dss im Intgrirn in Stmmfunktion rchnt wird, ls in Funktion drn Alitung widr di ursprünglich Funktion ist. Dhr knn mn zu jdr Intgrtion (Auflitn) in Pro ddurch mchn, dss mn widr litt und mit dr Ausgngsfunktion vrglicht. Wnn mn wiß, dss f( ) = ls Alitung f' ( ) unstimmts Intgrl ufschrin: f f' = =. Odr: ( ) ( ) zw. ( ) ( ) Also gilt: f f' = = +. litn + + C uflitn f f' = =. Odr: ( ) ( ) zw. ( ) ( ) Also gilt: Nugirig uf disn Tt??? f = f ' = =. litn + C uflitn = + C = ht, knn mn sofort di Umkhrung ls = + C = + C Anlog: litn + uflitn C Odr: + C 3 3 litn 3 uflitn = + C 3 = + 3 C 3 Mit inm llgminn linrn Eponntn + folgt: ( ) ( ) f = f' = + + Tilt mn di Funktion durch di innr Alitung ds Eponntn, so folgt ( ) ( ) f = f' = = Dzu di Umkhrung, rgit ds nächst Grundintgrl: Mrkstz: + = + + C Bim Intgrirn lit in Eponntilfunktion mit inm linrn Eponntn rhltn, s wird ldiglich noch durch di innr Alitung gtilt. ) 5) 9) 3 d ) Triningsufgn d 3) d 6) ( ) d 3 d ) 7) ( )( ) d ) d ) d + d 8) d + d ) ( ) d

5 . Bstimmt Intgrl mit innrr Alitung Bispil. Disln Intgrl wrdn in.3 mit Hilf inr Sustitution rchnt () () 3 3 d = = = = 9,7 Di innr Alitung, lso di Alitung von - ist -. Durch si wurd gtilt, ws dnn zum Minuszichn von - gführt ht. d = = =,78 Hir wurd durch di innr Alitung gtilt, lso durch, ws inr Multipliktion mit glichkommt. u u d = du = = ( ) =, dnn O =. (3) d = 3,9 = + = ln () ln ln d ln Hilfn: Es ist = und ln ln ln = lso folgt ln l n = = Außrdm ist O = - Wnn mn will ght uch noch ln = ln = ln6 Ds Zwischnrgnis knn mn dhr so vrinfchn: = ln6 + = ln6 + = ln6,5 (5) Nugirig uf disn Tt??? d d Bim Auflitn solchr Funktionn lit dr -Trm j rhltn und mn dividirt noch durch di Alitung ds Eponntn. Disr hißt -+ und sin Alitung ist -. Dis stht dhr im Nnnr. Dnn kürzt mn und und ziht ds Minuszichn vor dn Bruch. D in - j nicht ingstzt wird, ist s günstigr (kürzr), wnn mn disn konstntn Fktor - vor di ckig Klmmr stzt. d = = + (6) ( ) = + =,6

6 .3 Bstimmt Intgrl mit infchr Sustitution Usw. Nugirig uf disn Tt???