Mathematik Name: Klassenarbeit Nr.7 K2 Punkte: /30 Note: Schnitt:

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1 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 Pflichttil (tw 40min) Ohn Tschnrchnr und ohn Formlsmmlung (Disr Til muss mit dn Lösungn ggn sin, h dr GTR und di Formlsmmlung vrwndt wrdn dürfn.) Gnrll ist mir ufgflln, dss ihr i dn Pflichtufgn noch zu unsichr sid. Bitt lt Pflichtufgn!!! Vils i Eurn Lösungn ist ungnu is flsch (ihr sid lso unsichr!). Dnkt n di korrkt Schriwis, z.b. im Intgrl. Odr vrmischt nicht di Hsssch Normlnform und dn Astnd. Lrnt di Drstllungn dr Koordintnnn. Di x x - En ist infch x = 0 (ds ist di Normlnform, sogr di Hss Normlnform!) usw. Bchtt di korrkt Drstllung Eurr Aufschri: Vor dm Bildn dr Stmmfunktion stht immr in Intgrlzichn, i dn Untrschidn dr Funktion f(x) und dr Alitung f (x) si sind nicht glich!!! (zumindst dnn nicht, wnn si nicht di - Funktion sind.) Wnn ihr di Lösungn untr dn Aufgn nsht, dnn stllt ihr fst, dss di Lösung mist nicht vil längr ist, ls di Aufg. Sltn mhr ls dopplt odr driml so lng und ds owohl ich Txt gschrin und usführlich grchnt h. Schut itt i dn ltn Lösungn dr Klusurn vori: Druntr stht in Smmlung von Tipps, uch in zum GTR, untr B)) ltztr Link mhr nötigt ihr nicht!! sin(x) Aufg : [P] Bildn Si di Alitung von g(x) x sin(x) x Lösungsvorschlg : Vor dm Alitn umformn: g(x) sin(x) x x x x g '(x) sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) x x Anmrkung: Schrit Trm nicht zu komplizirt! Bchtt: x x x uch 4 4 x Also ist Formt doch nicht mit zu viln Zwischnschrittn um - ihr wisst doch n n x Und wnn ihr schon x x x ' (Di Kttnrgl muss zwiml ngwndt wr- x dn). litn wollt, dnn litt richtig (sonst lid ich!) Aufg : [P] Brchnn Si ds Intgrl Lösungsvorschlg : 4 dx x x

2 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: dx 4x dx ln( x) 4x x x x ln() 4 ln() 4 ln( ) 4 ln(8) Anmrkungn: Bchtt di korrkt Drstllung: Vor dm Bildn dr Stmmfunktion stht immr in Intgrlzichn, dnch stht di Stmmfunktion in ckign Klmmrn. ) Bchtt: dx dx ln( x ) 5x 5 x 5 ) Ürigns: ln( x) ist wi ln( x) uch in Stmmfunktion von x!!!! Ds knn mn uf zwi Artn inshn: ) Di Rgl ln( ) ln( ) ln( ) sgt: ln( x) ln() ln( x). Dmit untrschidn sich di Funktionn ln( x) und ln( x ) nur durch in Konstnt c ln()! ) Di Alitung von f ( x) ln( x) ist f '( x) x x (cht di Kttnrgl) 4 c) Mrkt Euch itt uch: dx 4 dx 4 ln(5x 4) 5x4 5x4 5 ds Alitn dr Stmmfunktion!) (Tst ür Ds Intgrirn ght lso glich wi 5x 4 dx 5x 4 Aufg : [P] Ggn ist di En E : x x x ) Bstimmn Si dn Astnd ds Ursprungs von dr En. ) Gn Si in En F n, di prlll zu E ist, r vrschidn und vom Ursprung dnsln Astnd ht wi E. Lösungsvorschlg : x x x x x x zu ) HNF dr En: E : 0 odr E : Dmit ist dr Astnd ds Ursprungs von dr En d 7 Zu d) D di En prlll zu E ist, muss si dnsln Normlnvktor hn, d.h. s x x x c git in c, so dss di HNF dr En F : 0 ist. Dr Astnd ds c c c Nullpunkts von F ist d. D r 7 sin muss gilt lso 7 odr c. Dmit muss c gltn, d F und E vrschidn sind. Di gsucht En ist lso F : x x x Anmrkungn:

3 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 ) Bchtt itt, dn Untrschid zwischn dr HNF und dm Astnd! Di x x cx d HNF inr En ist E : 0. Dr Astnd ds Punkts c x y cz d P(x y z) von dr En ist d c d ) Bi inr En E : x x cx d ist di Größ immr dr c orintirt Astnd ds Ursprungs von dr En (infch dn Ursprung in di HNF instzn). Bim orintirtn Astnd ist d > 0 wnn dr Punkt uf dr Sit dr En ligt, in di di Norml zigt, sonst ist r ngtiv c) Ein Glichung wi c 7 ht zwi Lösungn, nämlich c = 7 und c = 7 Aufg 4: [4P] Di Grd g ght durch di Punkt P(6 - -) und Q(-4 4) und schnidt di x x-en im Punkt S. ) Bstimmn Si di Koordintn von S. ) Bgründn Si, dss S zwischn P und Q ligt. Lösungsvorschlg 4: 6 ) Di Grd g ist g : x r 5. Si S( c) dr Schnittpunkt dr Grdn 5 mit dr x x-en, d.h. mit E: x 0. Dnn gilt, wnn mn di rst Glichung dr Grdndrstllung in di Koordintnform von E instzt: 6 r = 0, lso ist r = 0,6. Dmit ist dr Schnittpunkt S(0 + + ) = S(0 ) ) Wnn in Grdnpunkt inn r-wrt zwischn 0 und ht, dnn ligt r zwischn dn Punktn, di di Grd fstlgn. (MERKT uch dis itt!) Anmrkungn: ) Erinnrt Euch im Ai itt drn, dss di x x-en di Norml n 0 ht. 0 Also ist di Normlnform E: x 0, d dr Nullpunkt uf dr En ligt. Ws gilt dnn für di ndrn Koordintnnn? 0 ) Di En F : x x 0 ist in schif En, drn Norml n zigt, dss si di Winklhlirnd dr Enn E: x 0 und E: x 0 ist. c) Di Grd g : x r 0 ist di x-achs. Dssl gilt für di ndrn Achsn! 0 d) Noch ws, ws im Ai nimnd flsch mchn sollt: Di Grd wird durch zwi Größn stimmt, durch dn Stützvktor, ds sind di Koordintn ins Punkts,

4 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 und durch dn Richtungsvktor, dssn Koordintn sind di Diffrnz dr idn Punkt (End minus Anfng). Bi dn Enn gilt prinzipill dssl: Nur git s zwi Spnnvktorn, di di Diffrnz dr Punkt und zum Punkt sind. Aufg 5: [4P] Ein Glücksrd mit glich großn Sktorn wird gdrht. ) Ds Rd wird 4-ml gdrht. Mit wlchr Whrschinlichkit lit dr Sktor gnu inml, gnu Ml uf dm Sktor sthn. ) Jmnd fürchtt, dss ds Glücksrd mnipulirt wurd, d.h. dss ds Rd mit dr Whrschinlichkit p < uf dm Sktor sthn lit. Erläutrn Si mit Wortn, wi mn dis Aussg mit inm Hypothsntst durch in Stichpro vom Umfng 400 ürprüfn knn. Ghn Si di uf di Bgriff Nullhypoths, Alhnungsrich sowi uf möglich Fhlr ins solchn Tsts in. Ürigns: Für p = und n = 400 gilt PX ( 9) 0,06 und PX ( 0) 0,058. Lösungsvorschlg 5: 4 Zu ) Es git 4 Möglichkitn, gnu inml dn Sktor zu drhn. Dmit ist di Whrschinlichkit P(gnu inml Sktor) = 0, Dis ist di Binomilvrtilung Enso gilt: P(gnu zwiml Sktor) = 0, Zu ) Um sttistisch zu zign, dss p < gilt, nimmt mn ds Ggntil ls Nullhypoths n, d.h. mn nimmt n, dss p = ist. Dnn führt in Exprimnt durch, in Brnoulliktt dr Läng n, tws indm mn di Schi n = 400 ml drht, und zählt di Anzhl dr Trffr Sktor wurd gdrht. Wnn di Anzhl dr Trffr mit dr Whrschinlichkit p = höchstns 9 trägt, dnn ntschidt mn: Di Nullhypoths ist uf dm Signifiknznivu 5% zulhnn. Es gilt j lut Anmrkung in dr Aufgnstllung, dss PX ( 9) 0,06 und PX ( 0) 0,058 (Wnn dis Zhln nicht nggn wär, dnn würd mn z.b. folgnds schrin: Vor dr Durchführung ds Exprimnts stimmt mn dn Annhmrich. Für dn klinstn Wrt k ds Annhmrichs gilt P(X k) > 5% und P(X k ) < 5%. Dr Anhmrich ght lso von 0 is k- Bi jdm sttistischn Exprimnt knn mn zwi Artn von Fhlr mchn: Mn ntschidt di NH ist flsch, owohl si richtig ist ds nnnt mn inn Fhlr rstr Art und s knn sin, dss mn di Nullhypoths nicht lhnt, owohl si flsch ist dis nnnt mn Fhlr zwitr Art. Anmrkung: Slstvrständlich könnt ihr sgn, Ein Glücksrd drhn und ntschidn, o dr Sktor gzogn wird odr nicht ist in Brnoullixprimnt mit p =. Wnn mn ds Exprimnt n ml widrholt, rhält mn in Brnoulliktt mit

5 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 n k k dr Binomilvrtilung B k p p mn B p p 4;0, np ; nk Mit n = 4 und k = rhält 6 4,86% 000 Vorschlg: In dn nächstn Wochn könnt ihr z.b. jdn Tg in (odr mhr) Pflichttilufgn ün, tw mit dn Blättrn, di ich usgtilt h odr indm ihr lt Klssnritn hrnhmt odr di Aiufgn (sih wnn ihr untr B uf Mth-Ais klickt (und Bnutzr und Psswort ingn, sih Mil vom 4..7) kommt ihr zu dn Ais, wnn ihr uf Mth K/K klickt untr ndrm zu dn Klssnritn mit dn Lösungn. Ds rglmäßig Ün ht dn Vortil, dss ihr di Ding vrlässlich üt, di uch im Whltil gprüft wrdn und dss ihr dnn im Ai mit hohr Whrschinlichkit im Pflichttil rcht vil Punkt mcht (rchnt r nicht mit lln Punktn, ll Schülr, ll Mnschn nign dzu Fhlr zu mchn!) Und im Whltil könnt ihr ntürlich ds dnn sichr glrnt Wissn uch nwndn. Allrdings nhmt Euch r itt uch möglichst inml pro Woch 4,5 Stundn Zit, um in vollständigs, von Euch slst zusmmngstllts Ai zu rchnn. Ihr könnt grn uch Aufgn nhmn, di ihr schon ml grchnt ht (r schummlt nicht, schut nicht währnd dr 4,5 Stundn untr dn Lösungn nch!) Di frührn Klssnritn nthltn normlrwis immr tw inn hln Pflicht- und inn hln Whltil, vtl. tws vrinfcht.

6 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 Whltil (tw 40 min) Mit GTR und Formlsmmlung nch Ag ds Pflichttils knn dr GTR und di Formlsmmlung vrwndt wrdn. Aufg 6: Di Aildung zigt dn Qurschnitt ins Flsn und inr Strß. Dr Qurschnitt ds Flsns wird im Brich 6 x 0 durch in Funktion h mit h( x) 0,x 0,6x,5 x Bschrin (x und h(x) in Mtr). Ds Strßnnivu wird durch di x-achs schrin. ) [P] Wi hoch ür dm Strßnnivu ligt di höchst Stll ds Flsns? Auf wlchr Höh fällt dr Hng m stilstn? Gn Si ds Gfäll n disr Stll in Proznt n. ) [P] Ein Mtr ntfrnt vom Fuß ds Flsns stht in Mnn uf dr Strß (Augnhöh,75m). Bis zu wlchr Höh knn r di Flswnd shn? Ein 0 m lngs Tilstück dr Strß (dr Hng dnn ht dort immr disl Form) soll vor Stinschlg gschützt wrdn. Es wrdn zwi Möglichkitn vorgschlgn: Ds Atrgn von Fls und ds Anringn ins Stinntzs uf dm Hng. c) [P] Ein Mßnhm wär ds Atrgn dr Flskupp im Brich 6 x,5. Dr nu Qurschnitt in dism Brich würd di durch di Funktion g mit g( x) 0,5( x 6) 9 schrin (x und g(x) in Mtr) Brchnn Si ds Volumn ds zutrgndn Mtrils. d) [P] Altrntiv könnt in rchtckigs Sthlntz n dm zur Strß fllndn Til ds Flshngs ngrcht wrdn, d.h. di gsmt Fläch ds 0 m lngn Hngs würd gdckt wrdn. Brchnn Si, wi vil Qudrtmtr Sthlntz vrut würdn. Hinwis: Di Läng L ds von inr Funktion f schrinn Kurvnstücks im Intrvll [ ] rchnt sich mit dr Forml L f '( x) dx Lösungsvorschlg 6: Zu ) Zichnt mn di Funktion f mit dm GTR so rhält mn

7 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 Dr GTR (ihr spichrt di Funktion untr Y und löscht dis nicht, sondrn nutzt di Funktionn druntr für di nächstn) lifrt ls Mximum M(-5/). Dmit ist di mximl Höh Di höchst Stll ds Flsns ist m ür dr Strß. Dm GTR ntnimmt mn nflls, dss di mximl Stigung, ssr ds mximl Gfäll, i x = in dr Höh h=4,6 ist. Dort ist di Stigung m =,7 = 70% Dr Stigungswinkl ist dmit ürigns = tn (,7) = 69,68. In inr Höh von 4,6 m fällt dr Hng m stilstn. Ds Gfäll trägt dort 70%. Anmrkung: Wr will knn di Funktion ntürlich slst litn, ich dnk dis ist sinnvoll: h'( x) 0,x, x,5 und dnn von disr Funktion (untr Y im GTR notirn, mcht Euch vtl. Notizn uf dm Konzpt, dm grünn Zttl) ds Minimum suchn. Zu ) Wnn in Mnn in Stll grd noch siht, dnn ist dr Lichtstrhl, dr von dort in sin Aug infällt in Tngnt n dn Hng, dr Lichtstrhl rührt dn Hng, in Id drür trifft r dn Hng nicht mhr. Si lso u so, dss di Tngnt n P(u h(u)) durch ds Aug ds Mnns ght, lso durch dn Punkt Q(,75). t( x) h'( u) x u h( u) Di Alitung von h ist Di Tngnt ist h'( x) 0,x, x,5. Dmit ist t( x) 0,u, u,5 x u 0,u 0, 6u,5u D Q(,75) uf dr Tngnt ligt, gilt, 75 0,u, u,5 u 0,u 0, 6u,5u Nun knn mn di,75 uf di ndr Sit ringn und di Nullstll disr Funktion grphisch stimmn odr (sih nächstr Aschnitt) nch Umformn di Glichung mit solv (Polynom. Ordnung) gnu rchnn. Di ist di rst Vrint wohl schnllr und whrschinlich wnigr fhlrnfällig (Bnutzt Y) Di zwit Vrint: Vrinfch di Glichung in in pr Zwischnschrittn (s lohnt sich dis Vrint zu Hus zu ün),75 0,u, u,5 0,u, u,5u 0,u 0,6u,5u odr 0,u 0,u,u,5 0. Dr GTR lifrt nun u = 4,008 (solv, vtl uch Y, zw. Y4, wnn ihr id Vrintn rchnt.) Bid Vrintn lifrn dn Antwortstz: Dr Mnn siht inn Punkt 4,0 m links von dr Strß in dr Höh h(4,0) = 9,. Er knn lso is in in Höh von 9, m shn. Zu c) Zichnn wir im GTR nn dr Funktion h(x) zusätzlich di Funktion g( x) 0,5( x 6) 9 (Y5 nutzn), so siht mn, dss dis Funktion im Brich zwischn dn idn Schnittpunktn (x=-6 und x=-,5) untrhl dr rstn Funktion Y vrläuft. Dmit ist di Fläch zwischn dn Funktionn lut GTR,5 h( x) g( x) dx,07 (mn zichnt z.b. Y6=Y-Y5 und rchnt ds Intgrl). 6 Wird dis Fläch mit dr Höh 0, dr Läng dr Strß nn dm Hng, multiplizirt, rhält mn ds Volumn 60,74. Mn muss lso knpp 6 m Mtril trgn.

8 Mthmtik Nm: Klssnrit Nr.7 K Punkt: /0 Not: Schnitt: 6..7 zu d) Di zwit Vrint dr Strßnsichrung: Brchn di Fläch sthnd us dr Hngläng und dr Strßnläng 0m. Lut Hinwis rchnt sich di Läng ds Hngs mit dm GTR zu 0 L (0,x, x,5),8 i( x) Y, zichn z.b. di Funktion 5 und stimm ds Intgrl zwischn -5 und 0 (Nochmls lösch im GTR di inggn Funktionn nicht, sondrn wähl si immr nur!). Dmit ist di gsucht Fläch A = 0,8 = 7,6 Dmit ist di Größ ds nötign Sthlntzs 8 m Hinwis: Dis ist in Aufg, di vollständig mit dm GTR zu rchnn wr, mn musst gshn von dr rcht infchn Alitung nichts von Hnd rchnn. Es wr lso nur ds mthmtisch Modllirn gfrgt. O ds immr so infch ist, wiß ich nicht, r dis soll vor llm im Whltil gprüft wrdn (mthmtisch trchtt mcht dis uch Sinn, uch wnn sichr in dr Prxis oft uch klr Rchnfähigkitn nötigt wrdn). Bitt schut Euch dis Aufg nochmls gnur n. Vrsucht dis Aufg möglichst schnll zu rchnn. f ( ) sin x x x ) [P] Für wlch Wrt von sitzt dr Grph von f? Punkt mit wgrchtr Tngnt? Aufg 7: Ggn ist für jds 0 in Funktion f mit ) [P] Zign Si, dss dr Grph von f kinn Extrmpunkt sitzt. Lösungsvorschlg 7: ) Di notwndig Bdingung für in wgrcht Tngnt ist: Alitung ist Null. Es gilt f '( x) cos x. Si nun so, dss di Alitung in Nullstll ht. Dnn git s in x mit cos x odr cos x. Dis ist nur möglich, wnn zwischn - und ist, d dr cos j nur dis Wrt nnimmt! Also: Nur für sitzt dr Grph Punkt mit wgrchtr Tngnt. ) Di Tilufg on sgt, dss s in wgrcht Tngnt git, wnn x so ist, cos x. Allrdings ligt nur dnn in Extrmum vor, wnn sich di Sti- dss gung dr ändrt. D f x x x '( ) cos cos r immr klinr odr glich 0 ist, git s kinn Vorzichnwchsl. Also ht di Funktion kin Extrmum.